- •Глава II. Векторная алгебра
- •§ 1. Векторы и основные линейные операции над ними
- •1. Векторные величины
- •2. Умножение вектора на скаляр
- •3. Единичный вектор
- •4. Сложение векторов
- •5. Вычитание векторов
- •§2. Линейная зависимость и независимость векторов. Базисы на плоскости и в пространстве. Прямоугольная декартова система координат
- •1. Линейная зависимость и независимость векторов
- •2. Базисы на плоскости и в пространстве
- •3. Прямоугольная декартова система координат
- •§3. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Компоненты вектора.
- •1. Проекция вектора на ось.
- •2. Компоненты вектора по координатным осям и координаты точки.
- •§ 4 Теоремы о проекциях вектора.
- •§ 5. Скалярное произведение и его свойства
- •1. Определение скалярного произведения
- •2. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов
- •3. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами
- •В силу свойства 4 получим
- •4. Угол между двумя векторами
- •§ 6. Векторное произведение и его свойства
- •1. Определение векторного произведения
- •2. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов
- •3. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами
- •4. Механический смысл векторного произведения
- •§ 7. Смешанное произведение трёх векторов
- •2. Свойства смешанного произведения
- •§ 8. Двойное векторное произведение
§ 5. Скалярное произведение и его свойства
1. Определение скалярного произведения
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторовиназывается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е.
.
Если хотя бы один из векторов равен нулю, то скалярное произведение этих векторов равно нулю (по определению).
Если , то, так как.
Отсюда следует, что .
Заметим, что скалярное произведение называется скалярным квадратом и обозначается. Следовательно,=> . Заметим, что иногда скалярное произведение обозначают.
Свойства скалярного произведения
прпр
Действительно, пр, но пр,отсюда следует, что пр.
Переместительноеиликоммутативноесвойство:
.
Это свойство очевидно, так как .
Сочетательноеилиассоциативноесвойство относительно числового множителя:
Распределительноеилидистрибутивноесвойство относительного сложения векторов:
.
Доказательство.
прпрпрпрпр
Следствие.
2. Необходимое и достаточное условие ортогональности двух векторов
Напомним, что два ненулевых вектора иназываются ортогональными, если они образуют прямой угол, т.е.
.
Теорема.Для того, чтобы два ненулевых вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение обращалось в нуль.
Доказательство. Необходимость. Пусть векторыиортогональны, тогда.
Достаточность. Пусть. Так как векторы ненулевые, то отсюда следует, что, а это и означает, что векторыиортогональны.
3. Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами
Пусть ,. Очевидно, что;;;.
В силу свойства 4 получим
.
В частности,
.
4. Угол между двумя векторами
Если и- ненулевые векторы, то, принимая во внимание определение вектора и п.4, получим такое выражение для угламежду векторамиaиb:
.
Отсюда нетрудно получить условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов в координатной форме:
Механический смысл скалярного произведения
Если - сила, действующая на перемещенииS, то работаAэтой силы на указанном перемещении, как известно, равна, т.е.(рис. 3.5.1).
Рис. 3.5.1
Пример 1. Даны три точки
Найти и направляющие косинусы вектора.
Решение.а);
б) ;;
Пример 2. Дан вектор,,.
Найти длину вектора .
Решение.Найдём скалярный квадрат вектора:. Раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения:
.
Пример 3. При каком значениивектораиортогональны.
Решение. Принимая во внимание условие ортогональности двух векторов, получим. Следовательно.
§ 6. Векторное произведение и его свойства
1. Определение векторного произведения
Определение. Векторным произведением ненулевых векторов и называется такой вектор, который удовлетворяет трём условиям:
1. , т.е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
2. Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и .
3. Тройка ,,- правая(рис. 2.6.1)
Если хотя бы один из векторов и нулевой, то по определению. Заметим, что иногда векторное произведение двух векторовиобозначается символом.
Рис. 2.6.1
Свойства векторного произведения
1. .
Это очевидно, так как при перестановке векторов изменится ориентация тройки.
2. Свойство сочетательности относительно скалярного множителя:
.
(без доказательства)
3. Распределительное свойство относительно сложения векторов :
.
.
Следствие. .
То есть скобки можно раскрывать, как при обыкновенном умножении, не переставляя местами множители (без доказательства).