заданияч на контрольную работу

а)

б)

Р и с. 3.2

Решение.

1. Нарисуем схему замещения для расчета комплексным методом (рис. 3.2б) и запишем входное напряжение и сопротивления элементов в комплексном виде.

U = Ue jϕu = Um		e jϕu	= 282 e j30 = 200e j30 B ;
.
	2		2
	zr	= r1	=18 Ом;
	1
zС	=−jxC	=−j40 =40e−j900 Ом;
1	1
	zr	= r2	= 22 Ом;
	2

zL1 = jxL1 = j12 =12ej900 Ом.

Определим комплексное значение сопротивления всей цепи

z = r1 − jxC1 + r2 + jxL1 =18 − j40 + 22 + j12 = 40 − j28 = 48,8e−j35 Ом.

Используя закон Ома, определим ток в цепи

	.	.			j30
		U		200e		= 4,1e j65 A .
	I =		=
		z		48,8e−j35

2. По полученному комплексному значению тока запишем выражение для мгновенного значения.

i = Im sin(ωt + ϕi ) = I 2 sin(ωt + ϕi ) = 4,1 2 sin(ωt + 65o) =5,79sin(ωt + 65o) . 3. Определяем показания приборов. Амперметр показывает

действующее значение тока 4,1 А.

Вольтметр измеряет напряжение на индуктивном элементе.

.

Определяем комплексное значение напряжения UL1 по закону Ома.

.

.

UL1 = I zL1 = 4,1e j65 12e j90 = 49,2e j155 B .

Вольтметр показывает 49,2 В.

4. Подсчитываем мощность источников и потребителей.

21

~		.
Su	= U I = 200e j30 4,1e−j65 =820e−j35 =671,7 − j470,3 BA .
Мощность потребителей.
~		+ I2 zC	+ I2 zr	+ I2 zL =(4,1)2
Sn = ∑Iк2 zк = I2 zr					12e j0	+ (4,1)2 40e−j90	+ (4,1)2
к	1	1	2	1

22e j0 + (4,1)2 12e j90 =302,58 − j672,4 +369,82 + j201,72 =672,4 − j470,68 BA.

Определяем относительную ошибку δ

δР

=

Pu − Pn

100 % =

671,7 −672,4

100 % =0,1 % ,

Pu

671,7

δQ =

Qu −Qn

100 % =

470,3 − 470,68

100 % =0,08 % .

Qu

470,3

Погрешность не превышает 5 %, расчет выполнен правильно. 5. Построим векторную диаграмму напряжений.

По закону Ома рассчитываем напряжения на все элементах схемы.

.	.					= 4,1e j65		18e j0	=73,8e j65 B;
Ur	= Iz			r
1
				1
.	.					= 4,1e j65		40e−j90 =164e−j25 B ;
UC = Iz		C
1
			1
.	.					= 4,1ej65		22ej0	=90,2ej65 B;
Ur	= Iz			r
2
					2
.	.					= 4,1ej65		12ej90	= 49,2ej155 B.
UL	= I z		L
1
				1
Векторную диаграмму напряжений строим на основании уравнения,
составленному по второму закону Кирхгофа:
		. .					.	.	.
	U				= Ur1		+ UC1 + Ur2		+ UL1 .

Р и с. 3.3

Векторная диаграмма напряжений приведена на рис. 3.3.

22

Задача 4 Расчет электрической цепи синусоидального тока с параллельным

соединением приемников

На рис. 4.1 изображена цепь переменного тока с параллельным соединением приемников. Значение напряжения U на зажимах цепи, активных r , индуктивных xL и емкостных xC сопротивлений приемников

приведены в табл. 4.1.

Р и с. 4.1

Необходимо:

1.Начертить схему цепи для решаемого варианта.

2.Определить все токи.

3.Построить векторную диаграмму.

4.Сопоставить значение тока I в неразветвленной части цепи, полученное из векторной диаграммы, со значением, полученным расчетом.

5.Определить активную, реактивную и полную мощности, потребляемые цепью из сети.

Та б л и ц а 4.1

Группа	Величина								Вариант
				1	2	3		4	5	6	7	8	9	10
	U, В			127	220	150		130	260	200	180	100	160	240
	r1,		Ом	10	12	9		14	9	5	7	11	13	8
А	x L ,		Ом	16	11	12		0	16	12	10	0	20	7
	1
	xC1	,	Ом	7	20	0		10	3	20	0	4	7	20
	r2 ,		Ом	8	10	12		9	11	15	14	13	10	12
	x L2	,	Ом	16	0	0		16	8	12	12	10	11	20
	xC2	,	Ом	16	13	15		0	16	16	10	0	9	13
Б	r3 , Ом			12	10	13		14	15	11	9	12	10	8
	x L3	,	Ом	4	10	13		20	20	0	10	8	20	4
	xC3	,	Ом	16	10	20		20	12	10	0	20	10	0
							23

Примечание. В таблице 4.1 данные разделены на две группы А и Б. Номер варианта А выбирается по предпоследней цифре, а группы Б – по последней.

Задачу решить комплексным методом.

4.1. Методические указания и примеры расчета

Расчет электрической цепи с параллельным соединением элементов рекомендуется вести комплексным методом, используя законы Ома и Кирхгофа.

Порядок расчета.

1.По закону Ома определяют токи в параллельных ветвях.

2.Используя первый закон Кирхгофа, рассчитывают ток неразветвленной части схемы.

4.1.2. Пример расчета
Для	электрической		цепи, представленной		на рис.	4.2,		задано:
U =100 B,	r1 =16 Ом, r2		= 20 Ом, r3	=12 Ом, xC	=12 Ом,	xC	2	=16 Ом;
xL =18 Ом, xL		=15 Ом.		1
1		3

Определить токи в ветвях, составить баланс мощностей, построить векторную диаграмму токов.

Р и с. 4.2

Решение.

1. Определим комплексные сопротивления всех ветвей.

z1 =zr1 + zC1 + zL1 =r1 − jxC1 + jxL1 =16 − j12 + j18 =16 + j6 =17,1e j20,50 Ом z2 = zr2 +zC2 =r2 − jxC2 =20 − j16 = 25,6e−j38,60 Ом;

z3 =zr3 +zL3 =r3 + jxL3 =12 + j15 =19,2ej51,30 Ом. 2. Составим схему замещения (рис. 4.3.)

24

Р и с. 4.3

Запишем входное напряжение в комплексном виде.

.

U = Ue jϕu =100e j0 B .

. . .

По закону Ома определим токи I1 ,

I2 , I3 :

.

.

j0

=

U

=

100e

=5,85e−j20,5

A ;

I1

z

17,1ej20,5

1

.

.

j0

=

U

=

100e

=3,9ej38,5

I2

A ;

z2

25,6e−j38,6

.

.

j0

U

100e

=5,2e−j51,3

I3

=

=

A ;

z3

19,2ej51,3

	.
Используя первый закон Кирхгофа, определим ток I .
. . . .	=5,85e−j20,5 +3,9ej38,5 +5,2e−j51,3 =5,48	− j2,05 +
I = I1+ I2 +I3

+3,05 + j2,43 +3,25 − j4,06 =11,78 − j3,68 =12,34e−j17,30 A.

3.Правильность расчета токов проверим, составив баланс мощностей. Полная комплексная мощность источника:

~.

=U I =100e j0 12,34e j17,3 =1234e j17,3 =1178,2 + j366,9 BA .u

Полная комплексная мощность потребителей:

~

Sn = ∑Iк2 zк = I12 z1 + I22 z2 + I32 z3 =(5,85)2 17,1e j20,5 + (3,9)2 25,6e−j38,6 +

к

+ (5,2)2 19,2e j51,3 =585,2e j20,5 +389,38e−j38,6 +519,2e j51,3 =548,14 + j204,94 + +304,31 − j242,93 +324,63 + j405,2 =1177,1 + j367,2 BA.

Определяем относительную ошибку:
δР =		Pu − Pn			100 % =			1178,2 −1177,1			100 % =0,09 % ;
		Pu				1178,2

25

δQ =		Qu −Qn			100% =			366,9 −367,2			100% =0,08% .
		Qu				366,9

Погрешность не превышает 5 %, расчет выполнен правильно.

4. Векторную диаграмму токов строим на основании уравнения, cоставленного по первому закону Кирхгофа.

. . . .

I = I1 + I2 + I3 .

Р и с. 4.4

Векторная диаграмма представлена на рис. 4.4.

26

Задача 5 Расчет трехфазной цепи при соединении приемников «звездой»

К трехфазному источнику с симметричной системой фазных напряжений включена цепь, изображенная на рис. 5.1. Значения линейного напряжения U л , активных r , индуктивных xL и емкостных xC

сопротивлений приемников приведены в таблице 5.1. Сопротивления линейных и нейтрального проводов пренебрежимо малы.

Необходимо определить токи в линейных и нейтральном проводах и построить векторную диаграмму.

Т а б л и ц а 5.1

Вариант	Uл, B				Сопротивления, Ом
		r1	xL	xC	r2	xL	2	xC	2	r3	xL	3	xC
			1	1		5							3
1	220	4	8	6	4			7		4	7		7
2	380	6	4	8	6	3		8		2	8		6
3	220	8	6	5	3	6		3		5	9		7
4	220	5	3	9	5	4		9		7	8		8
5	380	9	9	3	4	4		9		7	9		7
6	380	6	4	8	5	3		9		9	6		8
7	220	7	9	7	3	5		3		7	7		4
8	380	3	7	9	6	7		4		5	4		8
9	220	6	8	2	8	3		6		8	4		6
10	380	7	7	4	7	5		4		6	8		4

Р и с. 5.1

27

Ри с. 5.1. Продолжение

5.1.Методические указания и примеры расчета

5.1.1. Основные понятия и соотношения

Трехфазной называется электрическая цепь, в ветвях которой действуют три одинаковых по амплитуде синусоидальных ЭДС, имеющие

одну и ту же частоту, сдвинутые по фазе одна относительно другой на угол

120о.

В качестве источника энергии в трехфазных цепях используют синхронные генераторы, в обмотках которого индуктируются три ЭДС.

Мгновенные значения ЭДС изменяются в соответствии с выражениями:

eA = Em sin ωt ,

eB = Em sin(ωt −120o) , eC = Em sin(ωt +120o) . (5.1)

где Em – амплитудное значение ЭДС в фазах А, В, С генератора. В комплексной форме ЭДС можно записать:

.			.	.
EA = Eφe j0		,	EB = Eφe−j120o ,	EC = Eφe j120o ,	(5.2)
где Eφ =	Em	– действующее значение фазной ЭДС генератора.
	2

Для источников и приемников трехфазной цепи существует две основные схемы соединения: звездой и треугольником.

При соединении звездой концы фаз x, y, z объединяются в одну общую точку, называемую нейтральной N (рис. 5.2).

28

Р и с. 5.2

Провода, соединяющие начала фаз генератора А, В, С и приемника А1, В1, С1 называются линейными, а провод, соединяющий нейтральные точки генератора N и приемника N1 – нейтральным.

Токи, протекающие по линейным проводам, называются линейными и

. . .

обозначаются IA , IB , IC . Ток, протекающий по нейтральному проводу,

.

обозначается IN . Условное положительное направления токов указаны на рис. 5.2. Важной особенностью трехфазных цепей является наличие двух напряжений: фазного и линейного.

. . .

Фазные ( UA , UВ, UС ) – это напряжения между началом и концом каждой фазы источника (приемника).

. . .

Линейные ( UAВ, UВС , UСА ) – это напряжения между началами фаз источника (приемника).

Соотношения между линейными и фазными напряжениями при соединении фаз источника звездой определяется из уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа:

.	.	.	.	.	.	.	.	.	(5.3)
UAB = UA −UB ;			UBС = UВ−UС ;			UСA = UС−UА
Из векторной		диаграммы,		построенной для			фазных и		линейных

напряжений (рис. 5.3), следует соотношение между их действующими значениями:

Uл = 3Uφ.

(5.4)

29

Ри с. 5.3

5.1.2.Расчет трехфазной электрической цепи «звезда-звезда» с нейтральным проводом

Для расчета трехфазных электрических цепей применяется комплексный метод расчета.

При достаточно малом сопротивлении нейтрального провода

разность потенциалов между точками N и N1 равна нулю. Следовательно, напряжения на фазах приемника равны соответствующим фазным напряжениям источника

.	.	.	.	.	.
UA1	= UA ;	UB1	= UB ;	UС1	= UС .

Расчет цепи осуществляется в следующем порядке: 1. По закону Ома определяются линейные токи:

.				.		.
IA = UA ;			IB = UB ;			IC = UC .
.			.			.
	zA			zB			zC
1				1		1
2. Используя первый закон Кирхгофа, рассчитывается ток
нейтрального провода.
.			.	.		.

IN = IA + IB + IC .

5.1.3. Пример расчета

Для электрической цепи, представленной на рис. 5.4, определить токи и построить векторную диаграмму.

Дано: Uл =380 В; r1 = 40 Ом; r2 =55 Ом; xL1 =30 Ом; xС3 =80 Ом.

30