Electrodynamics

определенной кристаллической структуры пропорциональны первой степени напряженности электрического поля.

8.7. Сегнетоэлектрики и их основные свойства. Особый класс пиро-

электриков представляют собой сегнетоэлектрики – кристаллические вещества, у которых спонтанная поляризация наблюдается в определенном интервале температур. Название "сегнетоэлектрики" объясняется тем, что впервые характерные для них свойства были обнаружены у кристаллов сегнетовой соли. На спонтанную поляризацию сегнетоэлектриков оказывают существенное влияние внешние воздействия. Величина электрического дипольного момента достаточно легко изменяется при изменении температуры, наложении внешних электрических полей и упругих напряжений.

Как правило, сегнетоэлектрик не поляризован однородно, но обладает доменной структурой. Различные области сегнетоэлектрика – домены – имеют различное направление поляризации (дипольного момента). Суммарный дипольный момент в обычных условиях может отсутствовать. Для понимания физических особенностей сегнетоэлектриков необходимо учитывать их термодинамические свойства. В состоянии равновесия доменная структура отвечает минимуму свободной энергии кристалла. Она определяется симметрией кристалла, расположением дефектов кристалла, а также тем, какие воздействия кристалл испытывал в прошлом (как говорится, "историей" образца).

При наложении внешнего электрического поля происходит перестройка доменной структуры, сопровождающаяся увеличение объемов доменов, направление поляризации которых совпадает с направлением внешнего поля, за счет уменьшения объемов доменов, поляризованных против поля. В достаточно сильном поле в кристалле остается только один домен. Кристалл остается поляризованным и после выключения поля в течении длительного времени. Для того, чтобы суммарный дипольный момент снова стал равен нулю, необходимо подвергнуть кристалл действию достаточно сильного поля противоположного направления. Таким образом, в сегнетоэлектриках наблюдается явление гисте-

121

резиса – неоднозначная зависимость поляризации от значения внешнего электрического поля, проявляющаяся в том, что кристалл с опозданием реагирует на изменение внешнего поля (греческое слово "гистерезис" означает отставание, запаздывание). При включении и последующем возрастании внешнего поля поляризация сначала резко увеличивается, а затем достигает насыщения. Соответствующее отставание состояния поляризации наблюдается также при постепенном уменьшении внешнего поля.

Поскольку поляризация сегнетоэлектриков сильно изменяется под воздействием внешних полей, для них характерна большая величина диэлектрической проницаемости. Возникновение спонтанной поляризации сегнетоэлектриков наблюдается в так называемой полярной фазе. В этом состоянии сегнетоэлектрики проявляют также пьезоэлектрические свойства.

При повышении температуры происходит фазовый переход из полярной фазы в неполярную. Температура фазового перехода называется температурой Кюри. В точке фазового перехода спонтанная поляризация исчезает (в некоторых веществах – скачком, что соответствует фазовому переходу первого рода, в других веществах – непрерывно, при фазовом переходе второго рода). Для анализа явлений, происходящих при фазовом переходе второго рода, следует обратиться к теории фазовых переходов Ландау. К сегнетоэлектрикам эту теорию применил В. Л. Гинсбург в 1945 году. Поляризация выступает в роли параметра порядка, полярная фаза, в которой возникает спонтанная поляризация, является упорядоченной, неполярная – неупорядоченной фазой.

8.8. Магнитные свойства веществ. Парамагнетики и диамагнетики.

Исходя из магнитных свойств, также можно выделить несколько характерных классов веществ. Парамагнетиками называются вещества, которые во внешнем магнитном поле приобретают магнитный момент, направление которого совпадает с направлением поля. Учитывая связь (7.41) между намагниченностью и напряженностью магнитного поля, можно сделать вывод, что для парамагнетиков магнитная восприимчивость 0 . Термин "парамагнетизм" ввел в 1845

122

году Майкл Фарадей. Парамагнетизм характерен для веществ, частицы которых обладают собственным магнитным моментом. В отсутствие внешнего поля магнитные моменты частиц ориентированы хаотически, так что суммарный магнитный момент равен нулю. Во внешнем поле магнитные моменты частиц ориентируются преимущественно по направлению поля, чем и объясняется свойство парамагнетиков 0 . В сильном поле магнитные моменты ориентируются строго по направлению поля. Существование у атомов магнитных моментов обусловлено орбитальными и спиновыми моментами электронов, а также моментами ядер. В металлах существенный вклад в формирование магнитного момента вносят электроны проводимости. В тех веществах, в которых нет электронов проводимости, а моменты электронных оболочек атомов скомпенсированы, магнитными моментами обладают только ядра. В этом случае парамагнетизм очень мал и может наблюдаться при сверхнизких температурах (порядка 0,1 K), при более высоких температурах тепловое движение частиц препятствует ориентации магнитных моментов по направлению поля.

Диамагнетиками называются вещества, которые во внешнем магнитном поле приобретают магнитный момент, направление которого противоположно направлению поля. Соответственно, для диамагнетиков магнитная восприимчивость 0 . Механизм намагничивания здесь совершенно другой, чем в случае парамагнетизма. В магнитном поле в электронной оболочке каждого атома возникают индуцированные круговые токи (круговое движение электронов). Токи создают в каждом атоме индуцированный магнитный момент, направленный противоположно внешнему полю, независимо от того, обладает ли атом собственным магнитным моментом. Поэтому диамагнетизм свойственен всем веществам. Намагниченность, связанная с диамагнетизмом, значительно меньше, чем обусловленная электронным парамагнетизмом.

8.9. Ферромагнетики и антиферромагнетики. Ферромагнетиками на-

зываются вещества, в которых магнитные моменты атомов параллельны, так

что ферромагнетик обладает спонтанной намагниченностью в отсутствие

123

внешнего магнитного поля. Как и спонтанная поляризация сегнетоэлектриков, спонтанная намагниченность ферромагнетиков наблюдается в определенном интервале температур. Ферромагнетик может обладать доменной структурой, в чем также проявляется сходство с сегнетоэлектриками. Намагниченность нелинейно растет с увеличением напряженности внешнего поля, наблюдается явление гистерезиса. При намагничивании изменяются размеры и форма ферромагнетика, т. е. имеет место эффект, в определенной степени аналогичный пьезоэффекту в сегнетоэлектриках. Это явление называется магнитострикцией ферромагнетиков. При адиабатическом намагничивании и размагничивании наблюдается изменение температуры ферромагнетика (так называемый магнето-

калорический эффект).

Упорядочение магнитных моментов в ферромагнетике обусловлено обменным взаимодействием и требует привлечения квантовой теории. При этом необходимо учитывать взаимодействие спинов между собой, а также с внешним магнитным полем.

При определенной температуре (температуре Кюри) происходит фазовый переход второго рода. Выше температуры Кюри ферромагнетик переходит в парамагнитное (неупорядоченное) состояние. В некоторых случаях ферромагнетик в результате фазового перехода оказывается в антиферромагнитном состоянии.

В антиферромагнетике магнитные моменты атомов упорядочены таким образом, что полный магнитный момент равен нулю. В антиферромагнетике можно выделить несколько кристаллических подрешеток, причем магнитные моменты разных подрешеток имеют различные направления. Как и в случае ферромагнетика, формирование такой упорядоченной структуры обусловлено обменным взаимодействием.

124

9.Электромагнитное поле в среде

спространственной и временной дисперсией

9.1.Общая связь между напряженностью электрического поля и электрической индукцией. Пространственно-временная дисперсия. Урав-

нения Максвелла (7.39), описывающие электромагнитное поле в среде, были получены нами при некоторых допущениях. Основным допущением являлась возможность усреднения по физически бесконечно малым объемам, а также временам, большим по сравнению с характерным временем флуктуаций микроскопического поля. Однако сделанные нами усреднения неправомерны в случае полей высокой частоты и в пространственно-неоднородных средах.

Сделанное усреднение предполагает, что изменение полей во времени и в пространстве должно быть достаточно плавным и происходить на расстояниях, больших по сравнению с размерами атомов и молекул. Если мы рассматриваем поля высокой частоты с длиной волны , должно выполняться условие

a ,

(9.1)

где a – характерный размер частиц вещества. Ему соответствует частотное ограничение

	c	.	(9.2)
	a

Кроме того, частота поля должна быть мала по сравнению с обратным временем релаксации, характерным для данного вещества,

	1 .	(9.3)

При выполнении этого условия поляризация P в данной точке пространства в данный момент времени определяется напряженностью электрического поля (средним значением микроскопического поля), в соответствии с (7.40), что приводит к соотношению (7.42).

Если же частота сравнима с обратным временем релаксации, изменения поляризации будут отставать от изменений поля и зависеть от истории процес-

са. Соотношение (7.42) необходимо заменить более общим:

125

D r, t	t	t,	t E r, t dt .	(9.4)

Здесь интегрирование ведется по всем более ранним моментам времени. Функция t, t несет информацию о поляризации среды в результате воздействия поля в предшествующие моменты времени. Поскольку все моменты времени равноправны, функция t, t должна зависеть только от разности t t , т. е.

D r, t t	t t E r, t dt .	(9.5)

Учтем теперь наличие в среде пространственных неоднородностей. Помимо условия (9.1) для того, чтобы проведенное ранее усреднение оставалось правомерным, необходимо потребовать выполнения более жесткого условия

l , (9.6)

где l – характерный размер неоднородностей среды. Если же ~ l , то необходимо учитывать значение поля в соседних точках пространства, и соотношение (9.5) нуждается в дальнейшем обобщении:

t

.

(9.7)

D r, t r, r

, t t

E r , t

dV dt

Рассмотрим случай, когда

зависит только от модуля расстояния

r, r ,

t t

между точками с радиус-векторами r и r', т. е.

t

, t t

.

D r, t

r r

E r

, t

dV dt

(9.8)

Разложим E r, t , D r, t

в интегралы Фурье по трем пространственным коор-

динатам и времени:

E r, t

1

E k, e

i kr t

d

3

k d ;

(9.9)

2 4

D r, t

1

D

k, e

i kr t

d

3

k d .

(9.10)

2 4

126

Подставим эти разложения в (9.8):

1d 3k d ei kr t D k,

2 4

1

t

i kr t

3

d

k d dt

dV

r r

,

t t

E k, e

2

4

1

3

i kr t

t

i k r r t t

d

k d e

E k, dt

dV

r r

, t t

e

2

4

1

d

3

k d e

i kr t

E k, k,

2 4

Здесь

k, t dt dV r r , t t e i k r r t t

После введения новых переменных
	t t
R r r ,
k, представима в виде

(9.11)

(9.12)

(9.13)

k, d d 3 R R, e i kR .	(9.14)
0

Подчеркнем, что k, не является фурье-образом функции R, . Однако

из (9.11) следует
D k, k, E k, .	(9.15)
Именно k, связывает фурье-образы векторов E и D.	Диэлектрическая

проницаемость в области высоких частот оказывается зависящей от частоты и волнового вектора. Это явление получило название пространственно-

временной дисперсии.

Если пространственными неоднородностями можно пренебречь, диэлектрическую проницаемость можно считать функцией только от t t . В этом случае формулы упрощаются, в частности. (9.14), (9.15) принимают вид:

127

d ei ;	(9.16)
0
D E .	(9.17)

9.2. Дисперсионное уравнение. Один из методов решения уравнений Максвелла состоит в том, чтобы искать решения в виде разложений в интегралы Фурье. Выше мы уже использовали разложение E r, t , D r, t в интегралы Фурье (9.9), (9.10). Разложим также H r, t , B r, t :

H r, t	1		H k, e		i kr t		d	3		k d ;	(9.18)
	2 4
B r, t	1		B k, e	i kr t		d		3	k d .		(9.19)
	2 4

Подставим разложения (9.9), (9.10), (9.18), (9.19) в уравнения Максвелла (7.39). Запишем уравнения Максвелла для гармоник Фурье:

k,E k, c B k, ;

k,B k, 0;

(9.20)

k,H k, c D k, i 4c j k, ;

k,D k, 4 i k, .

При этом задача об интегрировании системы уравнений в частных производных сводится к задаче о решении системы алгебраических уравнений и последующим применением формул обратного преобразования Фурье. Для решения

этих уравнений необходим использовать		связь между D k, и E k, ,
B k,	и H k, . Выше было показано,	что диэлектрическая проницаемость
k,	в области высоких частот оказывается зависящей от частоты и волно-

вого вектора. Вообще говоря, диэлектрическая проницаемость является не скалярной, а тензорной величиной, так что соотношение (9.15) допускает дальнейшее обобщение, и его следует записать в виде:

128

	Di k, ij k, Ej k, .									(9.21)
Умножим первое из уравнений (9.20) векторно на k:
k, k,E k,						k,B k, ;				(9.22)
					c
В левой части раскроем двойное векторное произведение,
k, k,E			k,		k		k,E		k2E ,	(9.23)

кроме того, будем для простоты считать, что среда не обладает какими-либо магнитными свойствами (магнитная проницаемость среды 1), и в среде не протекает электрический ток ( j k, 0). В этом случае можно считать, что

B k, H k, и воспользоваться третьим из уравнений (9.20):

c k,B c k,H					2
				c2		D.	(9.24)
В итоге
k2E k k,E				2	D .		(9.25)
				c2
В тензорных обозначениях
k2 ij ki k j				2
	Ej 2				Di .		(9.26)
				c
Воспользовавшись уравнением связи (9.21), получим уравнение:
	2						(9.27)
k2 ij ki k j	c		2 ij Ej 0 .
Это уравнение будет иметь нетривиальные решения при условии
k2 ij ki k j		2		ij 0 ,			(9.28)
			c2
которое позволяет определить зависимость ij						k,	от k и , иначе говоря,

представляет собой дисперсионное уравнение. Для его решения необходимо учитывать симметрию среды.

129

Рассмотрим среду, пространственно однородную и изотропную в больших (макроскопических) масштабах, что не исключает наличия неоднородностей на микроуровне. В такой среде направление вектора k является единственным выделенным направлением. Симметричный тензор второго ранга ij k,

в среде с единственным выделенным направлением может быть выражен только через единичный тензор ij и компоненты вектора k. Из этих величин тензор

ij k, может быть составлен единственным образом:

			k k				k k
ij k, 1	k,	ij	i	j		2 k,	i	j	.	(9.29)
			k	2			k	2

Выберем систему координат так, чтобы направление оси z совпадало с направлением вектора k. В этой системе координат тензор ij k, приводится к диа-

гональному виду

1	0	0
ij 0	1	0	.	(9.30)
	0	2
0

Как мы видим, тензор является симметрическим (два из трех главных значений тензора совпадают), вектор k определяет одно из главных направлений тензора, в то время как два других лежат в плоскости, перпендикулярной вектору k, и могут быть выбраны произвольно. Это соответствует симметрии среды. Можно сказать, что при наличии пространственной дисперсии изотропная среда характеризуется поперечной (перпендикулярной) диэлектрической проницаемостью1 k, и продольной 2 k, .Подстановка (9.30) в дисперсионное уравнение (9.28) дает:

	2	1	k, k2	0 ,	(9.31)
	c2
		2 k, 0 .			(9.32)

130