Meh (1)

65. Вибропитатель, служащий для подачи руды в дробилку, совершает колебательное движение, уравнение которого х = cos π/2 (40t + 1) (см). Найти амплитуду, период, частоту и начальную фазу колебаний.

/1 см; 0,1 с; 10 Гц; π/2/ 66. Для погружения обсадных труб в глинистые отложения применяется вибровозбудитель ВО-10, амплитуда колебаний которого 0,13 см, частота

вращения дебалансов 1200 мин-1. Определить максимальные скорость и ускорение, написать уравнение колебаний, если начальная фаза равна нулю.

/0,17 м/с; 20 м/с2; х = 0,13 sin 40πt (см)/ 67. Амплитуда колебаний материальной точки 5 см, период 0,2 с, начальная фаза равна нулю. Какова скорость точки в тот момент, когда ее смещение равно 3 см? /1,26 м/с/ 68. Точка совершает гармонические колебания по закону х = А sin ωt. В некоторый момент времени ее смещение равно 5 см. При увеличении фазы

вдвое смещение стало 8 см. Найти амплитуду колебаний.

/8,3 см/ 69. Точка совершает гармонические колебания. Максимальная скорость точки 10 см/с, максимальное ускорение 100 см/с2. Найти циклическую часто-

ту колебаний, их период, амплитуду. Написать уравнение колебаний.

/10 с-1; 0,63 с; 1 см; х = sin (10t + ϕ0)(см)/ 70. Определить полную энергию колебаний и максимальную силу взаимодействия между подъемным сосудом массой 90 тонн и армировкой ствола шахты, если амплитуда горизонтальных колебаний сосуда 3 см, а циклическая частота 7 с-1. /2 кДж; 130 кН/ 71. Под влиянием веса электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на 1 мм. При какой частоте вращения якоря элек-

тродвигателя может возникнуть опасность резонанса?

/16 с-1/

21

72. Полная энергия тела, совершающего гармонические колебания, 5·10-7 Дж, амплитуда колебаний 2 см. Определить смещение, при котором на тело действует сила 2,2·10-5 Н, и максимальную силу, действующую на тело.

/8,8·10-3 м; 5·10-5 Н/ 73. К спиральной пружине подвешивают снизу груз, масса которого значительно больше массы пружины. При этом пружина удлиняется на 1 см. С какой частотой будет колебаться груз, если ему дать толчок в вертикальном направлении? /5 с-1/ 74. Груз, подвешенный к пружине, гармонически колеблется по вертикали с периодом 0,5 с. Коэффициент упругости пружины 4 Н/м. Определить массу груза. /25 г/ 75. Складываются два колебания одинакового направления и одинако-

вого периода: x1 = sin πt, x2 = sin (πt +π/2) (см). Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания, написать его уравнение.

/1,4 см; 45°; x = 2 sin (πt +π/4) (см)/ 76. Два совпадающих по направлению гармонических колебания одного периода с амплитудами по 2 см складываются в одно колебание с ампли-

тудой 1 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

/151°/

77. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами 10 см и 6 см складываются в одно колебание с амплитудой 14 см. Определить разность фаз складываемых колебаний. /π/3/ 78. Точка одновременно совершает два гармонических колебания, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями: х = 0,5 sin t, y = 2cos t. Найти уравнение траектории точки, построить график ее движения. /4 x2 + y2/4 = 1/

79.Амплитуда затухающих колебаний маятника за 5 мин уменьшилась

вдва раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда умень-

шится в восемь раз?

/15 мин/

22

80. Амплитуда затухающих колебаний за 20 с уменьшилась в два раза.

Во сколько раз она уменьшится за 1 мин?	/8 /
1.5. Механические волны

81. Источник незатухающих гармонических колебаний подчиняется закону y = 5 sin 3140 t (м). Определить смещение, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 340 м от источника, через 1 с от начала колеба-

ний, если скорость волны 340 м/с.	/0; 1,57·104 м/с; 0/
82. Поперечная волна распространяется	вдоль шнура со скоростью

15 м/с. Период колебания точек шнура 1,2 с, амплитуда 2 см. Определить длину волны, фазу, смещение для точки, отстоящей от источника на 45 м в момент времени 4 с от начала колебаний. /18 м; 1,67π; -1,73 см/ 83. Уравнение незатухающих колебаний y = 0,1 sin 0,5πt (м). Скорость волны 300 м/с. Написать уравнение колебаний для точек волны в момент времени 4 с после начала колебаний. Найти разность фаз для источника и

точки на расстоянии 200 м от него.

/y(x) = 0,1 sin (2π - πx/600) (м); π/3/ 84. Уравнение незатухающих колебаний y = 4 sin 600 πt (см). Найти смещение от положения равновесия точки, лежащей на расстоянии 75 см от источника через 0,01 с после начала колебаний и разность фаз двух точек,

лежащих на 10 м и 16 м от источника, если скорость волны 300 м/с.

/0,04м ; 12π/ 85. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника в момент времени Т/6, равно половине амплиту-

ды. Найти длину волны.

/0,48 м/

23

86. Уравнение незатухающих колебаний y = sin 2,5 πt (см). Найти смещение от положения равновесия, скорость, ускорение точки, отстоящей от источника на 20 м, для времени 1 с после начала колебаний при скорости волны 100 м/с. /0; 7,85 см/с; 0/

87.Уравнение незатухающих колебаний y = 0,1 sin 0,5 πt (м). Записать уравнение волны, если скорость волны 300 м/с. Написать уравнение колебаний для точки, отстоящей от источника на 600 м.

/y(x,t) = 0,1 sin 0,5 π(t – x/300) (м); y(t) = 0,1 sin 0,5 π(t – 2) (м)/

88.Поперечная волна распространяется вдоль шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура 1,2 с, амплитуда 2 см. Определить скорость и ускорение для точки, отстоящей от источника на 45 м, в момент

времени 4 с от начала колебаний. /5,3 см/с; 47,5 см/с2/ 89. Уравнение незатухающих колебаний источника y = 5 cos ωt (см).

Определить смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника на 1/12 длины волны, для момента времени, равного 1/6 периода. Найти разность фаз колебаний этой точки и источника. /4,4 см; -π/6/ 90. Плоская волна распространяется со скоростью 20 м/с вдоль прямой. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях 12 м и 15 м от источника волн, колеблются с разностью фаз 0,75π. Найти длину волны и смещение указанных точек в момент времени 1,2 с, если амплитуда равна 0,1 м.

Написать уравнение волны. /8м; 0; 0,071м; y = 0,1 sin 5π(t – x/20) (м)/ 91. Определить скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек, отстоящих друг от друга на расстоянии

15 см, равна π/2. Частота колебаний 25 Гц. /15 м/с/ 92. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с. Период колебаний точек шнура 1,2 с. Определить разность фаз колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях 20м и 30м. /1,1π/

24

93. В упругой среде распространяется гармоническая волна y = 10-5 cos (103 πt – 2x) (м). Определить длину волны и максимальную ско-

рость колебаний частиц среды.	/3,14 м; 3,14 см/с/
94. К одному из концов	длинного стержня прикреплен вибратор, ко-

леблющийся по закону y = 10-6 sin 104 πt (м). Определить скорость точек в сечении стержня, отстоящем от вибратора на расстоянии 25 cм, в момент времени 10-4 с. Скорость волны 5·103 м/с. /0/ 95. В некоторой упругой среде распространяется гармоническая волна

y = 0,001 sin (2000 t – 0,4x) (м). Определить длину волны и ее скорость. /15,7м; 5·103 м/с/

96. Звуковые колебания с частотой 500 Гц и амплитудой 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны 70 см. Определить скорость распространения волны и наибольшую скорость колебаний частиц воздуха.

/350 м/с; 0,78 м/с/ 97. Найти скорость распространения упругих продольных волн в медном стержне, если плотность меди 8,9·103 кг/м3, а модуль Юнга 1,2·1011 Н/м2. /3,8 км/с/ 98. Найти скорости распространения продольных и поперечных волн в

стальном стержне, если модуль растяжения 2·1011 Н/м2, модуль сдвига

0,77·1011 Н/м2, а плотность стали 7,8·103 кг/м3. /5,1 км/с; 3,1 км/с/ 99. Определить коэффициент сжатия горной породы - величину, обратную модулю Юнга, если скорость распространения звуковых волн в горной

породе равна 4500 м/с, а плотность породы составляет 2,3·103 кг/м3

/2,2·10-11 м2/Н/ 100. Стержень из дюралюминия длиной 50 см закреплен с обоих концов. Определить возможные собственные частоты продольных колебаний, если плотность 2,7·103 кг/м3, модуль Юнга 70 ГПа. /5,1 кГц; 10,2 кГц; …/

25

2. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Примеры решения задач

Пример 1. Найти среднюю температуру продуктов взрыва 1 кг нитроглицерина, являющегося составной частью ряда взрывчатых веществ, если удельная теплота взрыва 6,2 106 Дж/кг, молярная теплоемкость газовой смеси

46 Дж/(моль К), объем 0,6 л, начальная температура 0 °С,. Чему равно среднее давление при детонации? Состав газовых продуктов после взрыва сле-

дующий: С3Н5 (ОNО2)3 = 3 СО2 + 2,5 Н2О + 1,5 N2 + 0,25 О2.

q

=

6

Дж/кг

Решение

6,2 10

m = 1 кг

Определим молярную массу смеси газов после

СVμ = 46 Дж/(моль К)

взрыва

V = 0,6 10-3 м3

μ =

M M1 + M2 + M3 + M4

=

ν1μ1 + ν2μ2 + ν3μ3 + ν4μ4

.

ν =

ν + ν

2

+ ν

3

+ ν

4

ν + ν

2

+ ν

3

+ ν

4

t1 = 0 °С; Т1 = 273 К

1

1

μ1

= 0,044 кг/моль

Подставляем числовые значения.

μ2

= 0,018 кг/моль

(3 0,044 + 2,5 0,018 +1,5 0,028 + 0,25 0,032)

μ3

= 0,028 кг/моль

μ =

=

μ4

= 0,032 кг/моль

3 + 2,5 +1,5 + 0,25

=

0,031кг/моль.

Т2, p

- ?

Считаем,

что взрыв происходит мгновенно и

заканчивается в начальном объеме. При изохорическом процессе теплота, выделенная при взрыве, идет на изменение внутренней энергии.

Q = U, q m = mμ CVμ T.

Отсюда изменение температуры

26

	T =	qμ		=	6,2 106 0,031	К = 4200К.
		CV	μ		46

Искомая температура Т2 = Т1 + Т = 273 + 4200 = 4473 К.

Среднее давление при детонации находим из уравнения Менделеева-

	Клапейрона
	p =	mRT2	=	1 8,31 4473	Па = 2 109 Па.
		μV		0,031 0,6 10−3

Пример 2. Какова плотность воздуха в шахте при наличии в нем безвредного количества углекислого газа и метана, если давление и температура равны 105 Па и 10 °С? Принять, что шахтный воздух состоит из 75,5 % N2, 23 % О2, 1 % СН4, 0,5 % СО2.

р = 105 Па

Решение

Т = 283 К

По закону Дальтона давление смеси газов равно

μ1

= 0,028 кг/моль

сумме парциальных давлений всех газов, входящих в

μ2

= 0,032 кг/моль

состав смеси

μ3

= 0,016 кг/моль

р = р1 + р2 + р3 + р4,

μ4

= 0,044 кг/моль

М1/М = 0,755

где р1, р2, р3, р4 - парциальные давления азота, кислоро-

М2/М = 0,230

да, метана и углекислого газа, т. е. те давления, кото-

М3/М = 0,010

рые они производили бы, занимая порознь весь объем

М4/М = 0,005

при той же температуре. Выражая эти давления из

уравнения Менделеева-Клапейрона, получим

ρ - ?

M1

M2

M3

M4

p

=

RT

μ

+ μ

2

+ μ

3

+ μ

4

V .

1

27

Подставляя из этого уравнения объем смеси в выражение для плотности, найдем

ρ =

M

=

M p

.

V

M2

M3

M4

M1

+

+

+

RT

μ

μ

2

μ

3

μ

4

1

Разделим числитель и знаменатель правой части на массу смеси, тогда

ρ =													p											=
		M1					M2							M3					M4
					+						+						+
																							RT
		M μ					M μ		2					M μ		3			M μ			4
		1
=													105													кг		=1,22 кг/м3.
	0,755			+		0,230			+		0,010				+		0,005				8,31			283 м			3
		0,028				0,032					0,016						0,044

Воздух шахт может содержать вредные и взрывчатые газы. К ним от-

носятся углекислый газ и метан. Углекислый газ бесцветен, легко растворя-

ется в воде, не поддерживает дыхания и горения, имеет плотность 1,98 кг/м3

(при нормальных условиях). Безвредным для здоровья людей считается со-

держание СО2 в воздухе 0,5 %.

Метан бесцветен, без вкуса и запаха, с плотностью 0,72 кг/м3 (также при нормальных условиях). Начиная с концентрации 5 % и выше, метан в воздухе может гореть при температуре 650 ÷ 750 °С. При концентрации вы-

ше 6 % смесь метана и воздуха становится взрывчатой. Взрыв наибольшей силы происходит при содержании метана в воздухе 9,5 %. Взрывные работы при проходке выработок ведутся только при концентрации СН4 менее 1 %.

Непосредственно в шахте процентное содержание углекислого газа и метана можно измерить шахтным интерферометром.

28

Пример 3. Азот, занимающий при давлении 105 Па объем 10 л, расширяется вдвое. Найти конечное давление, изменение внутренней энергии, количество поглощенной теплоты и работу, совершенную газом при изобарном, изотермическом и адиабатном процессах.

p

р1 = 105 Па

p1

изобара

V1

= 10-2 м3

V2

= 2 10-2 м3

i = 5

изотерма

γ = 1,4

адиабата

р2 - ?, U - ?

Q - ?, А - ?

V1

V2

V

Рис. 2.1

Решение

Изобразим графики процессов в координатах р и V. Работа графически изображается площадью фигуры, ограниченной линией графика, осью абсцисс и ординатами. Работа будет тем больше, чем больше давление в течение процесса. Согласно молекулярно-кинетической теории давление определяется силой ударов молекул о стенки сосуда и частотой ударов.

При изобарном процессе расширение происходит при непрерывном увеличении температуры, что соответствует увеличению силы отдельных ударов, испытываемых стенками сосуда. Частота ударов уменьшается вследствие увеличения объема так, что давление остается постоянным.

Работа при изобарном процессе

А = р1 (V2 – V1) = 105 (2 10-2 – 10-2) Дж = 103 Дж.

Изменение внутренней энергии газа

29

	U =	M i			R T =	i	p (V − V ) =			i	A.
		μ 2				2				2
							1	2	1

U = 52 103 Дж = 2,5 103 Дж.

Количество поглощенной теплоты согласно первому закону термодинамики

Q = А + U.

Q = 103 Дж + 2,5 103 Дж = 3,5 103 Дж.

При изотермическом процессе кинетическая энергия молекул не меняется и давление уменьшается только в результате уменьшения числа ударов, испытываемых стенкой.

Конечное давление определяем по закону Бойля-Мариотта:

	p V		105 10−2		Па = 0,5 105 Па.
p2 =	1 1	=	2 10−	2
	V2
Работа газа
	V2			V2 dV			V
A = ∫ pdV = p1V1				∫		= p1V1 ln	2	.
					V		V
	V1			V1			1
A =105 10−2 ln 2 Дж = 690 Дж.
При Т = const изменение внутренней энергии							U = 0, Q = А.

При адиабатном процессе кинетическая энергия молекул, отдаваемая поршню, не пополняется извне. Поэтому адиабатное расширение происходит при более резком, чем при изотермическом процессе, падении давления, уменьшается частота и сила ударов.

30