Коршикова_Калиниченко_УМК

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"Южный Федеральный Университет"

Факультет математики, механики и компьютерных наук

Рассмотрено и рекомендовано

Утверждаю

на заседании кафедры

Декан ф-та математики, механики

математического анализа ЮФУ

и компьютерных наук ЮФУ

Протокол

îò

2008 ã.

М.И. Карякин

Зав. кафедрой

А.В. Абанин

"

"

2008 ã.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС

учебной дисциплины

"МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - 1"

федерального компонента ОПД для бакалаврской образовательной программы по направлению 010100 "Математика"

Составители:

доцент каф. математического анализа, к.ф.-м.н. Т.И. Коршикова доцент каф. математического анализа, к.ф.-м.н. Л.И. Калиниченко

Ростов-на-Дону 2008

Пояснительная записка

Аннотация. Курс математического анализа является классическим и читается традиционно на первом и втором курсах с первого по четвертый семестр. Эта учебная дисциплина относится к базовым и служит в последующем основой для всех других математических дисциплин (дифференциальные уравнения, уравнения математической физики, теория вероятностей и т. д.). Предметом математического анализа являются функциональные зависимости, а его основными разделами теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и многих переменных.

Задачи курса. Основная задача курса это знакомство студентов с основополагающими понятиями и фактами по перечисленным разделам.

Учебные цели.

1)Познакомить студентов с новым теоретическим материалом.

2)Научить анализировать этот материал, устанавливать связи между понятиями и фактами.

3)Научить пользоваться языком кванторов.

4)Развить логическое мышление и математическую культуру студентов.

5)Продемонстрировать основные методы математического анализа.

6)Отработать навыки решения практических задач.

7)Подготовить студентов к изучению других математических дисциплин.

Учебные дисциплины, необходимые для изучения математического анализа.

Для успешного усвоения курса математического анализа достаточно владеть

школьным курсом алгебры и начал анализа.

2

Учебно-тематический план курса

Число часов

Всего: 228+194+194+194=810 Аудиторно: лекции: 51+51+51+51=204

практические занятия: 68+51+51+51=221

Самостоятельная работа: 109+92+92+92=385 Содержание курса "Математический анализ - 1"

ìî-	тема модуля	êîë-âî	êîë-âî ÷à-	êîë-âî
äóëÿ		ëåêö.	сов практ.	часов
		часов	занятий	самост.
				работы
	1 семестр
1	Введение в анализ	6	8	12
2	Предел последовательности	8	12	17
3	Предел функции в точке	6	16	20
4	Непрерывные функции	6	4	12
5	Дифференцируемые функции	10	18	28
6	Основные свойства непрерывных	10	10	20
	и дифференцируемых функций
7	Неопределенный интеграл	5	0	0
	Итого в 1-ом семестре	51	68	109
	2 семестр
7	Неопределенный интеграл	0	16	14
8	Евклидово пространство RN	7	0	7
9	Функции многих переменных	5	2	5
	(предел, непрерывность)
10	Дифференцируемость функций	10	14	20
	многих переменных
11	Исследование функций	8	6	18
12	Неявные функции, условный экстремум	9	9	12
13	Определенный интеграл	12	2	10
	Итого во 2-ом семестре	51	51	92
	Итого на 1-ом курсе	102	119	201

3

Содержание модулей 1-го семестра

Модуль 1. Введение в анализ.

Предмет математического анализа. Множества, операции над множествами. Логическая символика. Понятие функции (отображения), классификация функций по действию; обратная функция; операции над функциями.

Модуль 2. Предел числовой последовательности.

ε-окрестность точки a R. Предел последовательности в терминах окрестностей, внешностей окрестностей, на языке " ε − N". Сходящиеся и расходящи-

еся последовательности, их свойства. Бесконечно малые последовательности, их свойства; представление членов сходящейся последовательности в терминах бесконечно малых. Бесконечно большие последовательности и их свойства.

Аксиоматика множества R действительных чисел. Границы, точные границы

числового множества, существование точных границ, принцип вложеннûх отрезков. Подпоследовательности последовательности, имеющей предел в R. Лем-

ма Больцано-Вейерштрасса, ее обобщение. Фундаментальные последовательности, критерий Коши.

Модуль 3. Предел функции в точке.

Предельная точка числового множества, критерий предельной точки, существование предельных точек множества. Предел функции в точке в терминах окрестностей, на языке "ε − δ". Первый замечательный предел. Теорема Гейне.

Свойства функции, имеющей предел. Предел монотонной функции. Число e. Односторонние пределы. Сравнение поведения функций: O-символика, эквивалентные функции.

Модуль 4. Непрерывные функции.

Непрерывность функции в точке и на множестве, локальные свойства непрерывной в точке функции. Операции с непрерывными функциями. Теорема о непрерывности функции, обратной к монотонной. Точки разрыва функции, их классификация.

Модуль 5. Дифференцируемые функции.

Дифференцируемая в точке функция, дифференциал, производная. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости. Геометрический смысл производной и дифференциала функции в точке. Правила дифференцирования. Свойство инвариантности формы дифференциала. Параметрически заданная функция, ее дифференцируемость. Производные и дифференциалы высших порядков, формула Лейбница.

4

Модуль 6. Основные свойства непрерывных и дифференцируемых функций.

Теоремы Вейерштрасса, Больцано-Коши о промежуточном значении, Дарбу об образе отрезка при непрерывном отображении. Равномерная непрерывность, теорема Кантора.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, Дарбу. Критерии постоянства и монотонности функции на промежутке. Правила Лопиталя, формула Тейлора.

Модуль 7. Неопределенный интеграл.

Первообразная функции, неопределенный интеграл, его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям. Классы функций (рациональных, иррациональных, трансцендентных), интегрируемых в элементарных.

Содержание модулей 2-го семестра

Модуль 8. Евклидово пространство Rn.

Основные метрические и топологические характеристики множеств простран- ñòâà Rn. Свойства сходящихся в Rn последовательностей, критерий Коши. От-

крытые и замкнутые в Rn множества, их свойства, критерии. Компакт в Rn, теорема Гейне-Бореля.

Модуль 9. Функции многих переменных (предел, непрерывность).

Понятие функции многих переменных, предел и непрерывность функции многих переменных. Свойства непрерывных на компакте функций. Линейно связные множества, теорема Больцано-Коши.

Модуль 10. Дифференцируемость функций многих переменных.

Частная производная, дифференцируемость, дифференциал функции многих переменных в точке. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных в точке. Непрерывная дифференцируе-

мость функции многих переменных. Геометрический смысл свойства дифференцируемости. Отображение ϕ : X Rn → Rm, его дифференцируемость,

матрица Якоби. Свойство инвариантности формы дифференциала функции многих переменных. Производная по направлению, градиент. Частные производные высших порядков, теорема Шварца о смешанных частных производных. Дифференциалы высших порядков, формула их вычисления. Формула Тейлора функции многих переменных.

Модуль 11. Исследование функций.

5

Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия локального экстремума функции одной и многих переменных. Достаточные условия локального экстремума функции одной переменной в критической точке. Достаточные условия локального экстремума функции многих переменных в стационарной точке. Задача о наибольшем и наименьшем значении функции многих переменных на компакте. Направление выпуклости графика функции одной переменной на интервале, необходимые и достаточные условия; точка перегиба графика функции одной переменной; асимптоты графика. Алгоритм построения графика функции одной переменной.

Модуль 12. Неявные функции. Условный экстремум.

Неявная функция, определяемая уравнением; теоремы существования непрерывной и непрерывно дифференцируемой неявной функции; теорема о существовании непрерывно дифференцируемой обратной функции. Неявное отображение, определяемой системой уравнений; теорема существования непрерывно дифференцируемого неявного отображения. Условный экстремум функции многих переменных; связь между условным и безусловным экстремумами. Метод Лагранжа отыскания стационарной точки задачи условного экстремума; достаточные условия локального условного экстремума.

Модуль 13. Определенный интеграл.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, определенный интеграл Римана. Необходимое условие интегрируемости функции. Суммы Дарбу, их свойства, критерий Дарбу. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Методы вычисления определенного интеграла: формула Ньютона-Лейбница, замена переменной, интегрирование по частям.

Список рекомендуемой литературы Основная литература

1.В.А. Зорич. Математический анализ, Ч.1. М.: Наука, 1981. 544 с.

2.Л.Д. Кудрявцев. Математический анализ, Т.1. М.: Высшая школа, 1973. 614 с.

3.В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ, Т.1. М.: Наука, 1979. 719 с.

4.À.Ì. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин. Курс математического анализа. М.: Изд-во МФТИ, 2000. 716 с.

6

5.Т.И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко, Л.И. Калиниченко, В.А. Савельев. Курс лекций по математическому анализу, I курс, 1 семестр. Ростов-на-Дону, ФГОУ ВПО ЮФУ, 2007. 183 c.

6.Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко, Ю.А. Кирютенко. Курс лекций по математическому анализу, I курс, 2 семестр. Ростов-на-Дону, ФГОУ ВПО ЮФУ, 2007. 144 c.

7.Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1990. 623 с.

Дополнительная литература

8.Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чебураков. Леции по математиче- скому анализу, Ч.1. М.: Высшая школа, 2000. 695 с.

9.В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. М.: Наука, 1971. 599 с.

10.С.М. Никольский. Курс математического анализа, Т.1. М.: Наука, 1975.

431 ñ.

11.Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов и др. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М.: Наука, 1984. 592 с.

12.Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов и др. Сборник задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. М.: Наука, 1986. 527 с.

13.Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов и др. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. Ñ.-Ï., 1994. 496 ñ.

14.И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу, книга 1. М.: Высшая школа, 2000. 725 с.

Методическая литература

1.Т.И. Коршикова. Л.И. Калиниченко, Ю.А. Кирютенко. Введение в анализ. Предел последовательности. Методические указания к практическим занятиям по мат. анализу, I курс, 1 семестр. Ростов-на-Дону: УПЛ ЮФУ, 2007. 36 с.

2.Т.И. Коршикова. Л.И. Калиниченко, Ю.А. Кирютенко, Л.И. Спинко. Предел и непрерывность функции. Методические указания к практическим занятиям по мат. анализу, I курс, 1 семестр. Ростов-на-Дону: УПЛ ЮФУ, 2007. 36 с.

3.Т.И. Коршикова. Л.И. Калиниченко, Ю.А. Кирютенко. Дифференцируемость функции. Методические указания к практическим занятиям по мат. анализу, I курс, 1 семестр. Ростов-на-Дону: УПЛ ЮФУ, 2007. 28 с.

4.Т.И. Коршикова, В.В. Моржаков. Непрерывные функциии и их свойства. Дифференцируемость функции одного переменного. Контрольные вопросы и

7

задачи для самостоятельной работы студентов. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1989.

25ñ.

5.Т.И. Коршикова, В.В. Моржаков, Л.И. Спинко. Предел последовательности. Индивидуальные задания к лабораторным занятиям. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1988.

6.Т.И. Коршикова, Л.И. Спинко, Л.И. Калиниченко. Предел и непрерывность функции в точке. Индивидуальные задания к лабораторным занятиям. Ростов-на-Дону, УПЛ РГУ, 1991. 31 с.

7.Т.И. Коршикова, Л.И. Спинко, А.В. Дедушев. Неопределенный интеграл. Индивидуальные задания для студентов 1-го курса. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1989. 26 с.

8.Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко. Функции многих вещественных переменных: предел, непрерывность, дифференцируемость, Ч.I. Методическая разработка к курсу лекций по математическому анализу. Ростов- íà-Äîíó: ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 44 ñ.

9.Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко. Функции многих вещественных переменных: предел, непрерывность, дифференцируемость, Ч.II. Методическая разработка к курсу лекций по математическому анализу. Ростов- íà-Äîíó: ÓÏË ÐÃÓ, 1993. 47 ñ.

10.Ю.А. Кирютенко, Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко. Функции многих вещественных переменных: предел, непрерывность, дифференцируемость, Ч.III. Методическая разработка к курсу лекций по математическому анализу. Ростов-на-Дону: УПЛ РГУ, 1993. 55 с.

Технология обучения студентов при модульном построении курса математического анализа (1-ый курс: 1-ый и 2-ой семестры)

Лекционный материал 1-го семестра разбит на 7 модулей, практических занятий на 6 модулей, а материал 2-го семестра разбит соответственно на 6 и 7 модулей. Так как лекции по теме "Неопределенный интеграл"читаются в 1-ом семестре, а на практических занятиях данная тема изучается во 2-ом семестре, то отчетность по этому материалу проводится во 2-ом семестре.

Для каждого модуля определены формы промежуточного контроля (самостоятельная работа, индивидуальное задание, контрольная работа, коллоквиум, тест), приведенные в следующей таблице.

8

ìî-	Название модуля	Форма контроля по практике
äóëÿ
	1 семестр
1	Введение в анализ	самостоятельная работа
2	Предел последовательности	индивидуальное задание
3	Предел функции в точке	контрольная работа
4	Непрерывные функции	индивидуальное задание
5	Дифференцируемые функции	контрольная работа
6	Основные свойства непрерывных	контрольная работа
	и дифференцируемых функций
	2 семестр
7	Неопределенный интеграл	тест, контрольная работа
8	Евклидово пространство RN
9	Функции многих переменных	самостоятельная работа
	(предел, непрерывность)
10	Дифференцируемость функций	контрольная работа
	многих переменных
11	Исследование функций	индивидуальная работа
12	Неявные функции, условный экстремум	контрольная работа
13	Определенный интеграл	самостоятельная работа

Рекомендуется

Самостоятельную работу проводить на практических занятиях в течение 1520 минут, включая формулировки отрабатываемых понятий и теорем.

Индивидуальное задание выдавать студенту вместо домашнего задания. Контрольную работу проводить в течение 80 мин.

Вместо индивидуального задания студенту можно предложить выполнить соответствующее тестовое задание.

Коллоквиум в 1-ом семестре целесообразно провести по модулям 1-3, а во 2-ом семестре по модулям 8-9.

9

Контрольные вопросы

Êмодулю 1.

1.1.Дайте определение ограниченного снизу (сверху) числового множества, запишите его с помощью кванторов, постройте отрицание этого утверждения.

1.2.Дайте определения ограниченного (неограниченного) числового множе-

ñòâà.

1.3.Дайте определение верхней (нижней) границы числового множества.

1.4.Дайте определение точной верхней (нижней) границы множества и сформулируйте их характеристические свойства.

1.5.Дайте определение максимального (минимального) элемента множества

X. Какова связь между max X и sup X?

1.6. Что означает символическая запись: sup X = +∞, inf X = −∞?

1.7. Приведите примеры числовых множеств X, для которых а) sup X X; б) sup X / X.

Êмодулю 2.

2.1.Дайте определение ε-окрестности точки a R. Пусть Ua(ε) = {x R : −1 < x < 3}. Укажите a и ε.

2.2.Является ли множество {x R : x < 2} ε-окрестностью −∞?

2.3.Сформулируйте определения а) последовательности; б) ограниченной и неограниченной последовательности.

2.4.Сформулируйте определение предела последовательности в R в терми-

нах окрестностей, внешностей окрестностей, " ε − N". Дайте геометрическую

интерпретацию определения.

2.5. Пусть последовательность {xn} такова, что

N N : ε > 0 n > N |xn − a| < ε .

Что можно сказать о последовательности?

2.6. Что означают в терминах " ε − N"факты:

а) Число 3 не является пределом последовательности {xn}; б) Последовательность {xn} не имеет предела в R?

2.7. Пусть lim xn = a(> 0). Может ли последовательность {xn} иметь бесконечное множество отрицательных членов?

2.8.Дайте определение сходящейся (расходящейся) последовательности.

2.9.Сформулируйте необходимое условие сходимости последовательности.

2.10.Верны ли следующие утверждения:

à) {xn} сходится {xn} ограничена;

10