2. Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух ненулевых векторов

Теорема. Для того, чтобы два ненулевых вектора и были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было бы равно нулю.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и коллинеарны, тогда они лежат на одной прямой, следовательно,=>. Значит,

Достаточность. Пусть векторное произведение. Так как,, то значит, т.е.или, а это означает, что векторы иbколлинеарны.

Замечание.Заметим, что если два вектораиколлинеарны, то существует такое число, при котором, т.е. =>

=> .

Итак, мы доказали, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

3. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами

Заметим, что . Далее очевидно, что

,,,,,.

Применяя свойство 3, перемножим векторно векторы

и

.

4. Механический смысл векторного произведения

Если сила поворачивает тело вокруг оси, то моментсилы, как известно, равен(рис. 2.6.2).

Рис. 2.6.2

Рис. 2.6.3

Пример 1.

1. Найти площадь треугольника с вершинами в точках

A(-1,1,2), B(2,3,3) и C(1,2,-1);

2. Найти единичный вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой лежат точки A,B и C.

Решение.

1. ,

=

=

.

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и, следовательно.

2. В силу определения векторного произведения вектора ,

два вектора

удовлетворяют поставленной задаче (рис. 2.6.3).

§ 7. Смешанное произведение трёх векторов

Определение смешанного произведения

Определение. Смешанным произведениемненулевых векторов ,,называется скалярное произведение вектораи векторного произведения векторана вектор, т.е. выражение.

Необходимое и достаточное условие компланарности трёх векторов

Теорема. Для того чтобы ненулевые векторы ,ибыли компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Доказательство. Необходимость.Пусть векторы,икомпланарны. Тогда их можно поместить в одной плоскости, и векторокажется перпендикулярным вектору, следовательно, их скалярное произведение равно нулю, т.е..

Достаточность.Пусть. Так как векторы ненулевые, то может быть:

1) , тогда, следовательно, векторы,иможно поместить в одной плоскости, т.е. они компланарны;

2) , но=>. Это значит, что вектор лежит в одной плоскости с векторамиbиc.

Геометрический смысл смешанного произведения.

Предположим, что векторы ,инекомпланарны. Построим параллелепипед на этих векторах, принимая за основание параллелограмм, построенный на векторахи(рис. 2.7.1).

1) Пусть ,,- правая тройка. Тогда угол между векторамииострый, т.е. векторыи () лежат в одном полупространстве.

Рис. 2.7.1

Очевидно, что прдаёт нам высоту параллелепипеда, следовательно,есть не что иное, как объём параллелепипеда, построенного на векторах,,с..

2) Если ,,- левая тройка, то векторыибудут лежать в разных полупространствах, а тогда, следовательно,будет равно объёму параллелепипеда, взятому со знаком минус. Итак, объём параллелепипедаили.

Вывод.Абсолютная величина смешанного произведения трёх ненулевых векторов даёт нам объём параллелепипеда, построенного на этих векторах.