Упражнения

1. Сделать преобразования.

1) .

Образец:

> x:=(a/b-b/a)*(b/(a-b));

> simplify(x);

2)

3) при а(Ответ:)

Образец: упростить

> assume(c,nonnegative);

> x:=abs(c)+c;

Знак "тильда" (волна) означает, что на переменную наложены некоторые ограничения.

> simplify(x);

2. Решить уравнения:

1) x³-125=0

Образец: x²-ay+y²=0

> eq:=x^2-a*y+y^2=0;

> solve(eq,x);

> solve({eq},x);

> solve(eq);

> solve(eq,a);

2) x³+a³=0

3) cos²3x=1

Образец: sin(2*x)=0

> eq1:=sin(2*x)=0;

> solve(eq1,x);

По умолчанию промежуток решений [-, ]

> _EnvAllSolutions:=true;

> solve(eq1,x);

Здесь Z1 – любое целое число.

4) х²+5х-4=0

> restart:

> eq11:=x^2+5*x-4=0;

> solve(eq11);

> evalf(%);

3. Решить системы уравнений:

Образцы:

a)

> sys1:={4*x^2+2*x*y=3,y^2+2*x*y=-2};

> solve(sys1,{x,y});

> smartplot(sys1);

б)

> sys2:={x+y+z=1,2*x-3*y+5*z=9,5*x-8*y-z=3};

> smartplot3d(sys2);

> solve(sys2);

{y = (-12)/23, x = 4/69, z = 101/69}

в)

Представим в виде системы двух уравнений:

> sys3:={sin(x)=y,y=0.5};

> solve(sys3);

> smartplot(sys3);

Решить следующие системы уравнений:

1)

> restart:

> sys:={3*x+5*y=15,y=x-1};

> solve(sys);

> smartplot(sys);

2)

Для решения этой системы использовать функции smartplot и fsolve для промежутков, в которых находятся корни. Найти 4 решения.

> restart:

> eq12:={x^2*y+y^2*x=20,1/x+1/y=5/4};

> smartplot(eq12);

На графике имеется 4 пересечения.

> restart:

> eq12:={x^2*y+y^2*x=20,1/x+1/y=5/4};

> solve(eq12);

> evalf(%);

Найдено только 3 решения из четырех.

> _EnvAllSolutions:=true;

> solve(eq12);

> evalf(%);

Результат тот же.

Применим функцию fsolve.

> fsolve(eq12);

Она нашла 4-е решение. По умолчанию она находит одно решение.Чтобы она нашла другие решения, будем задавать промежутки:

> fsolve(eq12,{x,y},x=-10..0,y=0..10);

> fsolve(eq12,{x,y},x=0..2,y=0..10);

> fsolve(eq12,{x,y},x=0..5,y=0..2);

3)

> restart:

> eq13:={x+y*z=2,y+z*x=2,z+x*y=2};

> solve(eq13,{x,y,z});

> smartplot3d(eq13);

4)

> restart:

> sys4:={sin(x)=y,y=cos(x)};

> solve(sys4);

> smartplot(sys4);

> _EnvAllSolutions:=true;

> solve(sys4);

> evalf(cos(1/4*Pi+Pi*_Z1));

> restart:

> eq14:=sin(x)=cos(x);

> _EnvAllSolutions:=true;

> solve(eq14);

4) Решить три следующие системы с очень похожими коэффициентами и с так называемой плохой обусловленностью. Это означает, что при малом изменении начальных данных, а именно одного из коэффициентов, решение системы меняется очень сильно. Построить графики прямых, задаваемых уравнениями одной из систем, при помощи функции plot или implicitplot, для которой предварительно нужно вызвать пакет plots. Одну прямую сделать сплошной, вторую изобразить точками, причём «толщина» (thickness) точек должна быть на две единицы больше, чем толщина линии. Прямые нарисовать разными цветами (см.график внизу).

4а)

(Ответ: х=0,2462987887, у=1,85464333).

4б)

(Ответ: х=3,362045760, у= – 0,508748317).

4в)

(Ответ: х=2,483176312, у=0,157469717).

4. Построить графики:

1)

Построим обычный (неподвижный) график.

> plot(sin(x)*cos(x),x=0..4*Pi);

>

2) с двумерной анимациейanimate() по образцу:

> with (plots): animate(cos(x+phi),x=0..2*Pi,phi=0..2*Pi);

3) параболоид

4) параболоид с анимацией по образцу:

> with(plots):f:=(x,y)->t*x^2+t*y^2;

> animate3d(f(x,y),x=-4..4,y=-4..4,t=-1..1,frames=20,axes=boxed);

5) гиперболический параболоид (седло):

> plot3d(x^2-y^2,x=-2..2,y=-2..2,orientation=[111,56],axes=boxed);

То же с анимацией, самостоятельно.

6) сложную поверхность, задаваемую функцией:

> F:=(x,y)->cos(t*x)*sin(t*y);

> with(plots):animate3d(F(x,y),x=-1..1,y=-1..1,t=-6..6,grid=[15,15],frames=20);

Дома для плавности можно увеличить частоту кадров frames до 60 (если позволяют ресурсы компьютера), частоту сетки до [40, 40].