К/Р №3 алгебра

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 21

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz + 20y + 20z 10 = 0.

2.Составить уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, если он касается прямых x + y 5 = 0 и x + 4y 10 = 0.

3.Дана квадратичная форма 3x21 2x22 + 3x23 4x1x2 2x1x3 + 2x1x4 4x2x3 + 2x2x4 + 6x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дано линейное подпространство U, порожденное векторами a1 = ( 2; 2; 1; 0); a2 = ( 3; 0; 4; 0); a3 = ( 1; 0; 1; 0).

Найти ортогональный базис U, базис ортогонального дополнения U?, а также ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x = ( 1; 1; 5; 1) на U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 22

1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x2+ 5y2 + 5z2 + 8yz + 2x + 12y + 24z + 36 = 0.

2. Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями коор- p

динат, если она проходит через точку A(4; 2 2) и касается прямой 3x + y + 8 = 0.

3. Дана квадратичная форма 6x21 3x23 3x24 2x1x2 + 2x1x3 2x1x4 + 6x2x3 + 4x2x4 + 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором ортонормированном базисе системой линейных уравнений

8

> x1 + 3x2 x3 3x4 + 4x5 = 0;

<

x1 x2 x3 + x4 = 0;

:

> x + 2x + x 5x = 0:

1 2 3 5

Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 23

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 2x2+ 5y2 + 5z2 + 6yz + 4x + 16y + 16z + 10 = 0.

2.Составить уравнение гиперболы, оси которой совпадают с осями координат, если она касается прямых x = 1 и 5x 2y + 3 = 0.

3.Дана квадратичная форма x21 5x22 5x23 4x24 + 4x1x2 + 4x1x3 8x1x4 + 4x2x3 8x2x4 + 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Подпространство U порождается векторами a~1 = (2; 0; 1; 3), a~2 = ( 1; 2; 1; 4), a~3 = (5; 1; 2; 0). Найти базис ортогонального дополнения U?.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 24

1. Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 2x2+

5y2 + 5z2 4xy + 6yz + 4x + 16y + 16z + 10 = 0.

p

2. Составить уравнение гиперболы с асимптотами 3x y = 0, касающейся прямой 2x y 3 = 0.

3. Дана квадратичная форма 4x21 + x22 4x23 4x24 + 6x1x2 + 4x1x3 6x1x4 10x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Пространство U порождается векторами a~1 = (2; 1; 1; 1), a~2 = (1; 1; 3; 0), a~3 = (1; 2; 8; 1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора b = (5; 2; 2; 2) на U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 25

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 4x2+ 4y2 4xy 12x 12y 5z + 1 = 0.

2.Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Oy и касающейся прямых 2x + y = 0, 8x 2y 3 = 0.

3.Дана квадратичная форма 2x21 5x22 + 2x24 8x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 2x2x3 2x2x4 + 4x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дополнить векторы e1 = (1; 1; 1; 1; 2) и e2 = (2; 1; 3; 4; 2) до ортогонального базиса пространства R5.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 26

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x2 + y2 + z2 + 2xy 12x + 4y + 6z 3 = 0.

2.Составить уравнения общей касательной к кривым x202 + y52 = 1, x802 + 4y52 =

1.

3.Дана квадратичная форма 2x21 x22 3x23 + 2x24 4x1x2 + 2x1x3 + 6x1x4 8x2x3 2x2x4 + 6x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дополнить векторы e1 = (1; 1; 1; 1; 2) и e2 = (2; 7; 3; 4; 2) до ортогонального базиса пространства R5.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 27

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x2 + y2 + z2 4xy + 6yz + 4x + 16y + 16z + 10 = 0.

2.Составить уравнения общей касательной к кривым x52 y42 = 1, x42 y32 =

1.

3.Дана квадратичная форма 2x21 2x22 + 3x23 + x24 6x1x2 + 2x1x3 + 4x1x4 2x2x3 10x2x4 10x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дано линейное подпространство U, порожденное векторами a1 = ( 1; 0; 0; 1); a2 = ( 1; 0; 0; 4); a3 = ( 1; 0; 0; 3) . Найти ортогональный базис U и базис ортогонального дополнения U?.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 28

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x2+ y2 + z2 2yz + 2x + 3y 5z + 1 = 0.

2.Определить тип линии, написать ее каноническое уравнение и найти

каноническую систему координат по общему уравнению линии 4x2 + 16xy + 16y2 8x 22y 5 = 0.

3. Дана квадратичная форма 3x21 3x22 2x23 3x24 + 2x1x2 2x1x3 4x1x4 + 2x2x3 + 4x2x4 + 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дано линейное подпространство U, порожденное векторами a1 = ( 2; 2; 1; 0); a2 = ( 3; 0; 4; 0); a3 = ( 1; 0; 1; 0).

Найти ортогональный базис U, базис ортогонального дополнения U?, а также ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x = ( 1; 1; 5; 1) на U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 29

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: 16x2+ 9y2 z2 24xy 9x 12y + 4z + 71 = 0.

2.Определить тип линии 4x2 + 24xy + 11y2 + 64x + 42y + 51 = 0, написать

ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

3.Дана квадратичная форма 4x21 + x22 + 2x23 5x24 + 2x1x2 + 2x1x3 2x1x4 2x2x3 + 2x2x4 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором ортонормированном базисе системой линейных уравнений

8

> x1 + 3x2 x3 3x4 + 4x5 = 0;

<

x1 x2 x3 + x4 = 0;

:

> x + 2x + x 5x = 0:

1 2 3 5

Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 30

1.Определить тип поверхности, написать ее каноническое уравнение: x2

4y2 4z2 + 10yz + 2x + 2y + 2z + 3 = 0.

2.Вычислить длину отрезка асимптоты гиперболы x162 y92 = 1, заключенного между ее центром и директрисой.

3.Дана квадратичная форма 5x21 5x22 5x23 + 2x24 8x1x2 4x1x3 10x1x4 +2x2x3 6x2x4 +2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному

виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Подпространство U порождается векторами a~1 = (2; 0; 1; 3), a~2 = ( 1; 2; 1; 4), a~3 = (5; 1; 2; 0). Найти базис ортогонального дополнения U?.