МА-s1(2014)

Экзамен провидится по подгруппам. Очередность:

МТ-101: день первый - подгруппа В.В.Бояршинова, день второй - подгруппа М.В.Дейкаловой;

МТ-102: день первый - подгруппа П.Ю.Глазыриной, день второй - подгруппа Л.Ф.Коркиной.

В. В. Арестов

Математический анализ. Программа экзамена за первый семестр

Вещественные числа

0. Метод математической индукции. Бином Ньютона.

1. Стабилизация последовательности вещественных чисел. Лемма о стабилизации.

2. Арифметические операции над вещественными числами. Архимедово свойство.

3. Свойства отношения порядка и арифметических операций во множестве вещественных чисел.

4. Свойство непрерывности. Лемма о вложенных отрезках.

5. Три эквивалентные формулировки свойства непрерывности множества ве­щественных чисел.

Элементы теории множеств.

1. Операции над множествами. Свойства операций.

2. Функции (отображения). Образ, прообраз множества. После­довательность элементов.

3. Мощность. Понятие равномощности множеств. Теорема о рав­номощности объединений двух семейств равномощных множеств.

4. Счетное множество.

   1. Определение.

   2. Счетность бесконечного подмножества счетного множества.

   3. Счетность объединения конечного или счетного семейства счетных множеств (объединение конечного и счетного множества, объединение счетного числа конечных множеств, объединение конечного или счетного числа счетных множеств).

   4. Декартово произведение счетных множеств.

   5. Счетность множества рациональных чисел.

5. Бесконечное множество.

   1. Существование счетного подмножества бесконечного мно­жества.

   2. Добавление к бесконечному множеству счетного множества не влияет на его мощность.

   3. Характеризация бесконечного множества в терминах рав­номощного собственного подмножества.

6. Мощность континуума.

   1. Несчетность отрезка [0,1]. Понятие мощности континуума.

   2. Объединение конечного или счетного числа множеств мощ­ности континуума.

   3. Декартово произведение множеств мощности континуума.

   4. Мощность объединения семейства мощности континуума множеств мощности континуума.

7. Сравнение мощностей.

   1. .

   2. .

   3. Теорема Кантора – Бернштейна.

Последовательности вещественных чисел

1. Понятие предела последовательности. Обсуждение этого по­нятия. Единственность предела.

2. Ограниченность сходящейся последовательности.

3. Консервативность знака сходящейся последовательности с ненуле­вым пределом.

4. Неравенства между пределами двух сходящихся последова­тельностей.

5. Принцип двух милиционеров.

6. Арифметические операции над сходящимися последовательнос­тями.

7. Предел монотонной последовательности.

8. Число е.

9. Критерий Коши сходимости последовательности.

10. Понятие подпоследовательности. Сходимость подпоследователь­ности сходящейся последовательности.

11. Теорема Больцано – Вейершрасса для последовательностей.

12. Частичный предел последовательности. Характеризация частичного предела.

13. Существование наибольшего и наименьшего частичных преде­лов ограниченной последовательности.

14. Верхний и нижний пределы числовой последовательности (оп­ределение и характеризация).

Простейшие топологические понятия на прямой

1. Внутренняя точка множества. Открытое множество. Свойства открытых множеств (объединение произвольного семейства и пересечение конечного числа открытых множеств).

2. Предельная точка множества; ее характеризация. Точка прикосновения; ее характеризация.

3. Теорема Больцано – Вейерштрасса для ограниченных множеств.

4. Понятие замкнутого множества. Связь между замкнутым и открытым множествами. Пересечение произвольного семейства и объ­единение конечного числа замкнутых множеств.

5. Замыкание множества.

6. Внутренность множества. Характеризация внутренности в терминах внутренних точек множества.

7. Компакт. Определение и характеризация.

Предел функции в точке

1. Предел функции в точке. Определения Коши и Гейне предела; эквивалентность этих определений.

2. Свойства предела: (единственность предела; ограниченность функции, имеющей конечный предел; сохранение (консервативность) знака функции в окрестности точки с ненулевым пределом; неравенства между пределами; принцип двух милиционеров).

3. Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке.

4. Критерий Коши существования предела функции в точке.

5. Частичные пределы функции в точке. Характеризация частичных пределов. Верхний и нижний пределы.

6. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

7. Односторонние пределы функции в точке. Взаимосвязь предела функции в точке с односторонними пределами.

8. Предел функции в точке по множеству.

9. Односторонние пределы монотонных функций.

10. Непрерывность функции в точке. Предел и непрерывность сложной функции.

11. Функции, непрерывные на множестве. Теорема Вейерштрасса для функций, непрерывных на отрезке (компакте).

12. Теорема Больцано – Коши о промежуточных значениях функции, непрерывной на отрезке.

13. Непрерывность функции, обратной монотонной.

14. Непрерывность тригонометрических функций (включая леммы). Первый замечательный предел.

15. Лемма Бернулли.

16. Построение выражения . Свойства выражения . Показательная, логарифмическая и степенная функции.

17. Второй замечательный предел (число e). Конкретные классические пределы для показательной, логарифмической и степенной функций.

18. Равномерная непрерывность функций. Определения Коши и Гейне; их эквивалентность.

19. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте.

20. Модуль непрерывности функции на множестве. Характеризация равномерной непрерывности функции в терминах поведения модуля непрерывности функции.

Литература

1. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т. 1, 2. М. Наука. 1973.

2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. I, II. М. Наука. 1979.

3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1, 2, 3. М. Высшая школа. 1988.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1, 2, 3. М. Наука. 1966.

5. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому

6. анализу. М. Наука. 1990.

7. Зорич В.А. Математический анализ.

8. Ш.Пизо, М.Заманский. Курс математики. Алгебра и анализ. М. Наука. 1971.

9. Г.Лефор. Алгебра и анализ. Задачи. М. Наука. 1973.