Коршикова_Калиниченко_УМК

Êмодулю 11.

11.1.Дайте определение точки локального максимума (минимума) функции многих переменных. Что называется точкой локального экстремума функции многих переменных?

11.2.Сформулируйте необходимое условие локального экстремума функции одной переменной. Дайте определения стационарной и критической точки функции одной переменной.

11.3.Покажите на примерах, что необходимое условие локального экстремума не является достаточным.

11.4.Сформулируйте достаточные условия наличия (отсутствия) локального экстремума функции одной переменной в критической точке.

11.5.Сформулируйте необходимое условие локального экстремума функции многих переменных.

11.6.Сформулируйте достаточные условия наличия (отсутствия) экстремума функции многих переменных в стационарной точке и следствие для функции одной переменной.

11.7.Дайте определение симметричной квадратичной формы в Rn; положи-

тельно (отрицательно) определенной, знакопеременной квадратичной формы. Что называется матрицей квадратичной формы?

11.8. При каких условиях на функцию многих переменных f ее второй дифференциал в точке a является симметричной квадратичной формой в Rn. Óêà- жите переменные этой формы.

11.9.Сформулируйте критерий Сильвестра определенности симметричной квадратичной формы.

11.10.Сформулируйте достаточные условия наличия (отсутствия) локально-

го экстремума функции многих переменных в стационарной точке в терминах главных миноров матрицы квадратичной формы d2fa(Δx).

11.11.Сформулируйте уточненные достаточные условия наличия (отсутствия) локального экстремума функции двух переменных в стационарной точке.

11.12.Дайте определение направления выпуклости вверх (вниз) графика функции одной переменной на интервале. Сформулируйте достаточные условия направления выпуклости.

11.13.Дайте определение точки перегиба графика функции одной переменной. Сформулируйте необходимое условие точки перегиба. Покажите на примерах, что оно не является достаточным.

11.14.Сформулируйте достаточные условия точки перегиба графика функции одной переменной в терминах второй и высших производных.

21

11.15.Дайте определения вертикальной и наклонной асимптот графика функции одной переменной.

11.16.Сформулируйте критерий того, что прямая y = kx + b является на-

клонной асимптотой графика функции y = f(x) при x → +∞ (x → −∞).

Êмодулю 12.

12.1.Дайте определение неявной функции, определяемой уравнением.

12.2.Сформулируйте локальную теорему о существовании непрерывной неяв-

ной функции y = f(x), определяемой уравнением F (x1, . . . , xn; y) = 0.

12.3.Сформулируйте локальную теорему о существовании непрерывно дифференцируемой неявной функции, определяемой уравнением. Укажите формулу вычисления частных производных неявной функции.

12.4.Дайте определение неявного отображения, определяемого системой урав-

нений.

12.5.Сформулируйте понятие обратного отображения и локальную теорему

îсуществовании непрерывно дифференцируемого обратного отображения.

12.6.Дайте определение точки локального условного экстремума функции

многих переменных f(x; y) при условиях связи F (x; y) = 0. Какова связь между

наличием в заданной точке у функции многих переменных локального экстремума и локального условного экстремума? Дайте геометрические пояснения.

12.7. Выпишите функцию Лагранжа задачи условного экстремума функции f(x1, . . . , xn; y1, . . . , ym) при условиях связи Fk(x1, . . . , xn; y1, . . . , ym) = 0, k = 1, . . . , m.

12.8.Сформулируйте теорему о достаточных условиях локального условного экстремума функции многих переменных в стационарной точке, найденной методом Лагранжа.

Êмодулю 13.

13.1.Дайте определения

а) интегральной суммы, составленной по функции f, разбиению τ отрезка [a, b] и выборке η;

б) предела интегральных сумм при d(τ) → 0; в) интегрируемой на отрезке [a, b] функции;

Rb

г) определенного интеграла f(x) dx;

a

д) класса R[a, b].

13.2. Сформулируйте необходимое условие интегрируемости функции. Покажите на примерах, что это условие не является достаточным.

22

13.3.Покажите, что функция f(x) = c, x [a, b], интегрируема на [a, b].

13.4.Дайте понятия верхней и нижней сумм Дарбу, сформулируйте их свой-

ñòâà.

13.5.Сформулируйте критерий Дарбу интегрируемости функции.

13.6.Какие классы интегрируемых функций вы знаете?

13.7.Сформулируйте свойства определенного интеграла, связанные с операциями над функциями.

13.8.Что можно сказать об интегрируемости функции f на отрезке [a, b], если

функция |f| интегрируема на [a, b]?

13.9.Сформулируйте свойства определенного интеграла, связанные с отрезками интегрирования.

13.10.Дайте понятие кусочно-непрерывной на отрезке [a, b] функции. Как

вычисляется интеграл от нее?

13.11.Сформулируйте теорему об интегрируемости измененной функции.

13.12.Сформулируйте свойства определенного интеграла, связанные с неравенствами.

13.13.Сформулируйте первую теорему о среднем.

13.14.Дайте определение интеграла с переменным верхним (нижним) пределом. Сформулируйте его свойства.

13.15.Для каких подынтегральных функций интеграл с переменным верхним пределом является первообразной?

13.16.Сформулируйте теорему об интегрировании по частям определенного интеграла.

13.17.Сформулируйте теорему о замене переменной в определенном интегра-

ëå.

13.18.При каких условиях справедлива формула Ньютона-Лейбница?

13.19.Сформулируйте вторую теорему о среднем.

23

Задания для самостоятельной работы

Êмодулю 1.

1.1.Докажите, что множество X = (2, 4) не имеет максимального (минимального) элемента и что sup X = 4, inf X = 2.

1.2. Пусть X, Y 6= , Y X R. Докажите, что если X ограничено сверху, то Y ограничено сверху и sup Y ≤ sup X.

1.3. Пусть множество X ограничено сверху. Докажите, что множество Y =

{y R : y = −x, x X} ограничено снизу и inf Y = − sup X.
1.4. Найдите точные границы множества Q ∩ (0, 1).	√x?
1.5. Суперпозицией каких функций является функция y = sin3

1.6.Выпишите ϕ(ψ(x)) и ψ(ϕ(x)), если ϕ(x) = x3, ψ(x) = 3x.

1.7.Имеет ли функция

x , x < 1 ,

f(x) = x2 , x [1, 4] ,2x , x > 4

обратную?

Êмодулю 2.

2.1. Ограничена ли последовательность {xn}, åñëè

	à) xn =	(−1)n	;	á) xn = 2n + sin n ;
		n
				ã) xn = 3(−1)nn ?
	â) xn = cos n ;

2.2.Известно, что lim xn√= 1. Докажите, что lim(xn+1 − xn) = 0.

2.3.Докажите, что lim n 5 + αn = 1, åñëè {αn} бесконечно малая после-

довательность.

2.4.Пусть xn ≥ yn, n N, è lim yn = +∞. Докажите, что lim xn = +∞.

2.5.Докажите, что последовательность xn = 2(−1)nn является неограничен-

ной, но не бесконечно большой.

2.6.Докажите, что если {xn} сходящаяся последовательность, а {yn} бесконечно большая, то {xn + yn} бесконечно большая.

2.7.Приведите примеры сходящейся последовательности {xn} и бесконечно большой последовательности {yn} таких, что последовательность {xn · yn} ÿâ-

ляется а) сходящейся;

б) расходящейся, но ограниченной;

24

в) бесконечно большой; г) неограниченной, но не бесконечно большой.

2.8. Докажите, что если последовательность {xn} является положительной бесконечно большой, то множество X = {xn : n N} имеет минимальный элемент.

2.9.Найдите наименьший элемент последовательности {xn}, åñëè xn = n2 −

9n − 100, n N.

2.10.Пусть lim yn = 1, à {xn} расходится. Докажите, что тогда {xn · yn}

расходится.

2.11. Укажите какую-нибудь сходящуюся подпоследовательность последовательности {xn}, åñëè

à) xn = cos	nπ	;	á) xn = n(−1)n .
4

2.12.Приведите пример неограниченной последовательности, имеющей сходящуюся подпоследовательность.

2.13.Докажите, что последовательность {xn}: xn = 0, 22 . . . 2 (после запятой

n знаков) является фундаментальной.

2.14. Докажите с помощью критерия Коши сходимость последовательности

{xn}:

	sin α		sin 2α		sin nα
xn =		+		+ . . . +			.
			2			n
2			2		2

2.15.Докажите, что любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности является бесконечно большой.

2.16.Пусть {xn} è {yn} фундаментальные последовательности. Докажите,

что последовательности {xn+yn} è {xn·yn} тоже являются фундаментальными.

2.17.Докажите, что если {xn} не является бесконечно малой и lim(xn −yn) = 0, òî xn yn.

2.18.Докажите, что монотонная ограниченная последовательность фундаментальна.

Êмодулю 3.

3.1.Пусть последовательность {xn} сходится и lim xn = a. Можно ли утверждать, что множество X = {xn : n N} имеет предельную точку a?

3.2.Пусть a предельная точка множества X = {xn : n N}. Можно ли сказать, что lim xn = a?

3.3.Докажите, что если a единственная предельная точка множества X =

{xn : n N}, òî lim xn = a.

25

множества XX.	= 2(−1) + n : n N . Укажите множество предельных точек
3.4. Пусть	n	1
3.5. Докажите, что функция y = cos x не имеет предела при x → +∞.				1
3.6. Пусть f : X R → R. Можно ли утверждать, что если для εn =
				2n

(n N) существует δn = δ(εn) > 0 такое, что

|f(x) − 1| < εn , x X , 0 < |x − 2| < δn ,

òî lim f(x) = 1?

x→2

3.7.Докажите, что если функция f имеет в точке a конечный предел, то f(x) = O(1) ïðè x → a.

3.8.При каких α и β функция f(x) является бесконечно малой при x → +0,

åñëè

1			ln(1 + xα)		1
à) f(x) = xα sin		; á) f(x) =			; â) f(x) = xα arctg		.
	xβ		xβ
					xβ

3.9. При каких α и β функции f(x) и g(x) = αxβ эквивалентны при x → a, если

α

q

à) f(x) = r2x +

1

x + √x , a = +0 ;

á) f(x) = 1 − cos 1 − cos

x

, a = +∞ .

3.10. Указать функции вида ax , эквивалентные f(x) при x → +0, если

2

√

2 √

√3

à)

á)

â)

27 − x ;

f(x) = sin

(5

x) ;

f(x) = sin (5

x + x) ;

f(x) = 3

−

ã) f(x) = ln cos

2x ;

ä) f(x) = ln(ex +

√

) .

x

Êмодулю 4.

4.1.Пусть функция f не является локально ограниченной в точке a D(f). Можно ли утверждать, что f непрерывна в точке a? Если она терпит разрыв,

то укажите его род.

4.2. Пусть функция f непрерывна в точке a и в любой окрестности точки a

принимает как положительные, так и отрицательные значения. Докажите, что f(a) = 0.

4.3.Пусть функция f определена и не ограничена на отрезке [a.b]. Докажите, что функция f имеет хотя бы одну точку разрыва на [a, b], причем второго рода.

4.4.Докажите, что если функция f имеет в точке a разрыв первого рода, то она локально ограничена в точке a.

26

4.5. С помощью определения непрерывной в точке a функции f докажите, что если f(a) 6= 0, то

C > 0 , Ua : |f(x)| ≥ C , x Ua ∩ D(f) .

4.6. Выясните, существует ли такое a, при котором функция f непрерывна в точке x = 0, если

à) f(x) =	x sin x1 ,	x 6= 0 ,	á) f(x) =	ax2 + 1 ,	x > 0 ,
	a ,	x = 0 ;		−x ,	x ≤ 0 .

4.7.В каких точках непрерывна функция

x2 − 1 , x − иррациональное число ,

f(x) =

0 , x − рациональное число .

4.8.Пусть функции f и ϕ определены на множестве X, функция f непрерывна в точке a, а ϕ терпит разрыв в этой точке. Докажите, что функция f(x) + ϕ(x) тоже терпит разрыв в точке a, причем того же рода, что и функция

ϕ.

Êмодулю 5.

5.1.Укажите точки (в случае существования), в которых функция f опреде-

лена, но не дифференцируема, если	p
5.2. Покажите на примерах, что				f и ϕ, определенные на X
à) f(x) = |x2 − 3x| ; á) f(x) =	|x|3 ; â) f(x) =				√5	x	; ã) f(x) = x3 .
если функции								, íå

имеют конечной производной в точке a X, то f + ϕ может как иметь, так и не иметь конечной производной в точке a.

5.3.Приведите пример функции f, для которой не существуют конечные f0(x0) è (f2)00(x0), íî f3(x) дифференцируема в точке x0.

5.4.Приведите пример функции f, которая не имеет производной ни в одной точке множества R, а f2 дифференцируема всюду на R.

5.5.Является ли дифференцируемой в точке a = 0 функция

· | |		(	0 ,						x = 0 ?
			1	− cos x				,	x = 0 ,
à) f(x) = x x ;	á) f(x) =				x				6
Если да, то укажите f0(0).
5.6. Найдите такие числа a и b, что функция
	ax + b ,	x >			π	,
					2
f(x) =
					π
		x	≤
					2
	cos x ,

27

дифференцируема на R.

5.7. Найдите односторонние производные f+0 (0), f−0 (0), åñëè

à) f(x)

x2sgn x

á) f(x) =

p

sin2 x

â) f

x

= x

x

=

;

;

x

(

)

2

|

| sin

;

ã)

x ,

x

0 ,

ä)

(1

− x

) , x 6= 0 ,

x

f(x) =

3

≤

f(x) =

( | |

√x4 ln x , x > 0 ;

x = 0 .

1 ,

5.8. В каких точках x дифференциал функции y = cos x не эквивалентен ее приращению при x → 0?

5.9. Пусть функция ϕ(x) дифференцируема и удовлетворяет условию ϕ0(x) = f(ϕ(x)), где f имеет конечные производные всех порядков. Доказать, что ϕ(x) также имеет производные всех порядков.

5.10.Пусть функция f дифференцируема в точке x0 è f(x0) 6= 0, а функция g(x) не является дифференцируемой в точке x0, но непрерывна в ней. Докажи- те, что функция f(x) · g(x) не дифференцируема в точке x0.

Êмодулю 6.

6.1.Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и f(x) 6= 0, x [a, b]. Докажите, что существует C > 0 такое, что |f(x)| ≥ C, x [a, b].

6.2.На примере покажите, что аналогичное утверждение может оказаться неверным в случае непрерывной на интервале функции.

6.3.Докажите, что многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действи-

тельный корень.

6.4. Пусть функции f(x) и ϕ(x) непрерывны на отрезке [a, b] и f(a) > ϕ(a), f(b) < ϕ(b). Докажите, что найдется c (a, b) такое, что f(c) = ϕ(c).

6.5.Приведите пример функции, ограниченной на отрезке [0, 1], но разрывной на [0, 1].

6.6.Покажите, что функция f(x) = x+ sgn x имеет на отрезке [−1, 1] разрыв

âточке x = 0, а обратная функция непрерывна на ее области определения.

6.7.Покажите, что не существует функции f C([a, b]), для которой E(f) =

R.

6.8.Существует ли функция f, непрерывная на [a, b] такая, что E(f) = [0, 1] [3, 4]? Почему?

6.9.Приведите пример неограниченной функции, равномерно непрерывной на [0, +∞).

6.10.Докажите, что если функция f непрерывна на двух отрезках, то она равномерно непрерывна на их объединении.

28

6.11.

Докажите, что если f(x) непрерывна на промежутке [0, +∞)

è

x

lim

f

(

x

) =

C

R

, то f(x) ограничена и равномерно непрерывна на

[0

,

+∞)

.

→

+

∞

√

6.12.Является ли функция f(x) = x равномерно непрерывной на множестве а) [0, 1]; б) (0, 1); в) [0, +∞)?

6.13.Докажите, что уравнение x5 − 3x = 1 имеет хотя бы один корень на

	интервале (1, 2).
	6.14. Докажите, что функция f(x) =	| sin x|	равномерно непрерывна на ин-
		x

тервалах (−1, 0) и (0, 1), но не является равномерно непрерывной на их объ-

единении.

6.15. Докажите, что сумма равномерно непрерывных на множестве X функ-

ций равномерно непрерывна на нем.

6.16. С помощью теоремы Лагранжа докажите, что для всех x, y R

|cos x − cos y| ≤ |x − y| ; | arctg x − arctg y| ≤ |x − y| .

6.17.Используя теорему Ролля, докажите, что если все корни многочлена P (x) n-ой степени с вещественными коэффициентами вещественны и различны,

òî P 0(x), P 00(x), . . . , P (n−1)(x) имеют только вещественные корни.

6.18. Докажите, что если функция f дифференцируема на интервале (1, 3) и

существуют конечные равные пределы lim f(x),	lim f(x), то имееется точка
x→1+0	x→3−0
c (1, 3) такая, что f0(c) = 0.

6.19. Докажите, что если функция f удовлетворяет на отрезке [a, b] условиям

теоремы Ролля и не является постоянной, то существуют c1, c2 (a, b) такие, что f0(c1) < 0, f0(c2) > 0.

6.20.Докажите, что функция f : (a, b) → R, имеющая ограниченную производную на (a, b), равномерно непрерывна на (a, b).

Êмодулю 8.

8.1.Докажите, что сфера Va(r) = {x Rn : ρ(x, a) = r} совпадает со своей границей и является замкнутым в Rn множеством.

8.2.Найдите множество предельных точек открытого шара Sa(r) â Rn.

8.3.Докажите, что для любого непустого множества X в Rn его граница

является замкнутым множеством.

8.4. Приведите пример последовательности открытых в R2 множеств, пере-

сечение которых не является открытым множеством.

8.5. Докажите, что фундаментальность последовательности точек простран- ñòâà Rn эквивалентна фундаментальности соответствующих координатных по-

следовательностей в R1.

29

8.6.Докажите, что если X открытое, а Y замкнутое в Rn множество, то X \ Y открыто.

8.7.Приведите пример замкнутого в Rn множества X, которое не совпадает

ñзамыканием своей внутренности ( X 6= int X).

Êмодулю 9.

9.1.Найдите предел и повторные пределы (в случае их существования) функции f(x, y) в точке (0, 0), если

1

xy

à) f(x, y) = x + y sin

;

á) f(x, y) =

;

x

x2

+ 3y2

â) f(x, y) = x sin

1

+ y sin

1

;

ã) f(x, y) =

x2

− y2

.

y

x

x2

+ y2

9.2. Пусть функция f непрерывна в точке a int D(f), C R и f(a) > C. Докажите, что существует такая окрестность точки a, в которой f(x) > C.

9.3. Пусть f C(Rn), C R. Докажите, что множество точек, в которых f(x) = C, является замкнутым.

9.4.Пусть f C(Rn), C R. Докажите, что множество {x R : f(x) < C} открыто, а множество {x R : f(x) ≤ C} замкнуто.

9.5.Исследуйте на равномерную непрерывность функцию f(x, y) = 2x−3y+1 на множестве R2.

9.6.Докажите, что если функция многих переменных f непрерывна на компакте X Rn, то образ f(X) будет компактом в R1.

9.7.Докажите, что если X линейно связное в Rn множество и f C(X),

то f(X) промежуток.

Êмодулю 10.

10.1. Найдите ∂f∂x(0, 0), ∂f∂y (0, 0), åñëè

(	0 ,	1	x2	+ y2	= 0 ;
à) f(x, y) =	e−	x2+y2	, x2	+ y2	6= 0 ,

á) f(x, y) =	x2		+ 3y2		6
		x3	− y3	, x2 + y2	= 0 ,
		0 ,		x2 + y2 = 0 ;

		(x2 + y2) sin	1		,	x2 + y2 6= 0 ,
â) f(x, y) =				x2 + y2
		0 ,	p			x2 + y2 = 0 .

10.2. Докажите, что функция

f(x, y) =

0 на осях координат ,

1 в остальных точках

30