заданияч на контрольную работу

Ри с. 2.1. Продолжение

2.1.Методические указания и примеры расчета

Расчет разветвленных электрических цепей с несколькими источниками питания производится с помощью первого и второго законов Кирхгофа, а так же методов, основанных на этих законах.

2.1.1. Законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю

к
∑Ii =0 .	(2.1)

i=1

Токи, направленные к узлу, берутся с одним знаком (обычно с плюсом), направленные от узла – с другим знаком.

Число независимых уравнений, составляемых по первому закону, определяется по формуле:

	n −1,	(2.2)
где	n – число узлов электрической цепи.

Второй закон Кирхгофа.

В любом контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений на всех резистивных элементах равна алгебраической сумме ЭДС:

к	р
∑Ii ri	=∑Ei .	(2.3)
i=1	i=1
11

В уравнении (2.3) со знаком плюс записываются токи и ЭДС, направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Число независимых уравнений по второму закону Кирхгофа определяется по формуле:

m −(n −1) ,

(2.4)

где m – число ветвей электрической цепи.

2.1.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Данный метод основан на двух законах Кирхгофа. Порядок расчета:

а) произвольно выбирают положительные направления токов в ветвях электрической цепи;

б) определяют число независимых уравнений, составляемых по законам Кирхгофа;

в) для выбранных узлов и контуров электрической цепи составляют уравнения по законам Кирхгофа.

2.1.3. Метод контурных токов

Данный метод основан на втором законе Кирхгофа и позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений за счет введения понятия «контурных» токов.

Под контурным током понимают условные (расчетные) токи замыкающиеся в соответствующих контурах.

Порядок расчета:

а) произвольно выбирают m −(n −1) независимых контуров и

указывают положительные направления контурных токов в них; б) составляют уравнения по второму закону Кирхгофа относительно

контурных токов и определяют их значения; в) токи в ветвях цепи определяют алгебраическим сложениям

контурных токов.

2.1.4. Пример расчета

Для электрической цепи, представленной на рис. 2.2 задано E1 =6 B ;

E4 = E5 =8 B ; r1 = 2 Ом; r2 =5 Ом; r3 =5 Ом; r4 = r5 =10 Ом; r6 =5 Ом.

Составить систему уравнений по законам Кирхгофа и определить токи в ветвях методом контурных токов.

12

Р и с. 2.2

Решение.

1. Составим систему уравнений по законам Кирхгофа.

Определяем число независимых уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа

n −1 = 4 −1 =3

m −(n −1) =6 −(4 −1) =3.

Составим уравнения по законам Кирхгофа для узлов 1, 2, 3 и контуров 1231; 1241; 2432. Направление обхода контуров выбрано против

движения часовой стрелки.	− I1 + I2 + I5 =0 ;
узел 1
узел 2	−I2 −I3 + I4 = 0 ;
узел 3	I1 + I3 −I6 = 0 ;
контур 1231	I1r1 − I3r3 + I2r2 = E1 ;
контур 1241	−I2r2 −I4r4 + I5r5 = −E4 + E5 ;
контур 2432	I3r3 + I4r4 + I6r6 = E4 .

2. Определяем токи в ветвях методом контурных токов. Направление контурных токов I11 , I22 и I33 указаны на рис. 2.2. При

составлении уравнений по второму закону Кирхгофа направление обхода контура будем считать совпадающим с направлением контурного тока.

I11r1 + r2 (I11 − I22 ) + r3 (I11 − I33 ) = E1 ;

r2 (I22 − I11 ) + r4 (I22 − I33 ) + r5I22 = −E4 + E5 ;

r3 (I33 − I11 ) + r4 (I33 − I22 ) + r6I33 = E4 .

13

Рист

Полученную систему запишем в удобном для расчета виде:

I11 (r1 + r2 + r3 ) − I22r2 − I33r3 = E1 ;

−I11r2 + I22 (r2 + r4 + r5 ) −I33r4 = −E4 + E5 ;

− I11r3 − I22r4 + I33 (r3 + r4 + r6 ) = E4 .

Представив числовые значения сопротивлений и ЭДС, имеем: 12I11 −5I22 −5I33 =6 ;

−5I11 + 25I22 −10I33 = 0 ;

−10I11 −5I22 + 20I33 =8.

Решение данной системы уравнений дает следующие значения контурных токов:

I11 =1,197 A ; I22 =0,649 A ;

I33 =1,024 A .

Определяем токи в ветвях данной цепи, учитывая, что контурный ток, совпадающий с током ветви, берется со знаком «+», не совпадающий со знаком «-».

I1 = I11 =1,197 A ;

I2 = I11 − I22 =1,197 − 0,649 = 0,548 A ;

I3 = −I11 + I33 = −1,197 +1,024 = −0,173 A ;

I4 = −I22 + I33 = −0,649 +1,024 = 0,375 A ;

I5 = I22 = 0,649 A ;

I6 = I33 =1,024 A . 3. Составим баланс мощностей.

Определяем мощность источников.

Рист = Е1I1 + E4I4 + E5I5 = 61,197 +8 0,375 +8 0,649 =15,374 Вт.

Определяем мощность нагрузок.

Рнагр = I12r1 + I22r2 + I32r3 + I24r4 + I52r5 + I62r6 =(1,197)2 2 + (0,548)2 5 +

+ (−0,173)2 5 + (0,375)2 10 +(0,649)2 10 + (1,024)2 5 =15,378 Вт.

Определяем относительную ошибку δ.

δ= Рист − Рнагр 100% = 15,374 −15,378 100 % =0,02 % . 15,374

Если δ < 5%, расчет выполнен правильно.

14

Задача 3 Расчет неразветвленной цепи синусоидального тока

Напряжение на зажимах цепи, изображенной на рис. 3.1, изменяется по закону u = Um sin(ωt + ψu ) .

Амплитудное значение Um и начальная фаза ψu напряжения, а так же значения активных r , индуктивных xL и емкостных xC сопротивлений

приведены в таблице 3.1. Необходимо:

1.Определить действующее значение тока в цепи комплексным методом.

2.Определить показания приборов.

3.Записать выражения для мгновенных значений тока в цепи и напряжения между точками, к которым подключен вольтметр.

4.Составить баланс мощностей.

5.Построить векторную диаграмму напряжений, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Та б л и ц а 3.1

	Величина					Вариант
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Um , В	240	220	127	380	400	180	200	260	300	280
	Ψu , град	15	30	45	60	75	-15	-30	-45	-60	-75
	r1, Ом	2	4	6	7	9	4	12	11	7	4
	x L1 , Ом	9	6	6	12	8	8	10	6	9	7
	xC1 , Ом	4	2	9	6	12	9	4	7	11	8
	r2 , Ом	9	6	6	12	8	14	11	6	5	4
	x L2 , Ом	7	6	2	9	8	9	11	4	8	6
	xC2 , Ом	2	6	9	12	8	7	6	9	12	9

Р и с. 3.1

15

Р и с. 3.1. Продолжение

16

3.1. Методические указания и примеры расчета

3.1.1.Комплексный метод расчета линейных электрических цепей синусоидального тока

Для расчета электрических цепей переменного тока применяют комплексный метод. В данном методе синусоидально изменяющиеся ЭДС, токи, напряжения, а так же сопротивления, проводимости, мощности представляют в виде комплексных чисел. Это позволяет записать дифференциальные уравнения, составленные по законам Кирхгофа, в виде алгебраических, что значительно упрощает расчет цепи.

При использовании комплексного метода необходимо:

1. Представить синусоидальные ЭДС источников комплексными значениями, определить комплексные сопротивления цепи.

2. Нарисовать схему замещения для расчета комплексным методом.

3. Выполнить расчет электрической цепи, используя любой расчетный метод.

4. По полученным комплексным значениям записать выражения для мгновенных значений токов и напряжений.

3.1.2.Операции с комплексными числами

.

Комплексное число А можно записать в одной из трех форм записи:

алгебраической	.	(3.1)
	А =а + jb
показательной	.	(3.2)
	А = Aejϕ
тригонометрической	.	(3.3)
	А = A cosϕ+ jAsin ϕ

.

где a,b – действительная и мнимая части комплексного числа А;

А– модуль комплексного числа;

ϕ– аргумент комплексного числа.

Переход от одной формы записи к другой осуществляется по следующим формулам:

1. От алгебраической к показательной:

			.
			А =a + jb = Aejϕ,
где	A =	a 2 + b2 ;		(3.4)
ϕ=arctg b		, при а >0 ;		(3.5)
	a
ϕ=180 + arctg b			, при а <0 ;	(3.6)
		a

17

2. От показательной к алгебраической:

	.
	А = Aejϕ = a + jb ,
где a =Acosϕ;	(3.7)
b =Asin ϕ.	(3.8)

При анализе цепей синусоидального тока возникает необходимость производить математические действия с комплексными числами.

При суммировании (вычитании) комплексных чисел отдельно суммируются (вычитаются) их действительные и мнимые части:

. .	.		+ jb2 ) = (a1 ± a 2 ) ± j(b1 ± b2 ) .	(3.9)
A = A1	± A2	=(a1 + jb1 ) ± (a 2

При умножении и делении комплексных чисел рекомендуется использовать показательную форму записи.

При умножении двух комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы суммируются:

. .	= A1e jϕ1 ×A2e jϕ2	= (A1 ×A2 )e j(ϕ1+ϕ2 ) .	(3.10)
A1×A2

При делении комплексных чисел их модули делят, а аргументы вычитают.

	.		A e jϕ1				A
.	A1							1		j(ϕ −ϕ	)
A =		=	1			=			e	1 2		.	(3.11)
	.		A2e	jϕ	2		A2
	A2

3.1.3. Комплексное изображение синусоидальных ЭДС, токов, напряжений, сопротивлений

Значения переменных ЭДС, напряжений и токов в любой момент времени t называют мгновенными значениями и обозначают соответственно e, u, i :

			e = Em sin(ωt +ϕe ) ;
			u = Um sin(ωt + ϕu ) ;	(3.12)
			i = Im sin(ωt + ϕi ) ,
где	Em , Um , Im – амплитудные (максимальные) значения;
(ωt + ϕ) – фаза колебаний;
ϕe , ϕu , ϕi – начальные фазы;
ω= 2πf =		2π	-1
			– угловая частота, с ;
		T

f = T1 – частота, Гц.

Комплексные значения величин, изменяющихся по гармоническому

. . .

закону, обозначают E , I , U и называют комплексными значениями. Комплексы действующих значений определяются по формуле:

18

	.	= Eejϕe ;		.	.		(3.13)
	E			U = Ue jϕu ;	I = Iejϕi ,
где	Е, U, I – действующие значения.
Амплитудные и действующие значения связаны следующим
соотношением:		E = Em		U = Um ,		Im .
			,		I =		(3.14)
		2		2		2

При расчете цепей синусоидального тока необходимо учитывать три идеальных элемента: резистивный ( r ), индуктивный ( L) и емкостной (C ).

В резистивном элементе r происходит необратимый процесс преобразования электрической энергии в тепловую.

Индуктивный элемент L накапливает энергию в виде энергии магнитного поля.

Емкостной элемент C накапливает энергию в виде энергии электрического поля.

Индуктивный и емкостной элементы характеризуются соответственно индуктивным xL и емкостным xC реактивными сопротивлениями,

которые определяются по формулам:
	xL = ωL = 2πfL ,									(3.15)
	xC =	1	=		1		.			(3.16)
		ωC			2πfC
Комплексное сопротивление элемента принято обозначить z .
Для резистивного, индуктивного и емкостного элементов
комплексные сопротивления записывают следующим образом:
		zr = r ,
	zL = jxL = jωL = j2πfL ,									(3.17)
	zC = −jxC = −j				1	= −j		1	.
				ωC				2πfC
При последовательном соединении r , L, C полное комплексное
сопротивление определяется по формуле:
z = zr + zL + zC = r + jxL − jxC = r + j(xL − xC ) = ze jϕ ,										(3.18)
где	z = r2 + (xL − xC )2 – модуль комплексного сопротивления;

ϕ=arctg xL −xC – аргумент комплексного сопротивления. r

3.1.4. Законы Ома, Кирхгофа, баланс мощностей в комплексном

виде

1. Закон Ома:

.	.
		U
I =			.	(3.19)
		z
	19

2. Первый закон Кирхгофа для комплексных значений:

.
∑Iк =0.		(3.20)
к
3. Второй закон Кирхгофа для комплексных значений:
.	.
∑Uк	= ∑En ,
к
или
.	.
∑Iкzк = ∑En .		(3.21)
к	n

Баланс мощностей в комплексном виде:

~ ~	(3.22)
Su =Sn ,

~~

где	Su , Sn	– полные комплексные мощности соответственно источников
и приемников.
	Комплексные мощности источников и приемников определяются по
формулам:
~	~	.
Su = ∑Suк = ∑Uuк Iuк =Su e jϕu =Su cosϕu + jSu sin ϕu = Pu + jQu ;				(3.23)

кк

~	~	.
Sn =∑Snк =∑Unк Inк =∑zкIn2к =Snejϕn =Sn cosϕn + jSn sin ϕn =Pn + jQn , (3.24)
к	к	к

. .

где Uuк, Unк – комплексное значение напряжения соответственно к-го источника и приемника электрической энергии;

Iuк , Inк – сопряженное комплексное значение тока соответственно

к-го источника и приемника электрической энергии;
zк	– полное комплексное сопротивление к-го приемника электри-
ческой энергии;
Iкn	– действующее значение	тока к-го	приемника	электрической
энергии;	=Su cos ϕu , Pn =Sn cos ϕn –	активные	мощности	соответственно
Pu

источников и приемников электрической энергии;

Qu =Su sin ϕu , Qn =Sn sin ϕn – реактивные мощности соответственно источников и приемников электрической энергии.

3.1.5. Пример расчета

Для электрической цепи, представленной на рис. 3.2, задано

Um = 282 B; ϕu =300 ; r1 =18 Ом; r2 = 22 Ом; xС1 = 40 Ом; xL1 =12 Ом.

Определить действующее значение тока в цепи; показания приборов; составить баланс мощностей; построить векторную диаграмму напряжений. Задачу решить комплексным методом.

20