2. Свойства смешанного произведения

1. .

Т.е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке перемножаемых векторов.

Действительно, каждое произведение имеет один и тот же модуль в силу геометрического смысла смешанного произведения. Знаки их также совпадают, так как ориентация тройки не меняется при циклической перестановке векторов.

2. .

Действительно, при перестановке двух соседних векторов модуль смешанного произведения не меняется, а знак меняется на противоположный, так как тройка меняет свою ориентацию.

3. .

Действительно, в силу первого свойства: . С другой стороны,, откуда и следует окончательно:. Поэтому иногда смешанное произведение обозначают

.

4. Если ,,, то

.

Действительно,

.

§ 8. Двойное векторное произведение

Определение. Двойным векторным произведением трёх ненулевых векторов,иназывается; если хотя бы один из векторов,илиравен нулю, то.

Итак, мы видим, что двойное векторное произведение представляет собою векторную величину. Заметим, что объекты типа часто встречаются в физике и механике. Выведем простую форму для вычисление двойного векторного произведения.

Итак, допустим, что нам известны координаты векторов, т.е.

,,.

Вычислим .

Обозначим ,.

Очевидно, что нас интересует вектор . Известно, что векторвыражается через координаты векторовитак:

,

то есть

,,.

В свою очередь, аналогично

.

Подставим в правую часть этого равенства полученные выражения для ,ии, кроме того, выполним искусственное преобразование, добавив и отняв к правой части выражения,,. Получим:

Итак, получили: .

Отметим, что справа в скобках стоят числа, равные скалярным произведениям и; они являются коэффициентами линейной комбинации векторови, через которые выражается двойное векторное произведение. Нетрудно заметить, что двойное векторное произведение представляет собою вектор, который лежит в той же плоскости, что и вектораи, т.е. векторы,икомпланарны.

Остановимся теперь на вычислении выражения , которое, вообще говоря, также является двойным векторным произведением. Действительно:

т.е. представляет собою вектор, лежащий в одной плоскости с векторамии. Очевидно также, что.

Другие свойства двойного векторного произведения нетрудно проанализировать, принимая во внимание свойства скалярного и векторного произведения.

Пример 1. Показать, что точкиА (1,2,1), В (3,3,3), С (4,1,2) иD(5,4,5) лежат в одной плоскости.

Решение.Найдем координаты векторов,и.

(2,1,2),(3,-1,1),(4,2,4).

Если точки А, В, СиDлежат в однойплоскости, то и векторы лежат в одной плоскости (рис. 2.8.1), а тогда смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Действительно,

(,,) == 0,

т.к. первая и вторая строки определителя пропорциональны.

Пример 2. Доказать, что векторы,илинейно зависимы и найти эту линейную зависимость.

Решение.

(,,)==0,

cледовательно, векторы,икомпланарны, а значит, они линейно зависимы, т.е. существуют константы,итакие, что++=0, т.е.(++)+(3+ 4+) +(+2-3)=, откуда следует: (+ 3+)+ (+ 4+ 2)+ (2+-3)=, т.к.,,- базисные векторы, то имеем такую систему для нахождения,и:

Здесь выступает в качестве параметра, и данная система имеет бесчисленное множество решений. Подставим,в указанную выше линейную комбинацию:. Сократим на. Получим искомую линейную зависимость.

37