Тема: Кривые второго порядка

1. Асимптоты гиперболы  задаются уравнениями вида .

Фокусы гиперболы, заданной каноническим уравнением , имеют координаты  и , где , а эксцентриситет .

2. Каноническое уравнение эллипса имеет вид ; фокусы эллипса имеют координаты  и , где , а эксцентриситет . Тема: Кривые второго порядка Радиус окружности  равен …

2

Пример. Мнимая полуось гиперболы  равна …

Выделим в уравнении  полный квадрат по переменной : , или . Разделив обе части этого уравнение на 36, получим уравнение гиперболы в виде . Отсюда мнимая полуось .

Тема: Кривые второго порядка Фокусы эллипса имеют координаты  и , а его эксцентриситет равен 0,6. Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид …

Решение: Каноническое уравнение эллипса имеет вид ; фокусы эллипса имеют координаты  и , где , а эксцентриситет . Тогда , , . Следовательно, получаем уравнение .

Тема: Кривые второго порядка Соотношение   в прямоугольной декартовой системе координат задает …

			параболу
			гиперболу
			эллипс
			окружность

Решение: Вычислим , то есть . Тогда в прямоугольной декартовой системе координат данное уравнение задает параболу с вершиной в точке

Тема: Кривые второго порядка Расстояние между фокусами гиперболы  равно …

			10
			7
			5
			2,5

Решение: Фокусы гиперболы, заданной каноническим уравнением , имеют координаты  и , где . Тогда . То есть расстояние между двумя точками  и  равно 10.

Тема: Определение линейного пространства

На  линейном пространстве  задана операция …

			, для любого ,
			, для любого ,
			, для любых
			, для любого ,

Решение: Множество  образует линейное пространство, если для любых 2-х его элементов  определены операции сложения  и умножения на действительное число ;  со свойствами: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Тема: Определение линейного пространства Среди представленных множеств линейное пространство образует …

			множество всех векторов, принадлежащих пространству
			множество всех векторов пространства , образующих острый угол с положительным направлением оси ординат
			множество натуральных чисел
			множество всех отрицательных вещественных чисел

Решение: Множество  образует линейное пространство, если для любых двух его элементов  определены операции сложения  и умножения на действительное число ;  со свойствами: 1. 2. 3. 4. 5. 6. При проверке аксиом получим: векторы пространства , образующие острый угол с положительным направлением оси ординат, не образуют линейного пространства, т.к. умножение на отрицательное число делает этот угол тупым; для множество натуральных чисел и множество всех отрицательных вещественных чисел не выполняется шестая аксиома.

Тема: Определение линейного пространства На  линейном пространстве  задана операция …

			, для любых
			, для любых
			, для любых
			, для любых

Множество  образует линейное пространство, если для любых 2-х его элементов  определены операции сложения  и умножения на действительное число ;  со свойствами: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Тема: Определение линейного пространства Пример. Среди представленных множеств линейное пространство образует …

			множество всех комплексных чисел
			множество всех натуральных чисел
			множество всех положительных иррациональных чисел
			множество всех отрицательных рациональных чисел

Решение: Множество  образует линейное пространство, если для любых 2-х его элементов  определены операции сложения  и умножения на действительное число ;  со свойствами: 1. 2. 3. 4. 5. 6. При проверке аксиом получим: для множества натуральных чисел, множества всех положительных иррациональных чисел и множества всех отрицательных рациональных чисел не выполняется шестая аксиома.

Тема: Определение линейного пространства Аксиомой линейного пространства  является …

			,
			;
			,
			;

Решение: Множество  образует линейное пространство, если для любых двух его элементов  определены операции сложения  и умножения на действительное число ;  со свойствами: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Тема: Определение линейного пространства Среди представленных множеств линейное пространство образует …

			множество всех комплексных чисел
			множество всех натуральных чисел
			множество всех положительных иррациональных чисел
			множество всех отрицательных рациональных чисел

Решение: Множество  образует линейное пространство, если для любых 2-х его элементов  определены операции сложения  и умножения на действительное число ;  со свойствами: 1. 2. 3. 4. 5. 6. При проверке аксиом получим: для множества натуральных чисел, множества всех положительных иррациональных чисел и множества всех отрицательных рациональных чисел не выполняется шестая аксиома.

Тема: Определение линейного пространства Линейное пространство  обладает следующим свойством:

			для любого
			для любого  может существовать несколько противоположных элементов
			для любого
			может существует несколько нейтральных элементов

Решение: Линейное пространство обладает следующими свойствами: 1) нейтральный элемент  является единственным; 2)  для любого ; 3) для любого  противоположный элемент  является единственным; 4)  для любого ; 5)  для любых  и .

Тема: Умножение матриц Соотношение  выполняется, только для …

			перестановочных матриц

Решение: Соотношение  выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Тема: Умножение матриц Произведение матрицы  размерностью 32 на матрицу  существует, если размерность матрицы  равна …

			24
			43
			33
			32

Решение: Произведением  матрицы  размера  на матрицу  размера  называется матрица  размера , элемент которой  равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы  и  j-го столбца матрицы , значит для того чтобы произведение матриц существовало число столбцов первой матрицы должно быть равно числу строк второй.

Тема: Умножение матриц Соотношение  выполняется, только для …

			перестановочных матриц
			единичных матриц
			диагональных матриц
			нулевых матриц

Решение: Соотношение  выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Тема: Умножение матриц Умножение матрицы A на матрицу B  возможно, если эти матрицы имеют вид …

			и
			и
			и
			и

Тема: Вычисление определителей Корень уравнения  равен …

– 1

Тема: Вычисление определителей Определитель  равен …

45

Решение: Определитель четвертого порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первого столбца:

Тема: Вычисление определителей Определитель   равен …

			91
			97
			83
			89

Решение: Определитель третьего порядка можно вычислить, например, разложением по элементам первой строки: .

Тема: Квадратичные формы Матрице  соответствует квадратичная форма , равная …

Решение: Слагаемые из формы можно представить в виде . Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что , поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по . Соответственно, коэффициенты формы при квадратах неизвестных, то есть , записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы равны: Следовательно, данная квадратичная форма имеет вид:

Тема: Квадратичные формы Отрицательно определенная квадратичная форма может иметь вид …

Решение: Квадратичная форма  называется отрицательно определенной, если при всех значениях переменных  , из которых хотя бы одно отлично от нуля, . 1) Для квадратичной формы  характеристическое уравнение  имеет положительные корни  Следовательно, квадратичная форма  является знакоположительной. 2) Для квадратичной формы  характеристическое уравнение  имеет положительные корни  Следовательно, квадратичная форма  является знакоположительной. 3) Для квадратичной формы  характеристическое уравнение  имеет положительные корни  Следовательно, квадратичная форма  является знакоположительной. 4) Для квадратичной формы  характеристическое уравнение  имеет отрицательные корни  Следовательно,  является отрицательно определенной квадратичной формой.

Тема: Квадратичные формы Положительно определенная квадратичная форма может иметь вид …

Решение: Квадратичная форма  называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных  , из которых хотя бы одно отлично от нуля,  . Для матрицы  характеристическое уравнение  имеет положительные корни  Следовательно, на основании критерия квадратичная форма  положительно определенная.

Тема: Квадратичные формы Матрице  соответствует квадратичная форма , равная …

Решение: Слагаемые из формы можно представить в виде . Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что , поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по . Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, то есть  , записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы . Следовательно, заданная квадратичная форма имеет вид .

Тема: Квадратичные формы Канонический вид квадратичной формы  может иметь вид …

Решение: Приведем квадратичную форму к каноническому виду  введем замену   и , получим канонический вид .

Тема: Квадратичные формы Матрица квадратичной формы  имеет вид …

Решение: Матрица квадратичной формы симметрична относительно главной диагонали. Слагаемые из формы можно представить в виде . Они соответствуют как i-строке и j-столбцу, так и j-строке и i-столбцу матрицы в силу того, что , поэтому на каждой из двух позиций ij и ji матрицы записывается по . Соответственно коэффициенты формы при квадратах неизвестных, т.е.  , записываются на главной диагонали. Для данной формы элементы матрицы  . Следовательно, заданная квадратичная форма описывается матрицей .

Тема: Квадратичные формы Квадратичная форма, не являющаяся знакоопределенной, может иметь вид …

Решение: Квадратичная форма  называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях переменных  , из которых хотя бы одно отлично от нуля,  . 1) Для квадратичной формы  характеристическое уравнение  имеет положительные корни  Следовательно, квадратичная форма  является знакоположительной. 2) Для квадратичной формы  характеристическое уравнение  имеет отрицательные корни . Следовательно, квадратичная форма  является знакоотрицательной. 3) Для квадратичной формы  характеристическое уравнение  имеет отрицательные корни . Следовательно, квадратичная форма  является знакоотрицательной. 4) Для квадратичной формы  характеристическое уравнение  имеет положительные корни . Следовательно, квадратичная форма  не является знакоопределенной.