ГОУВПО КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Л.Г. Лелевкина, И.В. Гончарова, Н.М. Комарцов

Пределы последовательностей и функций непрерывного аргумента

Учебно-методическое пособие

Издательство Кыргызско-Российского

Славянского университета

Бишкек 2009

УДК 517

Лелевкина Л.Г., Гончарова И.В., Комарцов Н.М.

Пределы последовательностей и функций непрерывного аргумента: Учебно-методическое пособие. – Бишкек: Издательство КРСУ, 2009. – 48 с.

Данное методическое пособие положено в основу компьютерной контрольно обучающей программы тестирования.

Методическое пособие содержит краткие теоретические основы одного из основных разделов математического анализа «Теория пределов». Приведены многочисленные примеры с методическими рекомендациями по их решению.

Для выполнения студентами индивидуальных типовых расчетов, а также для проведения контрольных работ пособие содержит 120 задач в тестовой форме, разбитых на 20 вариантов, заложенных в компьютерную контрольно-обучающую программу тестирования. Задачи охватывают основной материал данного раздела, стимулируют его усвоение и проверяют уровень подготовленности студентов.

Такая структура методического пособия направлена на развитие у студентов навыков самостоятельного решения задач и позволяет до начала экзаменационной сессии проверить уровень усвоения материала путем прохождения компьютерного тестирования и способствуют развитию самоконтроля.

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов естественно-технического, экономического и архитектурно-строительного факультетов дневной и заочной форм обучения.

Рецензенты:

д.ф.-м.н., проф. Т.М. Иманалиев

д.ф.-м.н., проф. А.А. Чекеев

Печатается по решению кафедры высшей математики и РИСО КРСУ

© КРСУ, 2009 г.

Оглавление

Глава 1. Пределы числовых последовательностей 6

§1. Основные определения, свойства, операции над пределами последовательностей 6

Основные определения 6

Свойства пределов последовательностей 7

Операции над пределами последовательностей 7

§2. Неопределенности различного вида 8

§3. Неопределенность вида 9

Пример 1. 9

Пример 2. 10

Пример 3. 11

§4. Неопределенность вида в случае арифметической, геометрической прогрессий и факториалов 12

Правило 1. 12

Пример 1. 12

Правило 2. 12

Пример 2. 13

Правило 3. 13

Пример 3. 14

§5. Неопределенность вида 14

Пример 1. 15

Пример 2. 16

Глава 2. Пределы функций одной переменной 17

§1. Основные определения, свойства пределов функций одной переменной 17

Основные определения 17

Свойства предела функции 18

§2. Понятие неопределенностей 18

Таблица раскрытия различных видов неопределенностей 19

§3. Раскрытие неопределенностей вида 23

Пример 1. 23

Пример 2. 23

Пример 3. 24

Пример 4. 25

Пример 5. 25

§4. Первый замечательный предел 26

Пример 1. 26

Пример 2. 27

§5. Второй замечательный предел 27

Пример 1. 27

Пример 2. 28

Пример 3. 29

Пример 4. 30

§6. Одновременное использование первого и второго замечательных пределов 30

Пример 1. 30

Пример 2. 31

Варианты контрольных заданий 32

Список использованной литературы 52

Глава 1. Пределы числовых последовательностей §1. Основные определения, свойства, операции над пределами последовательностей Основные определения

Если по некоторому закону каждому натуральному числу n поставлено в соответствие определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность .

Число а называется пределом последовательности , если для любого наперед заданного сколь угодно малого числа существует номер N такой, что все члены последовательности с номерами n>N удовлетворяют неравенству .

Предел последовательности обозначают

( - от латинского слова limes, или французского limite, что означает ограничение, предел, грань).

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, иначе она называется расходящейся.

Иногда удобно использовать геометрическое определение предела последовательности.

Число а называют пределом последовательности , если в любой окрестности а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Эта окрестность называется - окрестностью.

Если последовательность обладает следующим свойством: какое бы большое постоянное положительное число А ни взять, все достаточно далекие значения окажутся большими, чем А

то говорят, что стремится к плюс бесконечности или имеет своим пределом плюс бесконечность, и пишут .

Аналогично, числовая последовательность стремиться к минус бесконечности , если при произвольном все последующие значения, начиная с некоторого будут удовлетворять неравенству .

Свойства пределов последовательностей

1. Числовая последовательность может иметь только один предел.

2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

3. Если для двух последовательностей и всегда выполняется неравенство , причем каждая из них имеет конечный предел , , то .

Замечание. Если последовательности удовлетворяют строгому неравенству , то для их пределов может получиться и знак равенства .

4. Если для последовательностей , , всегда выполняются неравенства , причем и стремятся к общему пределу а: , то и последовательность имеет тот же предел .

Операции над пределами последовательностей

1. Предел суммы (разности) двух сходящихся последовательностей равен сумме (соответственно, разности) их пределов:

, .

2. Предел произведения двух сходящихся последовательностей равен произведению их пределов:

, .

В частности:

• постоянный множитель можно выносить за знак предела:

, ;

• предел натуральной степени от сходящейся последовательности равен этой степени от ее предела:

,

3. Предел частного двух сходящихся последовательностей равен частному их пределов:

, .

4. Предел корня к – й степени от сходящейся последовательности равен корню этой же степени от предела последовательности:

, .

Отметим, что пределы переменных, стоящие в левых частях операций (1) – (3), могут существовать без того, чтобы существовали отдельно пределы и .

Например, если

, ,

то и не имеют пределов, в то время как

,

.

Операции над пределами во многих случаях дают возможность узнать, имеет ли числовая последовательность предел и чему он равен, если она есть результат конечного числа арифметических действий над несколькими другими последовательностями, существование и величина пределов которых известны.