- •9. Определенный интеграл и его приложения
- •9.1. Понятие определенного интеграла
- •Если предел последовательности интегральных сумм
- •9.2. Свойства определенного интеграла
- •9.4. Метод замены переменной в определенных интегралах
- •9.5. Метод интегрирования по частям в определенных интегралах
- •9.6. Вычисление площадей плоских фигур
- •9.7. Параметрические функции
- •9.8. Полярная система координат
- •9.9. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •9.10. Вычисление площади поверхности вращения
- •9.11. Объем тела вращения
- •9.15. Несобственные интегралы
9.6. Вычисление площадей плоских фигур
|
Рис. 9.1. |
.
Если f(x)0, то определенный интеграл есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), прямыми x=a и x=b, а также осью Ox. Если же функция f(x) 0, то определенный интеграл будет меньше нуля. Знак минус означает, что криволинейная трапеция расположена ниже оси Ox и ее площадь будет равна S=. Может оказаться, что функцияf(x) на отрезке интегрирования несколько раз меняет знак. В этом случае интеграл нужно разбить на сумму интегралов по участкам, на которых подынтегральная функция имеет постоянный знак. Например, площадь фигуры на рис. 9.1 будет иметь вид
S=.
Пример 4. Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
а) y=sinx, y=0, 0x2; б) y=x–x2, y=0, 0x2.
|
Рис. 9.2 |
рис. 9.2). Так как при0x sinx0 и при x2 sinx0, то
(кв. ед.)
|
Рис. 9.3 |
б) Сделаем чертеж (см. рис. 9.3). Найдем точки пересечения параболы с осью Ox:
Из рисунка видно, что
(кв. ед.)
|
Рис. 9.4 |
. (9.7)
|
Рис. 9.5 |
Решение. Сделаем чертеж (см. рис. 9.5). Найдем точки пересечения параболы и прямой:
Поскольку на отрезке [0;2] x–x2 –x, то площадь заданной фигуры будет равна
.
Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=–x2, y=x–2, y=0.
|
Рис. 9.6 |
Таким образом, точка A имеет координаты (1;–1). После этого находим площадь заданной фигуры:
(кв.ед.).
|
Рис. 9.7 |
. (9.8)
Такой случай следует иметь ввиду, поскольку это может сильно сократить вычисления.
В частности, последний пример можно решить относительно оси Oy (переменной y). В этом случае фигура OAB будет ограничена снизу кривой , а сверху – прямойx2=y+2. В результате, площадь фигуры будет вычисляться следующим образом:
(кв.ед.)
|
Рис. 9.8 |
y2=2x и y2=6–x (см. рис. 9.8).
Решение. Будем искать площадь данной фигуры относительно оси Oy. Ординаты точек пересечения линий равны y1=–2 и y2=2. Следовательно,
(кв. ед.)