К/Р №3 алгебра

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 1

1. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором ортонормированном базисе системой линейных уравнений

8

> x1 + 3x2 x3 3x4 + 4x5 = 0;

<

x1 x2 x3 + x4 = 0;

:

> x + 2x + x 5x = 0:

1 2 3 5

Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U.

2.Написать уравнение конуса, проходящего через прямые y = x, z = 0; y = x, z = 0 и точку (1; 2; 3), для которого ось Oz является осью симметрии.

3.Определить тип линии, написать ее каноническое уравнение и найти

каноническую систему координат по общему уравнению линии 4x2 + 16xy + 16y2 8x 22y 5 = 0.

4. Дана квадратичная форма 5x21 2x22 2x23 + x24 4x1x2 6x1x3 4x1x4 4x2x3 + 6x2x4 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 2

1.Найти острый угол между образующими конуса x2 + y2 z2 = 0, по которым его пересекает плоскость 5x + 10y 11z = 0.

2.Определить тип линии 4x2 + 24xy + 11y2 + 64x + 42y + 51 = 0, написать

ееканоническое уравнение и найти каноническую систему координат.

3.Дана квадратичная форма x21 x22 + x23 10x1x2 10x1x3 + 2x1x4 8x2x3 + 2x2x4 4x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма

положительно определенной.

4.Подпространство U порождается векторами a~1 = (2; 0; 1; 3), a~2 = ( 1; 2; 1; 4), a~3 = (5; 1; 2; 0). Найти базис ортогонального дополнения U?.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 3

1.Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и пересекающей однополостный гиперболоид x252 + y162 z92 = 1 по паре прямых. Найти эти прямые.

2.Вычислить длину отрезка асимптоты гиперболы x162 y92 = 1, заключенного между ее центром и директрисой.

3.Дана квадратичная форма 3x21 2x22 + 3x23 4x1x2 2x1x3 + 2x1x4 4x2x3 + 2x2x4 + 6x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Пространство U порождается векторами a~1 = (2; 1; 1; 1), a~2 = (1; 1; 3; 0), a~3 = (1; 2; 8; 1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора b = (5; 2; 2; 2) на U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 4

1.Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении гиперболы xa22 yb22 = 1; z = 0 вокруг ее действительной оси.

2.Дана парабола y = 34 x2. Написать уравнение другой параболы, имеющей с данной параболой общую фокальную хорду (хорду, проходящую через

фокус параболы и перпендикулярную к ее оси).

3.Дана квадратичная форма 6x21 3x23 3x24 2x1x2 + 2x1x3 2x1x4 + 6x2x3 + 4x2x4 + 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дополнить векторы e1 = (1; 1; 1; 1; 2) и e2 = (2; 1; 3; 4; 2) до ортогонального базиса пространства R5.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 5

1.По какой линии пересекаются гиперболический параболоид x252 y162 = 2z

иплоскость 4x + 5y 20 = 0?

2.Определить тип линии 3x2 + 10xy + 3y2 2x 14y 13 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.

3.Дана квадратичная форма x21 5x22 5x23 4x24 + 4x1x2 + 4x1x3 8x1x4 + 4x2x3 8x2x4 + 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дополнить векторы e1 = (1; 1; 1; 1; 2) и e2 = (2; 7; 3; 4; 2) до ортогонального базиса пространства R5.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 6

1.Найти угол ' между прямолинейными образующими однополостного гиперболоида x2 +y2 z42 = 1, проходящими через точку (1; 4; 8), беря на этих образующих лучи, направленные от данной точки к горловому эллипсу.

2.Определить тип линии 4xy + 3y2 + 16x + 12y 36 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.

3.Дана квадратичная форма 4x21 + x22 4x23 4x24 + 6x1x2 + 4x1x3 6x1x4 10x2x3 + 2x2x4 + 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дано линейное подпространство U, порожденное векторами a1 = ( 1; 0; 0; 1); a2 = ( 1; 0; 0; 4); a3 = ( 1; 0; 0; 3) . Найти ортогональный базис U и базис ортогонального дополнения U?.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 7

1.Написать уравнение поверхности, получающейся при вращении гиперболы xa22 yb22 = 1; z = 0 вокруг ее мнимой оси.

2.Определить тип линии 5x2 2xy + 5y2 4x + 20y + 20 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.

3.Дана квадратичная форма 2x21 5x22 + 2x24 8x1x2 + 2x1x3 + 2x1x4 2x2x3 2x2x4 + 4x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Дано линейное подпространство U, порожденное векторами a1 = ( 2; 2; 1; 0); a2 = ( 3; 0; 4; 0); a3 = ( 1; 0; 1; 0).

Найти ортогональный базис U, базис ортогонального дополнения U?, а также ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора x = ( 1; 1; 5; 1) на U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 8

1.Составить уравнение цилиндра, описанного около сферы x2+y2+z2 = 1, зная направляющий вектор (1; 2; 3) образующих цилиндра.

2.Определить тип линии 8x2 + 4xy + 5y2 + 16x + 4y 28 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.

3.Дана квадратичная форма 2x21 x22 3x23 + 2x24 4x1x2 + 2x1x3 + 6x1x4 8x2x3 2x2x4 + 6x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Подпространство U евклидова пространства задано в некотором ортонормированном базисе системой линейных уравнений

8

> x1 + 3x2 x3 3x4 + 4x5 = 0;

<

x1 x2 x3 + x4 = 0;

:

> x + 2x + x 5x = 0:

1 2 3 5

Найти какой-нибудь ортонормированный базис в U.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 9

1.Доказать, что уравнение z2 = xy определяет конус с вершиной в начале координат.

2.Определить тип линии 7x2 + 6xy y2 + 28x + 12y + 28 = 0, написать ее каноническое уравнение и найти каноническую систему координат.

3.Дана квадратичная форма 2x21 2x22 + 3x23 + x24 6x1x2 + 2x1x3 + 4x1x4 2x2x3 10x2x4 10x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному ви-

ду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Подпространство U порождается векторами a~1 = (2; 0; 1; 3), a~2 = ( 1; 2; 1; 4), a~3 = (5; 1; 2; 0). Найти базис ортогонального дополнения U?.

Контрольная работа № 3 по линейной алгебре

Семестр III, заочное отделение Екатеринбург мат-мех факультет,

Вариант № 10

1.По какой линии пересекаются гиперболический параболоид x2 4y2 = 2z и плоскость 2x 12y z + 16 = 0?

2.Проверить, что прямая 3x 2y 24 = 0 касается кривой x482 + y362 = 1 и определить координаты точки касания.

3.Дана квадратичная форма 3x21 3x22 2x23 3x24 + 2x1x2 2x1x3 4x1x4 + 2x2x3 + 4x2x4 + 2x3x4. Привести ее к каноническому и к нормальному

виду и с помощью критерия Сильвестра определить, будет ли данная форма положительно определенной.

4. Пространство U порождается векторами a~1 = (2; 1; 1; 1), a~2 = (1; 1; 3; 0), a~3 = (1; 2; 8; 1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора b = (5; 2; 2; 2) на U.