Введение

Дисциплина «Методы оптимальных решений» входит в базовую часть математического и естественно-научного цикла дисциплин направления подготовки 080100.62 Экономика (профили Бухгалтерский учет, анализ и аудит. Экономика предприятий и организаций). Необходимыми условиями для освоения дисциплины является знание основных положений линейной алгебры, математического анализа, теории вероятностей и математической статистики.

Целью изучения дисциплины «Методы оптимальных решений» является формирование представлений о методах, моделях и приёмах теории исследования операций с их последующим применением в экономико-математическом моделировании. Методы оптимальных решений - математическая основа усвоения специальных дисциплин на старших курсах.

Предлагаемое издание содержит обзор рассматриваемой дисциплины и задачи для самостоятельного решения по основным разделам курса: экономико-математические оптимизационные модели, линейное программирование, теория игр. Каждая задача составлена в 25 вариантах.

1. Методы оптимальных решений

1.1. Постановка задачи оптимизации

Оптимизационные задачи в экономике возникают в связи с широким спектром возможных вариантов функционирования конкретного экономического объекта, когда создается ситуация выбора варианта, наилучшего с точки зрения определенного критерия. Оптимизация – выбор наилучшего (оптимального) варианта из множества возможных. В основе построения оптимизационных моделей лежит допущение о том, что все компоненты модели количественно измеримы. Оптимальность – не абсолютное понятие: нельзя говорить об оптимальности вообще, вне условий и без точно определенных критериев оптимальности. Критерий оптимальности – показатель, выражающий предельную меру экономического эффекта принимаемого решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и выбора наилучшего из них. Это может быть максимум прибыли или минимум трудовых затрат, кратчайшее время достижения цели и т. д. Критерий оптимальности носит обычно количественный характер, т.е. он применяется для того, чтобы качественный признак плана, выражаемый соотношением «лучше – хуже» переводить в количественно определенное «больше – меньше».

В экономико-математических задачах критерию оптимальности соответствует математическая форма – целевая функция, экстремальное значение которой характеризует предельно достижимую эффективность моделируемого объекта (т.е. наилучшие в заданном отношении структуру, состояние, траекторию развития).

В общем виде задача оптимизации состоит в следующем: найти такие значения неизвестных , которые удовлетворяют системе ограничений (уравнений, неравенств),и обращают в максимум (или минимум) целевую функцию, т.е.

Значения неизвестных , удовлетворяющие ограничениям и обращающие в максимум (минимум) целевую функцию, называются оптимальным решением (или оптимальным планом).

Термины «решение» и «план» – синонимы, однако первый используется чаще, когда речь идет о формальной стороне задачи (ее математическом решении), а второй – о содержательной стороне (экономической интерпретации).

Приведенная задача имеет единственный показатель эффективности Z. Однако в практической деятельности приходится иметь дело с несколькими показателями . Такие задачи называются многокритериальными. Например, при организации производства товаров или услуг необходимо ориентироваться одновременно на себестоимость производства, количество продукции, ее качество, влияние производства на окружающую среду и т. д.

В данной работе рассматриваются задачи оптимизации с одним критерием оптимальности.