Electrodynamics

r 4 r ,

(1.18)

Действительно,

1

r

r

dV r

r dV r

r r

r r

(1.19)

4 r r r dV r 4 r .

Уравнения (1.14), (1.17) совпадают с первым и четвертым уравнениями Максвелла в случае стационарного электрического поля.

1.3. Уравнения магнитостатики. Обратимся теперь к магнитным явлениям. Одно из уравнений можно получить, принимая во внимание тот факт, что в природе отсутствуют магнитные заряды. В некоторых современных теориях поля предполагается существование магнитных зарядов, в частности, Дирак выдвигал гипотезу об их существовании (так называемые монополи Дирака). Однако достоверные факты, свидетельствующие об их существовании, на сегодняшний день отсутствуют. Поэтому линии напряженности магнитного поля H должны быть замкнуты, не иметь ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора H через замкнутую поверхность должен быть равен 0:

HdS 0.		(1.20)
	S
Преобразуя интеграл по теореме Остроградского – Гаусса, получаем:
HdS div HdV 0 ,		(1.21)
S	V
div H 0 .		(1.22)
Мы получили еще одно из уравнений Максвелла.
Так как для любого векторного поля a справедливо, что
div	rot a 0,	(1.23)
мы можем представить напряженности магнитного поля H как
H rot A ,		(1.24)

чисто формально введя векторный потенциал A, так же, как выше мы ввели скалярный потенциал .

11

Рассмотрим теперь напряженность магнитного поля, создаваемую частицей с зарядом e, движущейся с постоянной скоростью v:

H

e v, r r

.

(1.25)

c

r r

3

Если у нас имеется n зарядов e1 ,

e2 ,

e3 ,

,

движущихся со скоростями

v1 , v2 , v3 , , тогда

1

n

ea va , r ra

H c

a 1

,

(1.26)

r r

3

a

или, введя плотность электрического тока

n

j r ea va r ra ,

(1.27)

a 1

1

j r , r r

H

c

dV .

(1.28)

r r

3

Последнее соотношение – одна из форм закона Био – Савара – Лапласа, результат проведенного Лапласом обобщения данных исследования магнитных полей, создаваемых токами, текущими по тонким проводникам различной формы, которое предприняли Био и Савар в 1820 году. Можно убедиться, что векторный потенциал, определенный как

	1 j r
	A r c r r dV		,	(1.29)

удовлетворяет уравнению (1.24). Воспользуемся этим выражением для того, чтобы получить еще одно уравнение для магнитного поля.

Покажем, что для A r (1.29)

div A r 0.

Внесем дивергенцию под знак интеграла:

div A r	1	div			j r			dV .
	c				r r

(1.30)

(1.31)

12

Воспользуемся формулой

div fa a, grad f f diva .

В (1.31) операция дивергенции берется по переменной r, но не r'. Поэтому

1

div

j r

j r , grad

.

r r

r r

(1.32)

(1.33)

Как легко убедиться,

1

r r

1

1

grad

grad

,

r r

r r

3

r r

r r

где штрих обозначает, что градиент берется по переменной r'.

1

div

j r

j r ,

j r

j r

.

r r

r r

r r

r r

(1.34)

(1.35)

Если распределение зарядов и токов ограничено в пространстве, т. е. линии токов не уходят на бесконечность, что соответствует реальной физической ситуации, то

j r div j r 0.

(1.36)

Действительно, рассмотрим замкнутую поверхность, окружающую распределение зарядов и токов (такая поверхность может мыслится как удаленная на бесконечность). Полный ток через эту поверхность должен быть равен 0:

jdS 0 .

(1.37)

S

Вновь преобразуя интеграл по теореме Остроградского – Гаусса, получаем:

jdS div jdV 0 ,

(1.38)

S

V

div j 0 .

(1.39)

Таким образом, мы приходим к выводу, что

div

j r

div

j r

.

(1.40)

r r

r r

Вернемся к формуле (1.31).

13

1				j r
div A r c	div						dV .	(1.41)
				r r

Так как теперь дивергенция берется по переменной r', мы можем вновь преобразовать интеграл в интеграл по замкнутой поверхности, охватывающий распределение зарядов и токов:

div A r 1

div

j r

dV 1

S

j r dS

0 .

(1.42)

r r

r r

c

c

Утверждение (1.30) доказано.

Теперь применим к обеим частям соотношения H rot A операцию взя-

тия ротора. Получим

rot H rot

rot A .

(1.43)

Согласно формулам векторного анализа,

rot

rot a grad

diva a .

(1.44)

Поскольку div A r 0,

rot H A .

Внесем оператор Лапласа под знак интеграла в (1.29):

A r 1

j r

dV ,

r r

c

Снова воспользуемся формулой (1.16). Тогда

1

1

4

4

A r

j r dV

j r r r dV

j r ,

c

r r

c

c

(1.45)

(1.46)

(1.47)

rot H

4

j r ,

(1.48)

c

Мы получили еще одно уравнение, которое в отсутствие переменного электрического поля совпадает с третьим уравнением Максвелла.

1.4. Связь электрических и магнитных явлений. Закон электромаг-

нитной индукции. До сих пор мы рассматривали по отдельности электрические и магнитные явления. Даже из соображений симметрии можно предполо-

14

жить, что если электрический ток (движущиеся заряды, переменное электрическое поле) создает магнитное поле, то перемещение магнита (переменное магнитное поле) должно создавать электрическое поле. Первым, кто осознал единство электрического и магнитного полей, был Майкл Фарадей.

В 1821 году Фарадей впервые осуществил вращение магнита вокруг проводника с током и проводника с током вокруг магнита, создав лабораторную модель электрогенератора. После этого Фарадей поставил перед собой задачу "превратить магнетизм в электричество". Пожалуй, наиболее известное открытие Фарадея – явление электромагнитной индукции (1831 год) – возникновение электрического тока в проводнике при изменении потока магнитного поля через контур проводника.

Рассмотрим неподвижный контур в изменяющемся магнитном поле. Изменение магнитного поля вызывает изменение магнитного потока через контур и возникновение индукционного тока. Последнее свидетельствует о том, что изменение магнитного поля вызывает появление в контуре сторонних сил, действующих на носители тока, которые не связаны ни с химическими, ни с тепловыми процессами в проводнике. Мы приходим к выводу, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводнике электрическим полем. Пусть E – напряженность этого поля. Напомним, что электродвижущей силой (ЭДС) называется работа сторонних сил F над единичным положительным зарядом на каком-либо участке цепи или в замкнутом контуре:

Fdl q Edl ,		(1.49)
L	L

таким образом, возникающая в контуре ЭДС есть

		Edl .	(1.50)
	q	L

С другой стороны, согласно открытому Фарадеем закону электромагнитной индукции

15

	1	d	.
	c	dt
Тогда
Edl		1 d .
L		c dt

Левую часть преобразуем по теореме Стокса:

		Edl rot EdS .
		L			S
Преобразовывая также правую часть, получим:
	1 d		1 d		HdS	1	H dS .
	c dt		c dt		S	c	S t

(1.51)

(1.52)

(1.53)

(1.54)

	1 H			(1.55)
rot E	c	dS 0 .
S		t
rot E 1 H			0 .	(1.56)
	c	t

Уравнение (1.55) представляет собой интегральную форму закона Фарадея, которая непосредственно приводит к первому из уравнений Максвелла (1.56).

Уравнение (1.56) устанавливает глубокую связь между электрическим и магнитным полем и показывает, что рассмотрение этих полей по отдельности друг от друга возможно лишь в частных случаях. Действительно, электрическое поле создается системой неподвижных зарядов. Но если заряды неподвижны относительно некоторой системы отсчета, то относительно других систем отсчета эти заряды движутся и порождают не только электрическое, но и магнитное поле. Аналогично, неподвижный проводник с постоянным током создает в пространстве постоянное магнитное поле. Однако относительно некоторых других систем отсчета тот же проводник должен рассматриваться как движущийся. Поэтому создаваемое им магнитное поле будет меняться и порождать электрическое поле. Как мы видим, наблюдатели в различных системах отсчета

16

будут наблюдать разные физические явления, – это очень важная идея, воплотившаяся в теории относительности.

Другая важная идея – это идея объединения взаимодействий, согласно которой все силы (взаимодействия) в природе являются различными проявлениями единого поля. Эта идея сыграла очень важную роль в развитии теоретической физики в XX веке. В 1960-х годах С. Вайнбергом и А. Саламом была создана теория электрослабых взаимодействий, объединяющая электромагнитные и слабые взаимодействия. В принятой на сегодняшний день Стандартной Модели предполагается объединение электрослабых и сильных взаимодействий. Попытки объединить гравитацию с остальными взаимодействиями пока вызывают значительные трудности. Тем не менее идея объединения взаимодействий остается одной из тех идей, которые определяют развитие современной теоретической физики, и осознание единства электрического и магнитного полей было первым шагом в этом направлении.

1.5. Закон сохранения электрического заряда. Итак, нам пока удалось получить уравнения электромагнитного поля в форме

rot E r, t 1 H r, t ; c t

div H r, t 0;

(1.57)

rot H r, t 4c j r, t ; divE r, t 4 r, t .

Эти уравнения отличаются от системы уравнений Максвелла (1.1) лишь отсутствием в третьем из них члена, содержащего производную напряженности электрического поля по времени. В такой форме они были первоначально записаны Максвеллом. Однако, уравнения электромагнитного поля должны согла-

совываться с законом сохранения электрического заряда и непосредственно с ним связанным уравнением непрерывности.

17

Напомним, как выводится уравнение непрерывности. Рассмотрим произвольный объем V, ограниченный поверхностью S. Внутри этого объема сосредоточен заряд

q r, t dV .	(1.58)
V

Изменение заряда внутри объема V может происходить только вследствие того, что заряды покидают данный объем или, наоборот входят в него, пересекая поверхность S. Изменение заряда в объеме в единицу времени есть

dq j r, t dS . (1.59) dt S

Заметим, что силой тока называется именно количество заряда, переносимого через рассматриваемую поверхность в единицу времени. С одной стороны, она может быть определена как производная заряда по времени, с другой стороны,

– как интеграл по рассматриваемой поверхности от плотности тока j. Тогда

	d	r, t dV j r, t dS .		(1.60)
	dt
		V	S

Используя теорему Остроградского – Гаусса, получаем уравнение непрерывности:

	r, t		dV div j r, t dV ;			(1.61)
V		t		V
		r, t		div j r, t 0 .		(1.62)
		t
Статическому распределению зарядов соответствует
	r, t const;				j r, t 0..	(1.63)

Постоянному во времени магнитному полю соответствует постоянное распределение зарядов в пространстве и отличный от нуля постоянный во времени электрический ток:

r, t const; j r, t const 0.. (1.64)

Поэтому в данном случае

18

19

был введен в урав-

в согласии с уравнением непрерывности (1.62). Член

1 E c t

нения Максвеллом, который называл его плотностью "тока смещения". Однако это условное название. Новое слагаемое соответствует изменяющемуся во времени электрическому полю и восстанавливает симметрию между электрическим и магнитным полями (до введения этого слагаемого существование переменного электрического поля никак не было учтено в системе уравнений).

(1.68)

1c div Et 4c div j 0 .

С другой стороны, должно выполняться уравнение (1.62). Это показывает, что мы получим правильный результат, если добавим в третье уравнение член

1 E . Действительно, взятие дивергенции от обеих частей уравнения в этом c t

случае дает

(1.67)

div j r, t 0 .			(1.65)
Применим теперь операцию взятия дивергенции к третьему из уравнений
(1.57):
div rot H r, t	4	div j r, t .	(1.66)
	c

Поскольку, как уже указывалось выше, для любого векторного поля a справедливо соотношение (1.23), мы получаем, что уравнение (1.65) должно выполняться всегда, а не только в случае постоянного магнитного поля, что противоречит уравнению непрерывности. Таким образом, третье из уравнений (1.57) должно быть модифицировано.

Беря производную по времени от обеих частей последнего уравнения

(1.57), имеем:

1 div E .

t 4 t

1.6. Окончательная форма уравнений поля. Физический смысл урав-

нений Максвелла. Итак, мы приходим к полной системе уравнений Максвелла (1.1). Первое уравнение связывает напряженность электрического поля с изменением во времени напряженности магнитного поля и является, по существу, выражением закона электромагнитной индукции. Второе уравнение утверждает отсутствие источников магнитного поля (магнитных зарядов). Третье уравнение устанавливает связь между изменяющимся электрическим полем, током проводимости и напряженностью порождаемого ими магнитного поля. Четвертое уравнение показывает, что заряды являются источниками электрического поля (линии электрического поля начинаются и заканчиваются на электрических зарядах).

Первое и третье уравнения представляют собой векторные уравнения, т.е. каждое из них эквивалентно трем скалярным уравнениям. Таким образом, система уравнений Максвелла содержит всего 8 уравнений.

Уравнения Максвелла могут быть представлены в интегральной форме. Для этого первое и третье уравнения проинтегрируем по произвольной поверхности S и преобразуем левые части в соответствии с теоремой Стокса в интеграл по замкнутому контуру L, ограничивающему поверхность S. Второе и четвертое уравнения проинтегрируем по произвольному объему V и преобразуем левые части в соответствии с теоремой Остроградского – Гаусса в интеграл по замкнутой поверхности S', ограничивающей этот объем.

rot EdS		1	H dS;
S		c	S t
div HdV 0;
V				(1.69)
rot HdS		E dS
	1			4 jdS;
S	c	S	t	c S

divEdV 4 dV.

V V

20