Electrodynamics

Часть IV. Электромагнитное поле в сплошных средах

7.Уравнения электродинамики сплошных сред

7.1.Особенности описания электромагнитного поля в веществе. Необходимость усреднения уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла (1.1)

справедливы и на микроуровне, т. е. при наличии вещества. Однако любое вещество состоит из множества заряженных частиц – электронов и атомных ядер. Результирующее электромагнитное поле внутри вещества создается как сторонними зарядами и токами, не входящими в состав вещества, так и заряженными частицами самого вещества. Поле сторонних зарядов вызывает перераспределение зарядов и токов в веществе. Из-за огромного числа частиц в системе невозможно учесть реальную плотность зарядов и токов для расчета напряженностей электромагнитного поля. Поэтому при изучении электромагнитных явлений в различных средах требует привлечения приближенных и феноменологических методов.

Естественно провести усреднение напряженностей полей по времени и по физически бесконечно малым объемам. Как и в механике сплошных сред, под

физически бесконечно малым объемом понимается объем, содержащий боль-

шое число частиц (в данном случае – элементарных зарядов). Необходимость усреднения вызвана тем, что микроскопическое поле в среде испытывает очень большие и нерегулярные флуктуации как во времени, так и в пространстве.

Чтобы провести усреднение, начнем с того, что запишем точные уравнения Максвелла для микроскопических значений напряженностей полей, которые мы обозначим как e, h:

rot e r, t	1		h r, t		;
	c
			t
divh r, t 0;						(7.1)
		e r, t
rot h r, t 1						4 jint r, t jext r, t ;
			t
c						c

dive r, t 4 i nt r, t ext r, t .

91

Здесь ext r, t , jext r, t – плотность заряда и тока внешних (сторонних) заря-

дов, int r, t , jint r, t – плотность заряда и тока частиц вещества. Внешние источники ext r, t , jext r, t мы будем считать заданными.

Исходя из определения среднего значения физической величины f,

1

3

1

T

V

V

T

0

f

d

x

dt

f r r , t t ,

(7.2)

приходим к заключению, что производная от среднего значения равна среднему значению производной физической величины, например,

	f		f .	(7.3)
	t
			t

Усредненное значение напряженности микроскопического электрическо-

го поля принято называть напряженностью макроскопического электрического поля, а усредненное значение напряженности микроскопического магнитного поля – индукцией макроскопического магнитного поля:

e E,

h B .

В результате усреднения уравнения Максвелла примут вид:

rot E r, t 1 B r, t ; c t

divB r, t 0;

	rot B r, t	1	E r, t		4	jint r, t	jext r, t ;
		c	t
					c

divE r, t 4 i nt r, t ext r, t .

(7.4)

(7.5)

Для дальнейшего преобразования уравнений Максвелла введем векторы электрической и магнитной поляризации вещества.

7.2. Вектор электрической поляризации. Вектор электрической поля-

ризации определяется как электрический дипольный момент, приходящийся на единицу объема:

92

V		a
P	1	eara .	(7.6)

В (7.6) суммирование ведется по всем частицам, находящимся в объеме V. Покажем, что плотность заряда частиц вещества связано с вектором элек-

трической поляризации соотношением

int div P .

(7.7)

Во первых, заметим, что полный электрический дипольный момент некоторого тела объема V можно представить в виде

V int r r dV .	(7.8)
V
Действительно, подставляя вместо ext r выражение (1.6),
int r ea r ra ,	(7.9)
a

получаем:

V eara . a

С другой стороны,

V P r dV ,

V

поэтому

int r r dV P r dV .

V V

(7.10)

(7.11)

(7.12)

Умножим обе части соотношения (7.12) на некоторый постоянный вектор a:

a,r int dV	a,P dV .	(7.13)
V	V
Поскольку
P, a,r Pi i aj xj aj Pi i xj aj Pi ij ai Pi a,P ,		(7.14)
a,P P, a,r P a,r a,r ,P ,		(7.15)

подставляя (7.15) в (7.13) и преобразовывая первый интеграл в правой части в интеграл по поверхности, охватывающей объем V, будем иметь:

93

a,r int dV div P a,r dV a,r div P dV ,				(7.16)
V	V		V
	a,r int dV P a,r dS a,r div P dV .			(7.17)
	V	S	V

В силу произвольности поверхности S ее можно выбрать за пределами рассматриваемого тела, в области, где P 0 . Таким образом, интеграл по поверхности в (7.17) равен нулю,

a,r int dV a,r div P dV .		(7.18)
V	V
В виду произвольности вектора a мы можем записать:
r int dV r div P dV .		(7.19)
V	V

Полученное интегральное соотношение позволяет отождествить плотность внутренних зарядов со взятой со знаком "–" дивергенцией вектора P. Иными словами, мы приходим к формуле (7.7).

Полученное соотношение относится к диэлектрикам, в которых внутренние заряды могут смещаться только на микроскопическое расстояние. В этом случае int r можно назвать плотностью связанных зарядов. Внутри провод-

ников заряды перемещаются свободно. Наложение внешнего поля приводит к возникновению электрического тока внутри проводника. В случае электростатики заряды распределяются на поверхности проводника таким образом, чтобы скомпенсировать внешнее электрическое поле. Тогда внутри проводника

int r 0 , P 0 .

7.3. Вектор магнитной поляризации. Соответственно, вектор магнит-

ной поляризации, называемый также вектором намагниченности, определяется

как магнитный момент, приходящийся на единицу объема:
J V1	21c a	ea ra , va .	(7.20)

В (7.20) суммирование ведется по всем частицам, находящимся в объеме V.

94

Теперь покажем, что средняя плотность тока внутренних зарядов, также называемого током намагничения, связана с вектором магнитной поляризации соотношением

jint c rot J .

Полный магнитный момент тела объема V:

V 1 r, jint r dV , 2c V

jint r ea va r ra . a

Подставляя (7.23) в (7.22), получаем:

V 1 ea ra , va ,

2c a

что согласуется с определением (7.20). С другой стороны.

		V	J r dV ,
				V
1	r, j		r	dV		J		r		dV .
		int
2c V					V

Умножаем на произвольный постоянный вектор a:

1 a, r, jint dV a,J dV .
2c V	V

Воспользуемся тождеством

rot a,r 2a

(a – постоянный вектор).

rot a,r , a,r ei eijk j eklm al xm ei eijk eklm al j xmei il jm im jl al jm ei 3ai ai 2a.

(7.21)

(7.22)

(7.23)

(7.24)

(7.25)

(7.26)

(7.27)

(7.28)

(7.29)

95

a,J 12 rot a,r ,J 12 J, , a,r 12 Ji eijk j eklm al xm

12 j Ji eijk eklm al xm eijk j Ji eklm al xm

12 j ejik Ji eklm al xm al elmk xmekji j Ji

12 , J, a,r a, r, ,J .

Подставляем в (7.27):

2c V

int

2 V

1

a,

r, j

dV 1

a,

r,rot J

div J,

a,r

dV .

(7.30)

(7.31)

Интеграл по объему от дивергенции преобразуем в интеграл по поверхности, на которой J 0 . В итоге получаем:

a, r, jint dV c a, r,rot J dV ,		(7.32)
V	V

что в силу произвольности вектора a позволяет отождествить плотность тока внутренних зарядов с ротором магнитной поляризации, умноженным на скорость света c.

Соотношение (7.21) справедливо для случая стационарного магнитного поля (напомним, что выражение (5.38) для магнитного момента мы получили также для этого случая). Для того, чтобы обобщить это выражение для нестационарных полей, используем закон сохранения заряда, который в электродинамике сплошных сред должен выполняться в отдельности для внешних и внутренних зарядов. Для внутренних зарядов имеем:

	int r, t	div jint r, t 0 .	(7.33)
	t

Подставляя в это уравнение соотношение (7.7), получаем:

	P	0 .	(7.34)
div jint
	t

96

Вспоминая, что для любого векторного поля дивергенция ротора равна нулю

(см. (1.23)), мы можем отождествить jint Pt с ротором некоторого вектора.

Поскольку в стационарном случае выполняется соотношение (7.21), мы заключаем, что этим вектором является cJ . Итак,

jint	P	c rot J .	(7.35)
	t
7.4. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. С помощью со-

отношений (7.7), (7.35) мы можем переписать систему уравнений Максвелла (7.5) следующим образом:

rot E 1	B	;
c t
divB 0;						(7.36)
			1
rot B 4 J					E 4 P	4	jext ;
			c t
						c

div E 4 P 4 ext .

В эти уравнения входит плотность заряда и тока только внешних (сторонних) зарядов. Помня об этом, мы будем в дальнейшем опускать соответствующие индексы у плотности заряда и тока.

Введем вектор электрической индукции

D E 4 P

и вектор напряженности магнитного поля

H B 4 J .

Тогда уравнения Максвелла принимают вид:

rot E 1c Bt ; divB 0;

rot H	1	D		4 j;
	c	t		c

div D 4 .

(7.37)

(7.38)

(7.39)

97

Таким образом, разделение зарядов на внешние и внутренние (свободные и связанные) позволило по-новому представить уравнения Максвелла. В отсутствие среды уравнения Максвелла (7.39) содержат только напряженности электрического и магнитного полей E и H и переходят в уравнения Максвелла в вакууме (1.1). Векторы D и B (7.37), (7.38) несут информацию о свойствах среды. Для решения уравнений Максвелла необходимо установить связь между E и D,

H и B.

7.5.Уравнения Максвелла в линейных средах. Классификация сред.

Влинейных средах в отсутствие внешних полей равны нулю векторы электрической и магнитной поляризации P и J. Если внешние поля малы по сравнению

свнутриатомными, то электрическая и магнитная поляризация являются линейными функциями соответствующих полей. Для изотропной среды можно записать:

P E ,	(7.40)
J H .	(7.41)

– диэлектрическая восприимчивость, – магнитная восприимчивость. При

этом
D 1 4		E E ,			(7.42)
1 4					(7.43)
– диэлектрическая проницаемость среды.
B H 4 J 1 4				H H ,	(7.44)
1 4					(7.45)
– магнитная проницаемость среды.
J B H ,					(7.46)
.					(7.47)
Уравнения Максвелла для линейных сред:

98

rot E 1c Bt ; divB 0;

	B			1		E	4	(7.48)
								j;
	rot
				c	t		c

div E 4 .

В анизотропных средах диэлектрическая и магнитная восприимчивость и проницаемость среды представляют собой тензоры второго ранга, а соотноше-

ния (7.43), (7.45) обобщаются следующим образом:
ij ij 4 ij ,	(7.49)
ij ij 4 ij	(7.50)
Уравнения связи между D и E, B и H (7.42), (7.44) принимают вид:
Di ij Ej ,	(7.51)
Bi ij H j .	(7.52)

В сильных внешних полях уравнения связи приобретают нелинейный характер. Неоднородность среды влияет на неоднородность электромагнитного поля и отражается на решениях уравнений Максвелла.

Среды можно подразделить на пассивные (внутри среды нет свободных зарядов, в отсутствие внешних полей P 0 и J 0 ) и активные. К пассивным средам относятся диэлектрики, парамагнетики ( 0 ), диамагнетики ( 0). Активные среды подразделяются на среды со свободными зарядами (полупроводники, проводники, сверхпроводники) и среды со спонтанной поляризацией (сегнетоэлектрики, пьезоэлектрики, ферромагнетики, антиферромагнетики).

7.6. Закон сохранения энергии в сплошной среде. При рассмотрении уравнений Максвелла в вакууме мы получали уравнение баланса энергии (1.77), которое выражает закон сохранения энергии. Такое же уравнение баланса следует из уравнений Максвелла для микроскопических напряженностей полей (7.1). Напомним, как оно получается. Третье уравнение Максвелла умножается

99

скалярно на e, первое уравнение – на h, после чего первое уравнение вычитается из третьего. После простых преобразований с использованием формул векторного анализа мы получим уравнение баланса энергии

w	div P j,e ,	(7.53)
t

в котором плотность энергии w и вектор Пойнтинга P определяются через микроскопические напряженности полей аналогично (1.75), (1.76),

j jint jext

(7.54)

– плотность тока на микроуровне, учитывающая токи как внутренних, так и внешних зарядов.

Попробуем проделать аналогичные операции для уравнений (7.39). Умножаем третье из уравнений (7.39) на E, первое – на H, после чего первое вычитаем из третьего. Получаем:

E,rot H H,rot E

1

D

B

4

j,E ,

c

E,

H,

c

t

t

1

D

B

c

E,

H,

div

E,H j,E

4

4

t

t

(7.55)

(7.56)

В общем случае в этом уравнении невозможно выделить полную производную по времени, поскольку отсутствует симметрия между D и E, B и H.

Обратимся к случаю линейных изотропных сред, когда D и E, B и H связаны соотношениями (7.42), (7.44). Тогда

41 E, t E H, t H div 4c E,H j,E ,

1

2

2

c

1 d

2

d

2

E

H

div

E,H

E

H

j,E ,

8 t

4

8

dt

dt

w

div P

1

d

E

2

d

H

2

j,E .

t

dt

8 dt

Здесь плотность энергии поля есть

(7.57)

(7.58)

(7.59)

100