Electrodynamics

Для того, чтобы получить уравнения движения заряда из принципа наименьшего действия, нужно рассмотреть член, описывающий свободную релятивистскую частицу, и член, учитывающий взаимодействие частицы с электромагнитным полем.

Действие для свободной релятивистской частицы должно быть инвариантно относительно преобразований специальной теории относительности – преобразований Лоренца. Известно, что инвариантной величиной является про- странственно-временной интервал ds (2.11). Инвариантность интервала является следствием того экспериментально установленного факта, что скорость света одинакова во всех системах отсчета. Представим интервал следующим образом:

ds c dt

1

dx 2

dy 2

dz 2

c dt

v2

1

1

2 .

(2.75)

c

2

c

dt

dt

dt

Тогда действие для свободной частицы можно представить в виде:

	S	particle	mct2 ds mc2 t2		1	v2			dt .	(2.76)
								c2
			t1	t1
	В классическом пределе ( c ) отношение					v2		можно рассматривать как ма-
						c2
	лую величину. Воспользуемся формулой
	lim 1 x 1 x			1			x2 .			(2.77)
	x 0			2!

Имеем:

lim S	particle	mc2 t2	1	1 v2		dt mc2	t	2	t	t2	mv2
c				2 c	2				1		2
		t								t
		1								1

dt t2 mv2 2 dt . (2.78)

t1

(Отбрасывая постоянную mc2 t2 t1 , не влияющую на уравнения движения,

мы получаем в пределе при c известное выражение для свободной нерелятивистской частицы.)

41

Напомним, что в теоретической механике импульс определяется как производная функции Лагранжа по обобщенной скорости:

t
S 2	q t , q t , t dt ,			(2.79)
t1
	p		.	(2.80)
		q

Соответственно, в релятивистской теории мы получаем новое выражение импульса через скорость частицы:

mc	2	v2		(2.81)
		1 c2	,

p	mv		.
				(2.82)
	1 v	2
		2
	c

Очевидно, при c p mv .

Член, учитывающий взаимодействие частицы с электромагнитным полем, уже был выписан ранее (см. (2.42)). Имея в виду определение четырехмерного тока (см. (2.43)),

j

dx

c , v c ,

j ,

,

(2.83)

dt

e r r

это выражение можно преобразовать следующим образом:

1

1

Ssource

A j d 4 x

A dxdt

dV cdt

c2

c2

(2.84)

1

e

e

c A dx dV c A dx r r

dV c

A dx .

Итак, мы должны рассмотреть действие

e

A dx

(2.85)

S mc ds

c

.

Запишем вариацию действия (2.85):

42

dx dx

e

A dx

e

A dx

S mc ds

c

c

.

Прежде всего выясним, что такое ds . Поскольку

ds2 c2dt2 dx2 dy2

dz2

dx dx ,

ds

dx dx ,

вводя четырехмерный вектор скорости частицы

u

dx

;

u

dx

.

ds

ds

получаем

ds dx dx dxds d x u d x .

Тогда

e

A dx

e

A dx

S mc ds

c

c

e

A d x

e

A dx

mc u d x

c

c

mc du x

e

d A x

e

dA x

e

A dx

mc d u x

c

c

c

.

Далее используем соотношения

dA

A

dx

;

A

A

x ;

x

x

du

du

ds;

dx

u

ds

dx

ds.

ds

ds

С учетом этого

43

(2.86)

(2.87)

(2.88)

(2.89)

(2.90)

(2.91)

(2.92)

e

A

t2

S mc u

c

x

t

1

du

e A

e A

mc

ds x

dx

x

x dx

ds

c

x

c x

du

e

A

A

(2.93)

mc

ds x

dx

x

ds

c

x

x

du

e

mc

ds x

F u ds x

ds

c

du

e

mc

F u

ds x

.

ds

c

(Как и раньше, внеинтегральный член обращается в ноль на пределах интегрирования). Мы получаем уравнения движения зарядов в четырехмерной форме:

	du	e
mc		c F u		,	(2.94)
	ds

Для того, чтобы убедиться, что уравнения (2.94) эквивалентны уравнениям (2.74), необходимо выписать в явном виде компоненты четырехмерного вектора скорости. В системе отсчета, относительно которой частица движется,

ds c dt

1

v2

(см. (2.75)). Следовательно,

c2

u dx

1

dx

1

v

;

;

(2.95)

v2

dt

v2

v2

ds

c

1

1

c

1

c2

c

2

c2

dx

1

dx

1

v

u

;

(2.96)

ds

v2

dt

v2

v2

c

1

1

c

1

c2

c2

c2

Заметим в этой связи, что в системе отсчета, относительно которой частица покоится ( v 0 ), интервал ds c d , где d – собственное время частицы. По-

скольку интервал ds – инвариантная величина,

44

	c dt 1	v2	,	(2.97)
c d		c2

отсюда следует известное из специальной теории относительности сокращение времени, которое проявляется для объектов, движущихся с большими скоростями:

dt	d		.
				(2.98)
	1 v	2
		2
	c

Возвращаясь к уравнениям (2.94), отметим, что в них содержится на одно уравнение больше, чем в (2.74). Уравнения (2.94) с 1, 2, 3 эквивалентны трем уравнениям (2.74), в то время как уравнение с 0 приводится к виду

d

mc

2

E, v .

e

(2.99)

v2

dt

1

c2

Здесь

E

mc2

k

1 v

2

(2.100)

c2

– кинетическая энергия релятивистской частицы. Второй член,

e E, v пред-

ставляет собой работу, произведенную над частицей электрической составляющей силы Лоренца в единицу времени. Таким образом, уравнение (2.94) с

0 выражает закон сохранения энергии для релятивистской частицы.

2.6.Присутствие уравнения связи в числе уравнений поля и калиб-

ровочная инвариантность. Можно сказать, что у нас есть две формулировки электродинамики. Во-первых, система уравнений Максвелла, которая имеет единственное решение для напряженностей поля при условии, что заданы источники поля, + уравнения движения зарядов в электромагнитном поле. Вовторых, мы можем записать уравнения для потенциалов поля, и, хотя этих

45

уравнений всего четыре, они полностью эквивалентны системе уравнений Максвелла (разумеется, источники поля в этих уравнениях также должны быть заданы, т. е. уравнения движения зарядов сохраняют свое значение).

Формулировка электродинамики через потенциалы поля раскрывает одну важную особенность этой теории. Уравнения поля (2.50) содержат производные первого порядка от тензора F , т. е. производные второго порядка от функций поля. Однако только три из четырех уравнений содержат производные второго порядка по времени от функций поля. Действительно, уравнение с 0, которое совпадает с четвертым уравнением Максвелла (1.17), не содержит первых производных по времени от компонент напряженности электрического поля и, следовательно, вторых производных по времени от потенциалов. В то же время, уравнения (2.50) – это уравнения Лагранжа для электромагнитного поля. Если система уравнений Лагранжа разрешима относительно вторых производных по времени, т. е. представима в виде

			d				0		q f q, q ,	(2.101)
	q				q
			dt

то для системы уравнений Лагранжа можно сформулировать так называемую задачу Коши: необходимо найти функции q t при заданных начальных усло-

виях, т. е. известных значениях функций q 0 и их производных в начальный момент времени. Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (которая описывает поведение механической системы) задача Коши имеет единственное решение. Для системы уравнений в частных производных (какой является система уравнений Лагранжа в случае теории поля, в частности, электродинамики) исследование существования и единственности задачи Коши более сложно. Однако известно, что, если не все уравнения Лагранжа содержат производные второго порядка по времени, задаче Коши не имеет однозначного решения. Уравнения, которые содержат производные более низкого порядка по времени (производные первого порядка и сами полевые функции), называются

46

уравнениями связей. Можно доказать, что в этом случае решение системы уравнений зависит от произвольных функций, причем число этих произвольных функций равно число уравнений связи. Наличие связей также свидетельствует о том, что теория инвариантна относительно некоторого класса преобразований, называемых калибровочными, т. е. имеет место калибровочная инвариант-

ность. Такие теории называют теориями со связями или калибровочными теориями.

В случае электродинамики мы имеем одно уравнение связи (1.17), и решение уравнений для потенциалов должно зависеть от одной произвольной функции. И в самом деле, как нам уже известно, потенциалы можно подвергнуть калибровочным преобразованиям (2.6), (2.7), зависящим от произвольной функции r, t . В четырехмерном виде

			A ,						(2.102)
A
A A ,									(2.103)
def						def
				,				.	(2.104)
	x						x
Не составляет труда убедиться, что тензор F									инвариантен относительно пре-

образований (2.102). Это не удивительно, так как мы знаем, что компонентами тензора F являются напряженности поля, которые инвариантны относительно

(2.6), (2.7).

2.7. Калибровочные условия. Калибровки Кулона и Лоренца. Для то-

го, чтобы ограничить свободу выбора произвольной функции r, t , на потенциалы поля накладываются дополнительные условия, называемые калибровочными условиями. Примеры калибровочных условий:

Калибровка Кулона:

div A 0 .

(2.105)

Калибровка Лоренца:

47

1	div A 0	,	(2.106)
c t
или, в четырехмерной форме,
A 0 .			(2.107)

Получим уравнения для потенциалов поля, подставив в третье уравнение Максвелла

rot H	1 E		4 j
	c t		c

соотношения (2.5), (2.2). Учитывая формулу (1.44), получаем:

rot

rot A

1 2 A

1

grad

4

j,

c2

t2

c

t

c

1 2 A

1

4

A

2

grad

div A

j ,

c

2

t

t

c

c

Подставляя (2.5) в четвертое уравнение Максвелла (1.17) и учитывая, что div grad ,

получаем:

1c t div A 4 .

(2.108)

(2.109)

(2.110)

(2.111)

(2.112)

Уравнения (2.110), (2.112) могут быть записаны в четырехмерной форме:

2 A

2 A

4

j

c

.

(2.113)

x

x

x

x

Уравнения для потенциалов (2,110), (2.112) будут иметь различный вид в

различных калибровках. В кулоновской калибровке:

A

1 2 A

1

grad

4

j,

(2.114)

c2 t2

c t

c

4 .

(2.115)

В калибровке Лоренца:

A

1 2 A

4

j,

(2.116)

c2

t2

c

48

		1	2 4 .	(2.117)
		c2
			t2
	Заметим, что наложение калибровочных условий типа (2,105), (2.106) на
	фиксируют полностью произвол в выборе функции			r, t . Действительно,

проведем калибровочное преобразование потенциалов (2.6), (2.7) в уравнении, фиксирующем калибровку Лоренца (2.106):

	1		1		2	div A div			grad 0 ,
	c t		c2		t2
	1			div A			1 2			0 .
	c	t					c2		t2

Калибровка Лоренца не будет нарушена, если функция уравнению

(2.118)

(2.119)

r, t удовлетворяет

		1 2		0 .	(2.120)
		c2	t2

Получим то же уравнение в четырехмерной форме, выполнив в (2.107) преобра-

зование (2.103).

A 0 ,						(2.121)
				0 .		(2.122)
Вообще, произвольное калибровочное условие
	f A 0					(2.123)
не нарушается, если функция r, t					(параметр калибровочного преобразова-
ния) удовлетворяет уравнению
	f	A			0 .	(2.124)
	A
Здесь
	A					(2.125)

49

– изменение потенциалов вследствие калибровочного преобразования, Af –

вариационная производная, которая, в частности, может быть оператором. На-

пример, в случае калибровки Лоренца

f

A . (2.126)

и(2.124) – (2.126) приводит к уравнению (2.122). Уравнение (2.124) называется

уравнением для остаточных калибровочных преобразований. Иными словами,

после наложения калибровочного условия (2.123) у нас еще есть возможность подвергать потенциалы остаточным преобразованиям, для которых параметр

преобразования – функция r, t – удовлетворяет уравнению (2.124).

2.8. Эффект Ааронова – Бома. Возникает вопрос: потенциалы – это

лишь математическая конструкция, не имеющая физического смысла, или же они отражают какую-то сторону физической реальности? Чтобы попытаться

ответить на этот вопрос, обратимся к так называемому эффекту Ааронова – Бо-

ма (рис. 2).

Рис.2.

Рассмотрим известный квантовомеханический двухщелевой эксперимент Пучок электронов проходит через щели в первом экране, на втором экране наблюдается интерференционная картина. Предположим, что за первым экраном

50