Коршикова_Калиниченко_УМК

не дифференцируема на осях координат. Найдите ∂f∂x è ∂f∂y в остальных точках плоскости, если они существуют.

10.3. Докажите, что функция

		(x2 + y2) sin				1			,	x2 + y2 6= 0 ,
f(x, y) =							x2 + y2
		0 ,			p					x2 + y2 = 0
			∂f		è	∂f		не являются непрерывными в этой
дифференцируема в точке (0, 0), но
			∂x			∂y
точке.

10.4. Составьте уравнение касательной плоскости к поверхности z = x2 + y2

âточке M0(1, 2, 5).

10.5.Пусть функция f : X R1x → R дифференцируема в точке x0, à ôóíê- öèÿ ϕ : Y R1y → R дифференцируема в точке y0. Докажите, что функции

f(x) + ϕ(y) и f(x) · ϕ(y) дифференцируемы в точке (x0, y0).

∂10f

10.6.Найдите ∂x2∂y8 , åñëè f(x, y) = exy.

10.7.Разложите по формуле Тейлора функцию f(x, y) = −x2 + 2xy + 3y2 −

6x + 2y в точке (−2, 1).

Êмодулю 11.

11.1. Выпишите матрицу квадратичной формы

ϕ(x1, x2, x3) = 2x21 − 4x1x2 + 6x1x3 − x22 − 2x2x3 + 3x23

èвычислите ее главные миноры.

11.2.Пользуясь критерием Сильвестра, выясните, является ли знакоопреде- ленной в R3 квадратичная форма

ϕ(x1, x2, x3) = x21 − 2x1x2 + 2x22 + 4x2x3 + 8x23 .

11.3. Докажите, что если функция f дифференцируема на интервале (a, b), a, b R, и существуют конечные равные между собой пределы f(a+0), f(b−0), то в интервале (a, b) есть хотя бы одна стационарная точка функции f.

11.4. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Докажите, что функция

F (x) = f(x)(b − a) + (f(b) − f(a))(a − x)

имеет хотя бы одну стационарную точку на интервале (a, b).

31

Êмодулю 12.

12.1. Определяет ли уравнение x2 + y2 = 1 неявную функцию y = f(x) на

à) (−1, 1) × (−∞, +∞) ; á) (−1, 1) × (−∞, 0] ; â) (−1, 1) × (0, +∞) ?

12.2. Докажите, что уравнение x2 + y2 = 5 не определяет на множестве (−1, 1) Ч (0, 2] непрерывную неявную функцию y = f(x). Какое условие теоре-

мы существования непрерывной неявной функции не выполнено?

12.3. Докажите, что уравнение y + 13 sin y − x = 0 определяет непрерывно дифференцируемую неявную функцию y = f(x), x (−∞, +∞). Найдите

f0(x).

12.4.Докажите, что уравнение x2−xy+2y2+x−y = 1 определяет в некоторой

окрестности точки M0(0, 1) непрерывно дифференцируемую неявную функцию y = f(x). Найдите f0(0).

Êмодулю 13.

13.1.Приведите пример функции, которая не является интегрируемой на отрезке [0, 1], а ее квадрат интегрируем.

13.2.Пусть f R[a, b], f / R[b, c]. Что можно сказать об интегрируемости

функции f на отрезке [a, c]?

13.3. Пусть функция f неотрицательна и интегрируема по Риману на отрезке [a, b]. Докажите, что если имеется точка x0 [a, b], в которой f непрерывна и

b

в которой f(x0) > 0, òîbRa

f(x) dx > 0.

13.4. Известно, что f(x) dx >

ab g(x) dx и a < b. Следует ли отсюда, что

a

Приведите примеры.

f(x) > g(x) äëÿ âñåõ xR

[a, b]?

R

b

13.5. Используя результат задачи 13.3, докажите, что если f C([a, b]), то

Ra

f2

x

dx

тогда и только тогда, когда f x

íà [a, b].

(

)

= 0

( ) ≡ 0

b

13.6. Пусть f C1([a, b]) и f(a) = f(b). Чему равен Ra

f0(x) dx?

13.7. Выясните, не вычисляя, какой из интегралов больше:

à)

Z0

1 x2 dx èëè

Z0

1 x3 dx ;

á)

Z1

2 x2 dx èëè

Z1 2 x3 dx ;

â)

Z0

1

2x2 dx èëè

Z0

1

2x3 dx ;

ã)

Z1

2 ln x dx èëè

Z1

2 ln2 x dx .

32

13.8. Докажите, что

Z0

10

x

5

dx ≤

.

x3 + 16

6

13.9. Докажите, что

≤ Z0

2

2

2

−x dx ≤ 2e2 .

√4

ex

2

13.10. Оцените

Z0

2 x2 + 5

dx .

[ 1, 1], найдите F 0(0).

x2 + 2

dt дифференцируема на отрезке

F (x) =

R0

t

13.11. Покажите, что функция

x sin t

−

ex

13.13*. Пусть функция y = y(x)

R

ln t

13.12. Найдите F 0(x), åñëè F (x) =

dt.

2

t

Z y(x)

определяется уравнением

Zx

et dt + cos t dt = 0 .

0

0

Докажите, что функция y(x) непрерывно дифференцируема на R и найдите

y0(x).	R	F (x) =
13.15*. Найдите точки экстремума и точки перегиба
	x
13.14*. Исследуйте на экстремум функцию F (x) =	t e−t2 dt.
	0
R0 (x2 − 3x + 2) dx.	графика функции
x

33

Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов

Самостоятельная работа студента по курсу математического анализа заключа- ется прежде всего в освоении теоретического материала, изложенного на лекциях. При этом полезно использовать вспомогательную литературу (как из основного, так и из дополнительного списка). Основной задачей студентов является осмысление вводимых понятий, фактов и связей между ними. Кроме того, студент должен познакомиться и научиться применять самостоятельно наиболее важные методы математического анализа, демонстрируемые при доказательстве теорем.

Рекомендации по использованию литературы

Наиболее близким к курсу лекций, читаемому студентам, обучающимся по направлению 010100 "Математика", является в 1-ом семестре учебник [5], а во 2-ом семестре [6]. Эти учебники содержат теоретический материал по соответствующим модулям и достаточно большое количество задач разного уровня сложности для самостоятельной работы. Кроме учебников [5] и [6] студенту полезно в случае необходимости обратиться к курсам, изложенным в [1]-[4] и в [8]-[10].

Ниже для каждого модуля приведены (с указанием страниц) наиболее удобные учебники.

Модуль 1. Введение в анализ.

[5] c. 3 8, 13 16; [1] c. 13 30, 33 34; [8] c. 7 13.

Модуль 2. Предел последовательности.

а) Множество R.

Аксиоматический подход: [5] c. 8 12, 16 20; [1] c. 44 66, 79 80. Другие подходы: [2] c. 13 30; [4] c. 9 39.

б) Предел числовой последовательности. [5] c. 24 40; [1] c. 87 100; [2] c. 30 50; [3] c. 79 99; [4] c. 29 54.

Модуль 3. Предел функции.

[5] c. 48 67, 86 87; [2] c. 74 91, 116 129; [3] c. 111 134; [4] c. 83 97. 125 137.

Для изучения предела по базе: [1] c. 137 157; [3] c. 135 139; [8] c. 57 62.

Модуль 4. Непрерывные функции.

[5]c. 69 74, 81 86; [2] c. 91 96, 106 116; [3] c. 140 145, 149 151, 180 183;

[4]c. 98 137.

34

Модуль 5. Дифференцируемые функции.

[5] c. 93 109, 115 116; [2] c. 133 168; [3] c. 205 239; [4] c. 139 169.

Модуль 6. Основные свойства непрерывных и дифференцируемых функций.

[5] c. 75 81, 87 90, 109 115, 116 118; [2] c. 97 106, 169 195; [3] c.183 194, 242 273; [4] c. 169 197.

Модуль 7. Неопределенный интеграл.

[5]c. 140 180; [2] c. 339 347, 365 400; [3] c. 314 362.

Модуль 8. Евклидово пространство Rn.

[6]c. 41 54; [2] c. 264 283; [3] c. 532 546; [4] c. 247 258.

Модуль 9. Функции многих переменных (предел, непрерывность).

[6] c. 54 70; [2] c. 283 296; [3] c. 546 560; [4] c. 258 269.

Модуль 10. Дифференцируемость функций многих переменных .

[6] c. 70 102; [2] c. 303 339; [3] c. 560 596; [4] c. 269 288, 595 598.

Модуль 11. Исследование функций.

[5] c. 123 134; [6] c. 102 109; [2] c. 198 213; [3] c. 242 244, 285 305, 596 605; [4] c. 197 217, 598 614.

Модуль 12. Неявные функции. Условный экстремум.

[6] c. 109 138; [3] c. 662 707; [4] c. 288 299, 604 614.

Модуль 13. Определенный интеграл.

[5] c. 3 41; [2] c. 400 435; [3] c. 362 391; [4] c. 348 375; [8] c. 183 197, 206 232.

Для работы на практических занятиях, выполнения домашних и индивидуальных заданий рекомендуется использовать задачники [7], [11 14], а также методические указания к практическим занятиям по математическому анализу на I-ом курсе в 1-ом семестре [1 3], а во 2-ом [5 7].

Рекомендации по работе с контрольными вопросами

èзаданиями для самостоятельной работы

Âпункте "Контрольные вопросы"содержатся вопросы по теоретическому материалу и простейшие задачи, решение которых не требует вычислений. Вопросы направлены на знание и раскрытие сути понятия, формулы или теоремы. Отвечая на контрольные вопросы, студент может самостоятельно контролировать степень усвоения пройденного материала.

Âпункте "Задания для самостоятельной работы"дана подборка достаточ- но простых заданий. Внимание в них уделяется не столько техническим приемам, сколько различным нюансам: существенность условий теоремы, границы

35

ее применения и так далее. Выполнение этих упражнений позволяет сделать вывод о хорошем понимании материала студентом. Задачи повышенной сложности могут быть взяты из учебников [5], [6] или из задачников [11 14].

Примеры индивидуальных работ 1-го семестра

1 (предел последовательности)

1.Используя определение предела последовательности, докажите, что

à) lim

2n2 − 3 sin n

=

1

,

á)

lim

3n2 − n + 1

= +

∞

.

2

4n2 + 1

3n

−

2

2. Найти пределы:

(3 − n)5 − (2 − n)5

p

p

à)

lim

;

á)

lim(

n2 + n

−

n2

−

n)

·

arctg(n!) ;

(1 − n)4 + (2 − n)4

â)

√

ã)

2

n

+ cos √n

lim(5 + 3 sin n) · n + 2 ;

lim

.

n50 + ln n

2 (непрерывные функции)

arcsin x

1. Исследовать функцию f(x) = |2x2 − x| на непрерывность, найти точки разрыва и классифицировать их.

2. Выяснить, существует ли такое число a, при котором функция

		sin x
		√				,	x 6= 0 ,
	f(x) =	1 − 1 + x
	a ,						x = 0
	непрерывна в точке x = 0.
	3. Исследовать на непрерывность функцию
		x − x2 ,				x < 1			,
	f(x) = ( arcsin			1	,	x	≥	1	,
				x

установить род точки разрыва.

4. Исследовать на непрерывность функцию f(x) = sgn log1/2(1 + x), нарисовать ее график.

36

Примеры индивидуальных работ 2-го семестра

1 (исследование функции одной переменной)

1.Исследовать функцию и нарисовать ее график

x

x

à) f(x) =

;

á) f(x) =

− arctg x .

x2 − 1

2

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

x2 − 7x + 7

á) y = √

ln x íà (0, +

∞

à) y =

íà [0, 4] ;

x

) .

x2

−

2x + 2

Примеры самостоятельных работ 1-го семестра

1 (введение в анализ)

1.Доказать, что

5 + 45 + 325 + . . . + (4n + 1) · 5n−1 = n · 5n , n N .

2.Найти коэффициент при x7 в многочлене P (x) = (1 + 2x2)(3 − 2x)9.

3.Суперпозицией каких функций является f(x) = log2(x2 − 1)?

Примеры самостоятельных работ 2-го семестра

1 (функции многих переменных, предел, непрерывность)

1.Найти повторные пределы lim lim f(x, y) и lim lim f(x, y), если

x→0 y→0			y→0 x→0
		2x2	+ y2
f(x, y) =					.
	p

x2 + y2 + 1 − 1

2. Найти область определения функции f(x, y) = px − √y.

2 (определенный интеграл)

Найти

1. Z2	−	5		3dx x)4	; 2.	Z1	e1 x2dx	;	3. Z0	x cos x dx .
		13				2	/x			π/2
			p	−

37

Примеры контрольных работ 1-го семестра

1 (предел функции)

Найти

√5

− 1

1. lim

1 + 3x + x3

;

sin(x2 + 5x)

3

x→0

;

x→0

1 + x2

· 5x

2x+1

1 + x

2

3

arctg3 x

x

. lim

√·

5. lim

ln(2 −

1 + 2 sin x)

;

x→0

ln(1 + x · 2x)

2. lim x4

5

−

5

2

x2

2

x2+1

x→∞

tg x −

√

4. lim

3

arctg(3x − π)

x→π3

√7

− ex/3

.

6. lim

cos x

x→0

arctg x

;

;

2 (дифференцируемость функций одной переменной)

1.Найти f0(x), åñëè

				3	1			√
	à) f(x) = arcsin4 ln3(1 − √x)								1−2x .
				+ 2− sin	(1−x) ; á) f(x) = cos x			3

2.Найти y00(x), åñëè y(x) = f(21−x).

3.Найти y(10)(x) (èëè d10y), åñëè

y(x) = (x2 + 3x)(2 − 31−x) .

4. Найти f00(π/6), åñëè f : X → R è

q

√ √

f : x = arcsin t , y = 1 − t , t (0, 1) .

5.Найти d3y, если y = ln v, где v трижды дифференцируемая функция.

6.Исследовать на непрерывность, найти и классифицировать точки разрыва

функции

f(x) =	√8	| sin x	|	.
		1 + 2x − 1

3 (формула Тейлора, правиëа Лопиталя)

1. Разложить по степеням (x + 1) до o (x + 1)5

функцию

f(x) = (x

−

−

1) ln(5

4x) .

Найти

2. lim

sin(a + 2x)

ctg x

.

lim

arcsin 2x 2 arcsin x

sin(a + 4x)

;

3

ln(1− x3)

;

x→0

x→0

1 + x cos x − √

− x22

−

4. lim

1 + 2x

.

x→0

2x − 2sin x

38

∂2z y ∂y2

Примеры контрольных работ 2-го семестра

1 (неопределенный интеграл)

Найти

1.

3.

5.

Z		(2dx x2)3			;
	p
Z		−
	sin x + cos x
						dx ;
	sin x cos2 x
Z	x3 + 2x + 1				dx .
	x(1 + x2)

2. Z	2x	5x
	·		dx ;
	4x +	25x
4. Z	(x − 1)√x2			− 1 ;
		dx

2 (дифференцируемость функций многих переменных)

∂2F

1.Найти ∂x∂y(1, 0), åñëè F (x, y) = f(x2, xy3).

2. Найти d2F (Δx, y), если F (x, y) = f(xy, ln x), выписать ∂2F .

∂x∂y

3. Приняв u и v за новые независимые переменные, а w за новую функцию,

преобразовать уравнение

+ 2∂y∂z = x2 ,

åñëè u = xy , v = x, w = xz + y.

4. Найти d2z, если z = z(x, y) неявная функция, определяемая уравнением xz2 + xy2 + yz = 0.

3 (исследование функций)

1.Исследовать на экстремум

à) f(x, y, z) = 2x2 + y2 + 2z − xy − xz; á) f(x, y) = xy, åñëè x2 + y2 = 2.

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x, y) = x2 − y2 â îáëà- ñòè D = {(x, y) R2 : x2 + y2 ≤ 2x}.

3.Найти асимптоты графика функции

x3 + 2x2

f(x) = (x − 1)2 · arctg x .

39

Примеры вариантов коллоквиума 1-го семестра

1

Доказать:

1.Лемма о пределе подпоследовательности последовательности, имеющей предел.

2.Теорема о пределе сложной функции.

Сформулировать:

1.Определение фундаментальной последовательности. Примеры.

2.Определение эквивалентных функций при x → a.

3.Приведите примеры двух последовательностей, которые не являются бесконечно большими, но произведение которых есть бесконечно большая последовательность.

2

Доказать:

1. Теорема единственности предела последовательности.

2*. Лемма о системе вложенных отрезков.

3.Теорема Гейне.

Сформулировать:

1.Определение фундаментальной числовой последовательности. Какова связь между ограниченностью, сходимостью и фундаментальностью последовательности?

2.Понятие сюръективного отображения. Примеры.

3.Что означает в терминах " ε − δ"факт: "Функция f : X R → R не имеет

предела в точке a R"?

Примеры вариантов коллоквиума 2-го семестра

1

Доказать:

1.Теорема о связи сходимости и покоординатной сходимости последовательности точек пространства Rn.

2.Теорема о связи предела и повторных пределов функции двух переменных; следствие об отсутствии предела.

Сформулировать:

1. Определение предельной точки, замыкания и замкнутого множества в Rn; свойства замкнутых в Rn множеств.

40