Программа Математический анализ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уральский государственный университет им. А.М. Горького»

Математико-механический факультет Кафедра математического анализа и теории функций

МАТЕМАТИКА МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Программа дисциплины (Стандарт ПД-ОПД)

Екатеринбург

2009

I. ВВЕДЕНИЕ

Курс «Математический анализ» читается для студентов, обучающихся по направлению «Математика. Компьютерные науки» в течение полутора первых лет обучения; он является базовым для многих последующих курсов как по непрерывной, так и дискретной математике.

Цель курса – изложить студентам в естественной полноте и целостности дифференциальное и интегральное исчисление функций одного и нескольких переменных; добиться четкого, ясного понимания основных объектов исследования и понятий анализа, продемонстрировать возможности методов анализа для решения задач фундаментальной и прикладной математики; привить точность и обстоятельность аргументации в математических рассуждениях, сформировать высокий уровень математической культуры, достаточный для понимания и усвоения последующих курсов по непрерывной и дискретной математике; способствовать: подготовке к ведению исследовательской деятельности (в частности, для написания выпускной квалификационной работы) в областях, использующих математические методы; созданию и использованию математических моделей процессов и объектов; разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления, учить пользоваться математической литературой. Теоретическая часть курса в достаточной степени поддерживается практическими занятиями и контрольными мероприятиями, на которых осмысливаются и закрепляются основные понятия и методы курса, осваиваются (стандартные и искусственные) приемы решения задач математического анализа и его приложений.

II. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Предмет математического анализа.

Элементы математической логики: логические операции, предикаты, кванторы. Элементы теории множеств: операции над множествами, декартово произведение множеств. Отображения (функции); классификация отображений; композиция отображений (сложная функция); обратное отображение. Мощность множества; счетное множество, мощность континуума. Метод математической индукции.

Вещественные числа. Построение (конкретные модели) и свойства множества вещественных чисел. Аксиома Архимеда. Принципы полноты множества вещественных чисел: принцип вложенных отрезков, существование верхней и нижней граней числового множества, дедекиндовы сечения.

Последовательности вещественных чисел. Предел последовательности: определение, основные свойства. Предел монотонной последовательности. Число е. Подпоследовательности. Теорема Больцано–Вейерштрасса о выделении сходящейся подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности. Критерий Коши существования предела последовательности.

Топология числовой прямой: предельная, внутренняя, изолированная, граничная точки множества; открытые и замкнутые множества; компактные множества.

Предел вещественной функции одного вещественного переменного: два эквивалентных определения; арифметические свойства предела; свойства предела, связанные с неравенствами. Критерий Коши существования предела функции. Односторонние пределы. Теоремы об односторонних пределах монотонной функции. Элементарные функции; некоторые конкретные (замечательные) пределы. Сравнение поведения функций; символы "o", "O", эквивалентность; основные эквивалентности.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Определение непрерывности функции в точке; локальные свойства непрерывных функций. Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке. Непрерывность и предел сложной функции. Точки разрыва; классификация точек разрыва; характер разрывов монотонной функции. Теорема о

промежуточных значениях функций, непрерывных на отрезке (промежутке). Ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений функций, непрерывных на отрезке (компактном множестве). Непрерывность функции, обратной монотонной. Равномерная непрерывность функции, непрерывной на отрезке (компактном множестве); модуль непрерывности функции.

Дифференцируемость вещественной функции одного вещественного переменного. Дифференцируемость; производная и дифференциал функции в точке; геометрический и механический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Таблица производных элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков.

Основные теоремы для дифференцируемых функций: теоремы Ферма, Ролля; теоремы Лагранжа и Коши о конечных приращениях. Теорема о пределе производной. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Формула Тейлора (с остаточными членами в форме Пеано, Лагранжа, Коши). Формула Тейлора для основных элементарных функций.

Применение дифференциального исчисления к исследованию функций. Монотонность; критерий монотонности и достаточное условие строгой монотонности дифференцируемой функции на промежутке. Экстремумы; необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма); достаточные условия локального экстремума функции в точке в терминах поведения первой производной функции в окрестности точки. Выпуклость функции на промежутке; необходимое, достаточное условия выпуклости дифференцируемой и дважды дифференцируемой функции; взаимное расположение касательной к графику и графика выпуклой функции. Точка перегиба. Достаточные условия точки локального экстремума и точки перегиба в терминах знака старших производных в точке. Асимптоты.

Неопределенный интеграл. Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства. Таблица неопределенных интегралов элементарных функций. Замена переменного. Интегрирование по частям. Интегрирование рациональных функций, квадратичных иррациональностей (подстановки Эйлера), дифференциальных биномов, рациональных тригонометрических функций.

Определенный интеграл Римана по отрезку. Ограниченность интегрируемой функции. Суммы Дарбу; критерии интегрируемости Дарбу и Римана. Классы интегрируемых функций: непрерывные, монотонные, ограниченные с множеством точек разрыва жордановой меры ноль.

Свойства интеграла по функции: линейность интеграла, интегрируемость произведения и частного. Аддитивность интеграла по множеству. Оценки интегралов; первая теорема о среднем. Вторая теорема о среднем.

Интеграл как функция верхнего предела: непрерывность и дифференцируемость. Существование первообразной непрерывной функции на промежутке. Формула Ньютона– Лейбница. Интегрирование по частям. Замена переменного.

Геометрические приложения интеграла. Кривая; длина гладкой (кусочно-гладкой) кривой, вычисление площади. Механические и физические приложения интеграла. Приближенное вычисление интеграла.

Метрическое пространство. Сходимость последовательности элементов метрического пространства. Основные топологические понятия и свойства множеств в метрическом пространстве: предельная, изолированная, внутренняя, граничная точки множества; открытые и замкнутые множества. Компактность множеств метрического пространства, связь с ограниченностью и замкнутостью. Пространство Rn; лемма Бореля о покрытиях; характеризация компактов в Rn.

Функции многих переменных. Предел функции в точке. Повторные пределы; связь двойного и повторного пределов. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных на множествах: теорема о промежуточных значениях на связном множестве, об

ограниченности и достижении верхней и нижней граней на компактном (ограниченном замкнутом) множестве; равномерная непрерывность функции.

Дифференцируемость вещественной функции нескольких вещественных переменных. Частные производные. Дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению, градиент; касательная плоскость и нормаль к поверхности. Дифференцируемость сложной функции. Век- тор–функции и их производные, матрица Якоби, якобиан. Частные производные и дифференциалы высших порядков; достаточные условия равенства смешанных производных. Инвариантность формы первого дифференциала. Формула Тейлора для функций нескольких переменных.

Неявные функции: определение; теоремы о неявных функциях одного и нескольких переменных; дифференцирование неявных функций. Отображения Rn в Rm: непрерывность, дифференцируемость, матрица производной; якобиан. Неявное отображение, заданное системой; локальное обращение отображения Rn в Rn.

Локальный (безусловный) экстремум. Необходимое условие локального экстремума (теорема Ферма). Достаточное условие локального экстремума. Условный экстремум; метод неопределенных множителей Лагранжа.

Числовые ряды. Сходимость числового ряда; сумма ряда; необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Знакопостоянные ряды; признак сравнения сходимости (расходимости); признаки сходимости Даламбера, Коши. Интегральный признак Коши– Маклорена.

Абсолютная и условная сходимости рядов. Преобразование Абеля. Признаки Абеля

иДирихле сходимости рядов. Ряд Лейбница: сходимость, оценка остатка. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда; теорема Римана о перестановке членов условно сходящихся рядов.

Несобственные интегралы (по бесконечному и конечному промежутку). Абсолютная

иусловная сходимость. Признаки сходимости: сравнения, Абеля, Дирихле. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная сходимость. Равномерная

сходимость, критерий Коши равномерной сходимости. Необходимое условие, мажорантный признак Вейерштрасса, признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов. Почленный переход к пределу; непрерывность предельной функции. Теорема Дини. Почленное интегрирование и дифференцирование.

Степенные ряды. Множество сходимости (радиус сходимости, формула Коши– Адамара); характер сходимости; бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда, почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды (ряды Тейлора–Маклорена).

Интегралы, зависящие от параметра. Семейства функций, зависящие от параметра. Поточечная сходимость. Равномерная сходимость; определения Коши и Гейне; критерий Коши. Переход к пределу по параметру. Перестановка двух предельных переходов (равенство повторных и двойного пределов). Непрерывность и интегрируемость равномерного предела. Дифференцируемость предела. Собственные интегралы, зависящие от параметра и их свойства: переход к пределу под знаком интеграла, непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра; равномерная сходимость: критерий Коши, признаки равномерной сходимости (Вейерштрасса, Абеля, Дирихле). Предельный переход в несобственном интеграле и непрерывность несобственного интеграла по параметру; дифференцирование и интегрирование (в собственном и несобственном смыслах) несобственного интеграла по параметру; применение к вычислению некоторых классических интегралов. Гамма- и бета-функции Эйлера, их свойства и применение.

Кратный интеграл Римана. Плоский интеграл Римана по квадрируемому (измеримому по Жордану плоскому) множеству. Свойства интеграла по функции и по множеству. Сведение двойного интеграла к повторным. Мера Жордана в Rn. Замена переменных в

кратном интеграле. Сведение кратного интеграла к повторным. Понятие о кратном несобственном интеграле. Приложение к геометрии, механике, физике.

Криволинейные интегралы первого и второго рода вещественной функции по гладкой и кусочно гладкой кривой. Формула Грина; условия независимости интеграла от формы пути интегрирования.

Поверхность. Площадь поверхности. Поверхность ориентированная и неориентированная. Поверхностные интегралы первого и второго рода; сведение к двойному интегралу. Формула Гаусса–Остроградского. Классический вариант формулы Стокса.

Элементы теории поля: скалярное и векторное поля; градиент, дивергенция, ротор, поток, циркуляция; потенциальное поле; векторные линии и трубки; соленоидальное поле; оператор "набла"; оператор Лапласа.

Ряды Фурье. Ряды Фурье по ортонормированным (ортогональным) системам элементов в евклидовом пространстве. Минимальное свойство сумм Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полнота и замкнутость системы элементов.

Тригонометрическая система; ее замкнутость. Ряды Фурье по тригонометрической системе: выражение частичных сумм через ядро Дирихле; принцип локализации; поточечная сходимость; равномерная сходимость; влияние гладкости функции на скорость сходимости ряда Фурье. Начальные сведения об интеграле и преобразовании Фурье.

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Элементы теории множеств и математической логики; принцип математической индукции.

Элементарные функции.

Вещественные числа; верхняя и нижняя грани числового множества.

Предел последовательности вещественных чисел.

Предел функции в точке. Существование; свойства; классические (замечательные) пределы.

Непрерывность функции. Равномерная непрерывность.

Производная. Производные элементарных функций.

Правило Лопиталя (раскрытие неопределенностей).

Теоремы о конечных приращениях и их применение. Формула Тейлора.

Свойства дифференцируемых функций: монотонность; экстремумы; выпуклость, неравенства. Исследование и построение графиков функций.

Неопределенный интеграл.

Определенный интеграл. Вопросы существования интеграла; вычисление; геометрические, механические и физические приложения.

Функции многих переменных. Предел, непрерывность, равномерная непрерывность.

Дифференцируемость функций многих переменных. Частные производные; свойство дифференцируемости; дифференциалы.

Неявные функции. Замена переменных.

Экстремум функции многих переменных. Условный экстремум.

Числовые ряды.

Несобственные интегралы.

Функциональные последовательности и ряды.

Степенные ряды; ряды Тейлора.

Интегралы, зависящие от параметра (собственные и несобственные).

Интегралы Эйлера.

Двойные, тройные, кратные интегралы. Исследование; вычисление; геометрические, механические и физические приложения.

Криволинейные интегралы. Формула Грина. Физические приложения.

Поверхностные интегралы. Формула Стокса. Формула Остроградского–Гаусса.

Элементы векторного анализа.

Ряды Фурье.

ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Точные границы множества. Последовательность: монотонность, ограниченность, предел.

Предел функции в точке (по определению). Вычисление пределов функций (с применением замечательных пределов).

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Предел и порядок функции в точке.

Построение графиков функций, заданных явно, параметрически и в полярных координатах

Нахождение неопределенных интегралов.

Дифференцирование сложной функции, неявных функций. Замена переменных в дифференциальных выражениях. Экстремум функции многих переменных, условный экстремум.

Числовые ряды.

Вычисление кратных и криволинейных интегралов.

КОНТРОЛЬНАЯ № 1

1.

Пусть X ,Y – ограниченные числовые множества. Множество

2x

Z z :

z

5y,

x X , y Y . Доказать по определению, что

3

sup Z

2

sup X 5supY .

3

2.

Используя определение предела последовательности, доказать, что

lim

(

n2

1 n)n cos n

0 .

n

3 sin n3

n

3.

Используя определение предела последовательности, доказать, что число a 2

ется пределом последовательности

x

2n 3 6n

.

3n 6n

n

4.

Доказать, что последовательность

x 3

3n 1sin3 n не имеет предела. Найти

n

8

inf xn .

не явля-

sup xn ,

5.Исследовать, какие из последовательностей являются неограниченными, а какие – бесконечно большими:

n( 1)n ,

(1 sin n), n .

а)

x (2 ( 1)n 2) n,

n

; б) x

n ; в)

x n2

n

n

n

2

6. Используя критерий Коши доказать сходимость последовательностей

n

sin(k !)

n

5n2

1 n

а) xn

, n ;

б)

xn ( 1)

, n .

k(k 1)

k 1

k 0

2

7.

Используя теорему о пределе монотонной ограниченной последовательности, доказать

сходимость последовательности x

1

1

1

, n .

n 3n 1

n

2 3

КОНТРОЛЬНАЯ № 2

1.

Используя определение предела функции доказать, что

f (x)

4x 8

является бес-

x2

5x 6

конечно малой в т.

x0 2 , и бесконечно большой x1

3.

2.

Доказать, что функция

f (x)

1

является бесконечно малой при

ln(2x2

1) e2 x 1 3

x .

3.

Доказать по определению, что

lim

99

4.

x 0,5

x2 11x 30

4.

Вычислить пределы:

3 1 x 3 4 1 x 4

tg 2 x

а) lim

, б) lim x2

(

x4 x2

x4

1

2x4 ),

в)

lim

,

x 0

1

1 x 2

x

x 0

2

1 cos x

5.

г) lim

tg2x arcsin 4x

,

д) lim(1 x2 )ctg2 x .

sin 5x 6arctg7x

x 0

x 0

6.

Доказать, что

а) o(x7 ) 3 o(10x6 ) o(9x9 ) o(x7 ) при

x 0,

б) 2x3 3x2

1 O(x3 ) при x .

7.

Доказать по определению, что

lim

16x

4 0.

x

1 4x

8.

Вычислить пределы, применяя формулу Тейлора,

ex2

1cos2 xsin2 (1 x)

3 1 x2

3

ln x

1/ x

2

4

2

1 ,

lim

; lim e

(x

x

2)

x

x

lim

x

,

2

) 3x

2

cos x

2

x 0 ln(1 3x

x

x 1

y

x

arctg x .

9.

Построить графики функций y x

| x2 1| ,

2

10.

Построить график кривой, заданной параметрически,

x

et

,

y

e t

.

1 t

1 t

КОНТРОЛЬНАЯ № 3

Задачи на нахождение неопределенных интегралов.

КОНТРОЛЬНАЯ № 4

1.

Функцию

f (x, y)

y3 sin(x2 )

,

x2 y2

0 , f (0, 0) 0 исследовать на непрерыв-

x2 y2

1

3 1

ность в точке (0,0).

f (0,0) 3

3

3

2.

Функцию

x

y

исследовать на дифференцируемость в точке (0,0).

3.

Найти u 2 ,

u

, если u f (sin(xy), x y2 ) .

x

xy

4.

Принимая u и v за новые независимые переменные, преобразовать уравнение

3(x

y

)z

z

xzx

yzy

2

2

zxx

zyy

2 x2

y2

x2 y2 2

, w w(u, v), u x y, v x y, w

x2 y2

.

y

2

перейти к полярным координатам x r cos ,

y=rsin

5. В выражении xzxx

2xyzxy

zyy

6.Исследовать на экстремум функцию f (x, y, z) z ln z z z ln xy xy x2 2y2 4x 2y .

7.Найти точки условного экстремума функции u xy yz , если x2 y2 2 ,

y z 2 (x 0, y 0, z 0) .

КОНТРОЛЬНАЯ № 5

1

1.

Найти все значения , при которых сходится ряд 1 n sin

.

n 1

n

( 1)

n

2.

Исследовать на абсолютную и условную сходимость

.

n ( 1)n 1

n 1

cos nx sin(x / n)

3.

Доказать равномерную сходимость на множестве

ряда

.

x

2

ln

3

(n

1)

n 1

n

2

exp n2

непрерывна при

4.

Доказать, что функция f (x)

x 0 .

x

n 1

x

КОНТРОЛЬНАЯ № 6

1.

Найти площадь фигуры, ограниченной петлей кривой x t2 a2 ,

y t3

a2t .

2.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y 3x ,

y

9

(3 x 1)

8

, y 9 .

4

3

3.

Найти длину кривой x cos3 t,

y sin3 t .

4.Найти координаты центра тяжести однородной плоской пластины, ограниченной кривыми

5.

x2 y2 a2 ,

x2

y2

1,

x 0,

y 0, x 0

(b a 0) .

a2

b2

6.

Найти статистические моменты M x

и M y однородной плоской пластины, ограниченной

кривыми y

2

,

y x2

, x 0,

x 0 .

x2

1

СТРУКТУРА ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА

I СЕМЕСТР

1.Доказать правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей (случай конечной пре-

дельной точки и раскрытия неопределенности вида 00 ).

2.Доказать теорему о промежуточном значении функции.

3.Задача.

Образцы задач
	ln					x2 ln x
				1 x2
а) Вычислить предел lim							.
x			ln x

б) Определить порядок малости при x 0 функции sin(sin x) arctg x x5 . 10

II СЕМЕСТР

1.Доказать формулу Ньютона-Лейбница.

2.Теорема существования неявно заданной функции одной переменной.

3.Задача.

Образцы задач.

а) Построить в декартовой системе координат (x, y) фигуру, ограниченную линией r a sin 4 ( r – полярный радиус, – полярный угол), и найти ее площадь.

б) Перейдя к полярным координатам, решить уравнение y xz x yz 0 .

г) Исследовать функцию f 2x y z 1 на экстремум при условии x2 y 2 2z 2 22 .

III СЕМЕСТР

1.Теорема о непрерывности предельной функции функциональной последовательности.

2.Доказать формулу Остроградского-Гаусса.

3.Задача.

Образцы задач

	а) Найти поток векторного поля a через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).
	a 3z2 x i ex 2 y j 2z xy k,
	S : x2 y2 z2 , z 1, z 4.
		( 1)	n	x	n
	б) Найти интервал сходимости степенного ряда					и исследовать, сходится ли
		n ln(n			1)
	n 1

ряд на концах.