Контрольная работа № 2. Построение линейных моделей экономических задач

Задача 1. Предприятие производит пиломатериалы и фанеру, используя для этого еловые и пихтовые лесоматериалы. Для приготовления 1 м³ пиломатериалов необходимо израсходовать 1 м³ еловых и 2.5 м³ пихтовых лесоматериалов. Для изготовления 100 м² фанеры требуется 5 м³ еловых и 10 м³ пихтовых лесоматериалов. Запасы предприятия составляют 80 м³ еловых и 180 м³ пихтовых лесоматериалов.

Составить математическую модель нахождения оптимального плана производства предприятия, если по условиям поставок необходимо произвести не менее 10 м³ пиломатериалов и не менее 1200 м² фанеры. Доход с 1 м³ пиломатериалов составляет 16 ед., а со 100 м² фанеры 60 ед.

Задача 2. Фирма выпускает радиоприемники различных моделей: А, В, С. Каждое изделие указанных моделей приносит доход в размере 8, 15, 25 ед., соответственно.

Необходимо, чтобы фирма выпускала за неделю не менее 100 приемников модели А, 150 модели В и 75 модели С. Каждая модель характеризуется определенным временем, необходимым для изготовления соответствующих деталей, сборки изделия и его упаковки. Так, в частности, в расчете на 10 приемников модели А требуется 3 ч для изготовления деталей, 4 ч на сборку и 1 ч на упаковку. Соответствующие показатели в расчете на 10 приемников модели В равны 3.5, 5 и 1.5 часов, а на 10 приемников модели С – 5, 8 и 3 часа. В течение недели фирма может израсходовать на производство деталей 150 часов, на сборку 200 часов и на упаковку 60 часов. Составить модель нахождения оптимального производственного плана.

Задача 3. Нефтеперерабатывающее предприятие использует два технологических процесса приготовления смесей. Технологический процесс 1 характеризуется следующими показателями: из 1 ед. объема сырой нефти А и 3 ед. объема сырой нефти В получают 5 ед. объема бензина Х и 2 ед.а бензина Y. Технологический процесс 2: из 4 ед. объема сырой нефти А и 2 ед. объема сырой нефти В получают 3 ед. объема бензина X и

8 ед. объема бензина Y. Запасы сырой нефти составляют 100 ед. объема нефти А и 150 ед. объема нефти В. По условиям поставки требуется произвести не менее 200 ед. объема бензина Х и не менее 75 ед. объема бензина Y. Доходы с 1 ед.объема продукции, полученной с помощью технологического процесса 1 составляют 15 ед., а с 1 ед. объема продукции, полученной с помощью процесса 2 – 20 ед. Составить план использования технологических процессов.

Задача 4. Составить оптимальный суточный рацион для откорма свиней, живой вес которых составляет 30-40 кг. Рацион одной свиньи должен содержать не менее 2,3 кг кормовых единиц, 270 г. перевариваемого протеина и 8 мг каротина. Рацион составляют из трех видов кормов: концентрированного ячменя, концентрированных бобов и сенной муки. В одном кг ячменя содержится 1.2 кг кормовых единиц, 80 г перевариваемого протеина и 1 мг каротина, в одном кг бобов содержится 1.25 кг кормовых единиц, 280 г перевариваемого протеина и 1 мг каротина, в одном кг сенной муки 0.75 кг кормовых единиц, 100 г перевариваемого протеина и 100 мг каротина. Цена одного кг ячменя 6 ед., бобов – 8 ед., сенной муки – 4.5 ед. Составить рацион минимальной стоимости

Задача 5. Имеются запасы кормов: 2000 кг ячменя, 2500 кг бобов и 200 кг сенной муки. Эти корма используются для откорма свиней. Суточный рацион должен содержать: не менее 2,3 кг кормовых единиц, 270 г. перевариваемого протеина и 8 мг каротина. При этом в одном кг ячменя содержится 1.2 кг кормовых единиц, 80 г перевариваемого протеина и 1 мг каротина, в одном кг бобов содержится 1.25 кг кормовых единиц, 280 г перевариваемого протеина и 1 мг каротина, в одном кг сенной муки 0.75 кг кормовых единиц, 100 г перевариваемого протеина и 100 мг каротина. Поголовье свиней составляет 50 голов. На сколько дней хватит заготовленных кормов ?

Задача 6. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием для производства любого из четырех видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы каждого вида товара, прибыль, получаемая предприятием, а также объем ресурсов указан в таблице. Определить оптимальный план производства товаров при условии, что товаров 1 вида требуется не более 10 единиц, 2 вида не менее 8 единиц, а 3 и 4 видов не менее 10 единиц

Ресурсы	Затраты ресурсов на единицу товара				Объем ресурсов
	1	2	3	4
Сырьё (кг)	3	5	1	4	600
Рабочая сила (чел.)	21	10	12	30	4000
Оборудование (станко-ч)	10	14	6	16	16000
Прибыль на ед. товара (руб.)	30	25	50	50

Задача 7 . На предприятии изготавливаются три изделия И1, И2, И3. Каждое изделие может изготавливаться как на оборудовании Г1, так и на оборудовании Г2.

Ci –отпускная цена изделия i ( i =1,2,3 )

aji – затраты времени (нормочасы) на изготовление одной штуки изделия i на оборудовании j ( j=1,2 i =1,2,3 );

sji – затраты (себестоимость изготовления, руб.) на изготовления одной штуки изделия i на оборудовании j ( j=1,2 i =1,2,3 );

di – план производства (штук) по изделию i ( i =1,2,3 );

bj – ресурс времени работы (нормочасов) оборудования j в рассматриваемом плановом периоде ( j =1,2 ).

Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную прибыль предприятия при условии:

А) строгого выполнения плана (то есть изделия И1 требуется изготовить ровно d1 штук, И2 ровно d2 штук и И3 ровно d3 штук;

Б) допускается перевыполнение плана;

В) допускается недовыполнение плана;

Г) ограничения на план выпуска изделий отсутствуют (то есть можно изготавливать любые изделия в любом количестве и на любом оборудовании, ограничения только по времени использования оборудования).

Задачу решить по вариантам (номер варианта соответствует Вашему порядковому номеру в списке группы).

Вариант 1

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=320
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=500
Отпускн. Цена	C1=60	C2=88	C3=148

Вариант 2

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=320
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=500
Отпускн. Цена	C1=55	C2=95	C3=145

Вариант 3

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=330
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=300
План выпуска	d1=540	d2=320	d3=560
Отпускн. Цена	C1=80	C2=99	C3=180

Вариант 4

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=360
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=300
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=320
Отпускн. Цена	C1=60	C2=90	C3=155

Вариант 5

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=340
План выпуска	d1=510	d2=330	d3=500
Отпускн. Цена	C1=70	C2=90	C3=110

Вариант 6

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=340
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=500
Отпускн. Цена	C1=55	C2=85	C3=135

Вариант 7

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a21=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=320
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=480
Отпускн. цена	C1=60	C2=100	C3=150

Вариант 8

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=330
План выпуска	d1=510	d2=320	d3=500
Отпускн. цена	C1=60	C2=95	C3=140

Вариант 9

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=320
План выпуска	d1=500	d2=310	d3=500
Отпускн. цена	C1=60	C2=85	C3=148

Вариант 10

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=320
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=500
Отпускн. цена	C1=60	C2=100	C3=150

Вариант 11

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=320
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=500
Отпускн. цена	C1=60	C2=85	C3=140

Вариант 12

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=340
План выпуска	d1=500	d2=310	d3=510
Отпускн. Цена	C1=60	C2=85	C3=150

Вариант 13

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=330
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=340
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=500
Отпускн. Цена	C1=60	C2=88	C3=150

Вариант 14

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=330
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=350
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=500
Отпускн. цена	C1=60	C2=95	C3=150

Вариант 15

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=320
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=500
Отпускн. Цена	C1=60	C2=88	C3=148

Вариант 16

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=320
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=500
Отпускн. цена	C1=55	C2=95	C3=145

Вариант 17

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=330
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=300
План выпуска	d1=540	d2=320	d3=560
Отпускн. цена	C1=80	C2=99	C3=180

Вариант 18

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=360
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=300
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=320
Отпускн. цена	C1=60	C2=90	C3=155

Вариант 19

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=340
План выпуска	d1=510	d2=330	d3=500
Отпускн. цена	C1=70	C2=90	C3=110

Вариант 20

Группа оборуд.	И1	И2	И3	Ресурс (н/ч)
Г1	a11=0,2 s11=30	a12=0,5 s12=70	a13=0,5 s13=100	b1=350
Г2	a21=0,3 s21=40	a22=0,4 s22=90	a23=1,0 s23=90	b2=340
План выпуска	d1=510	d2=310	d3=500
Отпускн. цена	C1=55	C2=85	C3=135

Задача 8. Сколько рулонов линолеума размерами 4 на 14 метров потребуется для укладки полов в доме, где 10 однокомнатных, 15 двухкомнатных и 8 трехкомнатных квартир. В каждой квартире кухня размером 3*4 м. В однокомнатной квартире комната размером 4*5 м, в двухкомнатной: комната 4*5 и 3*4 м, в трехкомнатной 4*5, 3*4, 3*4. ?

Задача 9. На товарном складе находится 12 единиц груза по 200 кг, 15 единиц – по 150 кг и 8 единиц по 250 кг. Груз нужно отправить контейнерами по 500 кг. Сколько таких контейнеров потребуется ?

Задача 10. Из партии досок длиной 6 метров в количестве 1000 штук необходимо изготовить максимальное число комплектов, состоящих из 1 доски по 2.3 м и двух досок по 1.4 м. Сколько комплектов можно изготовить из имеющихся досок?

Задача 11. На складе деревообрабатывающего завода имеются доски двух видов: по 6 м и по 4 м. Из этих досок нужно сделать 200 штук досок по 2,5 м и 300 штук досок по 1,6 м. Каким образом и из каких исходных досок целесообразно выполнить заказ таким образом, чтобы общее количество израсходованных погонных метров было минимальным (обрезки не используются и считаются отходами производства)?

Задача 12. Фирма производит пользующиеся спросом платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы на одно платье – 7 ден.ед., а на один костюм – 28 ден.ед. Цены их реализации составляют соответственно 15 и 50 ден.ед.

По данным наблюдений за предыдущие годы известно, что в условиях теплой погоды фирма может реализовать 2000 платьев и 800 костюмов, а в условиях прохладной погоды – 900 платьев и 1500 костюмов. Прогноз на текущий сезон: с вероятностью 0.6 он будет теплым и с вероятностью 0.4 – прохладным. Какой производственный план (по выпуску платьев и костюмов) целесообразно принять на текущий сезон?

Задача 13. Пять заказов необходимо распределить между тремя бригадами. При этом каждый заказ может быть поручен только одной бригаде. Время выполнения (в днях) того или иного заказа той или иной бригадой задано в таблице:

	Бригада 1	Бригада 2	Бригада 3
Заказ 1	24	28	25
Заказ 2	33	30	38
Заказ 3	18	16	17
Заказ 4	42	37	44
Заказ 5	23	25	20

Все заказы должны быть выполнены в течение 50 рабочих дней.

Задание а) Распределить заказы между бригадами так, чтобы суммарная трудоемкость выполнения всех заказов было минимальной.

Задание б) Распределить заказы между бригадами так, чтобы загрузка бригад была по возможности равномерной.

Пояснения к выполнению контрольной работы № 2:

По каждой задаче должна быть построена математическая модель в виде модели линейного программирования.

Решение построенной модели (то есть нахождение оптимальных значений управляемых переменных и оптимального значения показателя эффективности) можно выполнять с помощью пакета «PERALL» (запускающий файл PER.Exe). По желанию студента для решения могут использоваться и другие пакеты программ.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3. Алгоритмы решения задач линейного программирования.

Задача 1. Графический метод решения задачи линейного программирования

Найти решение линейной модели графическим методом (Задачу решить по вариантам: номер варианта соответствует Вашему порядковому номеру в списке группы):

Вариант 1 F(X ) = 2X1 – 3X2  min

4X1 + 3X2 ≤ 16

X1 + X2 ≥ 1

4X1 - 3X2 ≥ 0

Вариант 2 F( ) = X1 + 3X2  max

X1 - X2 ≤ 1

2X1 + X2 ≤ 2

X1 - X2 ≥ 0

Вариант 3 F(X ) = X1 – X2  max

X1 + 2X2 ≤ 10

X1 + X2 ≥ 2

2X1 + 1X2 ≤ 10

Вариант 4 F ( ) = 2X1 – 3X2  min

-4X1 + 5X2 ≤ 20

2X1 + X2 ≥ 6

5X1 - X2 ≤ 45

X1 - X2 ≤ 6

Вариант 5 F( ) = 8X1 + 6X2  max

4X1 + 3X2 ≤ 12

7X1 + 5X2 ≤ 35

2X1 ≤ 6

3X2 ≤ 18

Вариант 6 F ( ) = 2X1 – X2  min

X1 - X2 ≥ 10

X1 + X2 ≥ 11

X1 - X2 ≥ -1

Вариант 7 F( ) = 2X1 + 3X2  min

X1 + X2 ≤ 4

6X1 + 2X2 ≥ 8

X1 + 5X2 ≥ 4

X1 ≤ 18

X2 ≤ 3

Вариант 8 F( ) = 2X1 + 4X2  max

3X1 + 7X2 ≤ 24

3X1 + X2 ≥ 3

-3X1 + X2 ≤ 0

Вариант 9 F( ) = X1 + 3X2  min

X1 - X2 ≤ 3

2X1 + X2 ≥ 3

X1 - 3X2 ≤ 1

Вариант 10 F( ) = X1 + 3X2  max

-X1 - X2 ≥ -3

6X1 + X2 ≤ 42

2X1 - 3X2 ≤ 6

X1 + X2 ≥ 3

Вариант 11 F( ) = X1 - X2  max

4X1 - 3X2 ≥ 6

X1 + 4X2 ≤ 15

2X1 - 4X2 ≤30

Вариант 12 F() = X1 + X2  max

X1 + 2X2 ≤ 10

X1 + X2 ≥ 2

2X1 + 1X2 ≤ 10

Вариант 13 F( ) = 4X1 + 6X2  max

4X1 + 2X2 ≤ 8

7X1 + 5X2 ≤ 35

2X1 ≤ 6

Вариант 14 F( ) = X1 + X2  max

X1 - X2 ≤ 1

2X1 + X2 ≤ 2

X1 - X2 ≥ 0

Вариант 15 F( ) = 4X1 + 3X2  max

4X1 + 3X2 ≤ 24

7X1 + 5X2 ≤ 35

2X1 ≤ 6

Задача 2. Решить симплексным методом (Задачу решить по вариантам: номер варианта соответствует Вашему порядковому номеру в списке группы):

Вариант 1 F() = X1 + 3X2  max

X1 + 6X2 + X3 + X5 = 41

2X1 + 5X2 + X3 + X4 = 46

X1 - X2 + X4 = 5

Вариант 2 F() = X1 - X2 - 5X3 + 2X4 + X5  max

X1 - 2X2 - 2X3 + X4 - X5 = 1

- 2X2 - X3 + 3X4 + 2X5 = 5

X2 + 8X3 +X4 + 3X5 = 20

Вариант 3 F() = 2X1 - 3X2 - 5X3 - 8X4 - 6X5 + 12X6  min

2X2 - 2X3 + 11X4 - 8X6 = 0

X1 - 2X2 + 5X3 - 24X4 - 4X5 + 16X6 = 8

X1 + 2X4 - 5X5 - 5X6 = 5

Вариант 4 F() = 3X1 + X2 + X3 + X4  max

2X1 + X2 + 4X3 + 3X4 ≤ 3

3X1 - X2 + 2X3 - 5X4 ≤ 1

Вариант 5 F() = 2X1 + 3X2  max

2X1 + X2 + 2X3 + X4 = 24

-2X1 + 4X2 - X4 + 4X5 = 6

3X1 + X3 + X4 = 20

Вариант 6 F() = X1 - X2 + X3  max

X1 + X2 - 2X3 = 0

X1 + 2X2- 3X3 = 1

Вариант 7 F() = X1 + 10X2 - X3 + 5X4  min

X1 + 2X2 - X3 - X4 = 1

-X1 + 2X2 + 3X3 + X4 = 2

X1 + 5X2 + X3 - X4 = 5

Вариант 8 F() = X1 + 5X2 + 2X3  min

2X1 - X2 + X3 ≥ 2

X1 + 2X2 + X3 ≥ 3

Вариант 9 F() = 3X1 - 5X2 + 2X3 + 10X4 + X5  max

2X1 + X2 - 2X4 = 4

X1 - X2 + X3 + 6X4 + X5 = 1

10X1 -X2 + 3X3 + 20X4 = 14

Вариант 10 F() = 8X1 - 3X2 + 3X3 + X4 + 2X5  min

4X1 - X2 + X3 - 7X4 + 2X5 = 19

3X1 - X2 + X3 - 5X4 + X5 = 14

3X1 +2X2 - 6X4 + X5 = 9

Вариант 11 F() = X1 - 3X2 - X3 + 2X4 + 5X5  max

X1 + X2 - 2X5 = 1

3X1 - 2X2 + X3 + 4X5 = 6

2X1 +X2 + X4 + 3X5 = 10

Вариант 12 F() = 3X1 + X2 - 4X3 + 7X4 + X5 - 6X6  max

X1 - 2X2 - 2X3 + X4 - 9X5 + 8X6 = 4

X1 - X2 + 2X4 - 5X5 + 3X6 = 9

X1 - 3X2 - 5X3 - 13X5 + 10X6 = -2

Вариант 13 F() = -X1 + 2X3 + 2X4 + X5 – X6  min

X1 - 2X2 + X4 = 2

2X1 + 3X2 + X3 + X5 = 4

5X1 + 7X2 + X5 + X6 = 15

Вариант 14 F() = 2X1 - 7X2 - 2X3 + 3X4 - X5  max

2X1 + X2 + X3 = 2

3X1 - X2 + X3 + X4 = 8

X1 -X3 + X5 = 2

Вариант 15 F() = X1 + X2 + X3 - X4 + X6  min

X1 - X4 - 2X6 = 5

X2 + X4 - 3X5 + X6 = 3

X3 + 2X4 - 5X5 + 5X6 = 15

Вариант 16 F() = 2X2 - 4X3 + 2X5  min

X1 + 3X2 – X3 + 2X5 = 7

-2X2 + X3 + X4 = 12

-4X2 + 3X3 + 8X5 + X6 = 10

Вариант 17 F() = X1 + 12X2 + 4X3  min

X1 + 2X2 + 2X3 ≥ 7

-X1 + 2X2 + X3 ≥ 0

X1 + X2 ≥ 1