- •9. Определенный интеграл и его приложения
- •9.1. Понятие определенного интеграла
- •Если предел последовательности интегральных сумм
- •9.2. Свойства определенного интеграла
- •9.4. Метод замены переменной в определенных интегралах
- •9.5. Метод интегрирования по частям в определенных интегралах
- •9.6. Вычисление площадей плоских фигур
- •9.7. Параметрические функции
- •9.8. Полярная система координат
- •9.9. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •9.10. Вычисление площади поверхности вращения
- •9.11. Объем тела вращения
- •9.15. Несобственные интегралы
9.10. Вычисление площади поверхности вращения
Пусть функция f(x) неотрицательна и непрерывна вместе со своей производной на отрезке [a,b]. Тогда площадь поверхности, образованная вращением графика этой функции вокруг оси Ox, будет вычисляться по формуле:
. (9.14)
Пример 14. Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox: а) отрезка прямой ; б) одной арки синусоидыy=sin x ; в) одной арки циклоиды x=a(t–sint), y=a(1–cost) ; г) параболы y2=2px, 0xa; д) дуги окружности x2+y2=R2.
Решение. а) Вычислим площадь поверхности, полученной вращением отрезка прямой вокруг осиOx (рис. 9.16). Найдем производную: . Подставляя в формулу (9.14) получим:
.
б) Согласно формуле (9.14), получим
(ед.кв.).
Замечание. При вычислении интеграла было использовано свойство 4 определенного интеграла (см. 9.2) и табличный интеграл(отметим, что этот интеграл можно было найти и методом интегрирования по частям).
в) В параметрической форме формулу (9.14) можно записать в следующем виде:
. (9.15)
Тогда площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды вокруг оси Ox, будет равна
.
г) Поскольку ,,, то по формуле (9.14) получим
д) Пусть дуга окружности с центром в начале координат и радиусом R вращается вокруг оси Ox. Из уравнения окружности x2+y2=R2 имеем y2=R2–x2, yy= –x, значит
.
Таким образом, площадь сферы S=4R2.
9.11. Объем тела вращения
Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной осиOx, является непрерывной функцией на отрезке , то объем тела вычисляется по формуле:
. (9.16)
Выражение для функции получается достаточно просто в случае тел вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой, вращается вокруг осиOx или оси Oy, то объемы тел вращения вычисляются по формулам:
или . (9.17)
Если криволинейный сектор, ограниченный кривой и лучами,, вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения равен:
. (9.18)
Отметим, что объемы тел значительно проще вычисляются при помощи кратных интегралов.
Пример 15. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной а) линиями вокруг осиOy;б)кардиоидой вокруг полярной оси.
Решение. а) Используя формулу (9.17),
найдем объем данного тела (рис. 9.17):
(ед.3)
б) Используя формулу (9.18), найдем объем данного тела (рис. 9.18):
.
9.12. Физические приложения. Вычисление работы с помощью определенного интеграла
Работа, совершаемая переменной силой F(x) при перемещении материальной точки вдоль оси Ox, равна
. (9.19)
Рассмотрим пример нахождения работы, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности из резервуара, имеющего вид тела вращения, получающегося при вращении криволинейной трапеции вокруг оси Oy.
Пусть криволинейная трапеция в плоскости переменных ограничена линиямиx=f(y)>0, y=0, y=H, x=0. Элемент объема тела вращения равен ,
элемент веса равен .
Умножая элемент веса на (H–yi) – высоту, на которую нужно поднять соответствующий вес при выкачивании жидкости – получим элемент работы:
.
Тогда работа по выкачиванию жидкости равна определенному интегралу по отрезку [0;H] :
. (9.20)
Пример 16. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности из резервуара, имеющего форму:
а) конуса вращения с вершиной, обращенной вниз и совпадающей с началом координат, высота которого H, а радиус основания R;
б) полусферы, обращенной выпуклостью вниз, радиус основания которой равен R;
в) цилиндра высоты H и радиуса основания R.
Решение. а) Данный конус получается в результате вращения прямой вокруг осиOy (см. рис. 9.19). По формуле (9.20) находим
.
б) Данная полусфера получается в результате вращения нижней четверти окружности вокруг осиOy (см. рис. 9.20). По формуле (9.20) находим
.
в) Данный цилиндр получается в результате вращения отрезка прямой ,0yH вокруг оси Oy. Тогда
.
9. 13. Вычисление координат центра тяжести, статических моментов и моментов инерции плоской кривой
Пусть дуга кривой задана уравнением , и имеет плотность. Тогдастатические моменты этой дуги относительно координатных осей Ox и Oy равны:
Рис.
9.20
. (9.22)
Моменты инерции дуги этой кривой относительно координатных осей Ox и Oy равны:
, (9.23)
. (9.24)
Координаты центра тяжестидуги этой кривой вычисляются по формулам:
, (9.25)
, (9.26)
где l – масса дуги, определяемая по формуле:
. (9.27)
Пример 17. Найти координаты центра тяжести дуги окружности (рис. 9.21), при условии.
Решение. Длина дуги равна . Найдем массу этой дуги:. Используя формулу 9.21, найдем статический момент:
.
Тогда . Учитывая симметричность дуги относительно биссектрисы координатного угла, получим. Центр тяжести имеет координаты.
9. 14. Вычисление координат центра тяжести, статических моментов и моментов инерции плоской фигуры
Пусть плоская фигура ограничена кривой и прямыми, и имеет плотность. Тогдастатические моменты этой фигуры относительно координатных осей Ox и Oy равны:
, (9.28)
. (9.29)
Моменты инерции этой фигуры относительно координатных осей Ox и Oy равны:
, (9.30)
. (9.31)
Координаты центра тяжести плоской фигуры вычисляются по формулам:
, (9.32)
, (9.33)
где m – масса фигуры, определяемая по формуле:
. (9.34)
Пример 18. Найти координаты центра тяжести полукруга (рис. 9.22), при условии.
Решение. Площадь полукруга равна . Найдем массу этой фигуры:
.
Так как фигура симметрична относительно оси Oy, то . Используя формулу 9.28, найдем:
.
По формуле 9.33, получаем:
.
Центр тяжести имеет координаты .