Лекция 5

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Курс лекций

Лекция 5

Модуль I. Электрические цепи

2. Электрические цепи синусоидального тока (продолжение)

2.6. Идеальные элементы в цепи синусоидального тока (продолжение)

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

2.6. Идеальные элементы в цепи синусоидального тока (продолжение)

Идеальный индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.

На рис. 2. 15 показана простейшая цепь синусоидального тока, содержащая идеальный индуктивный элемент с индуктивностью L, подключенный к источнику синусоидального напряжения u. Под действием напряжения в цепи возникает синусоидальный ток i. На схеме указаны условноположительные направления напряжений и тока. Положительное направление напряжения uL и тока i совпадают.

Необходимо определить соотношение между синусоидальными током и напряжением по величине и по фазе.

Рис. 2. 15. Схема цепи с идеальным индуктивным элементом

Синусоидальный ток с амплитудой Im и начальной фазой ψi изображается

в виде:
i = Imsin(ωt+ψi) .	(2.60)
Необходимо установить характер изменения напряжения	в этом

индуктивном элементе, т.е. определить амплитуду Um и начальную фазу ψu этого напряжения.

Синусоидальный ток создает переменное магнитное поле, которое, наводит в индуктивном элементе ЭДС самоиндукции. Условно-положительное направление ЭДС самоиндукции принимают противоположным условноположительному направлению тока, который вызывает возникновение этой ЭДС (рис. 2. 15).

Величина этой ЭДС с учетом условно-положительного направления:

	e = L	di	.	(2.61)
		dt
	На основании второго закона Кирхгофа для рассматриваемой цепи можно
записать:
	u = uL и uL = eL			(2.62)
	Модуль I. Электрические цепи			Лекция 5
	2

или

u = uL

= e = L

di

.

(2.63)

С учетом

(2.60) получим:

dt

di

d

u = u L

= L

= L

(I m sin(ω t +ψi ))=

dt

dt

sin(ω t +ψ

+π

)

= LωI

m

cos(ω t +ψ

i

) = LωI

m

i

2

(2.64)

или

u =uL =Um sin(ω t +ψu ).

(2.65)

Из выражения (2.65) следует:

•

напряжение

на индуктивном

элементе

изменяется по

синусоидальному закону с амплитудой

и действующим значением

Um = Lω Im

(2.66)

U L = Lω I .

(2.67)

• начальная фаза напряжения больше начальной фазы тока на π/2, при этом разность фаз, определяемая выражением (10) ,

ϕ =ψu −ψi =(ψi +	π ) −ψi =	π	,	(2.68)
	2	2

то есть напряжение на индуктивном элементе опережает ток по фазе на угол

φ = π/2.

Соотношение (2.67) между током и напряжением по величине может быть представлено в виде:

I =	U	=	U	,	(2.68)
	ωL
			X L

где величинаX L =ωL = 2πfL называется индуктивным сопротивлением.

Единица индуктивного сопротивления – Ом.

Таким образом, соотношение по величине между током и напряжением индуктивного элемента определяется законом Ома подобно идеальному резистору: действующее значение тока индуктивного элемента прямо пропорционально действующему значению напряжения и обратно пропорционально индуктивному сопротивлению.

При графическом изображении временными диаграммами синусоида напряжения uL (t) сдвинута относительно синусоиды тока i (t) в сторону опережения на угол φ = π/2 . Например, на рис. 2. 16а) показаны временные диаграммы тока и напряжения при начальной фазе тока, равной нулю (Ψi = 0).

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

3

Рис. 2. 16. Графики изменения во времени мгновенных значений uL, i, рL

При аналитическом изображении комплексными числами с учетом действующих значений комплексное напряжение имеет вид:

Комплексный ток:

U&L =U Le jΨu ,

(2.70)

I& = Ie jΨi .

(2.71)

Соотношение комплексных напряжения и тока с учетом (2.68) и (2.69):

&

U Le

jψu

U L

j(ψ

−ψ

)

jϕ

j

π

U L

=

=

e

u

i

= X L e

= X L e

2 = jX L = X L ,

(2.72)

I&

Ie jψi

I

U&L

или I& =

.

(2.73)

X L

Здесь X L = X L e jπ 2 = jX L - комплексное индуктивное сопротивление.

Полученное выражение (2.73) определяет закон Ома в комплексной форме для идеального индуктивного элемента в цепи синусоидального тока: комплексный ток прямо пропорционален комплексному напряжению и обратно пропорционален комплексному индуктивному сопротивлению.

При графическом изображении на векторной диаграмме направление векторов тока и напряжения определяется их начальными фазами. В частности в индуктивном элементе, как следует из (2.68) , Ψu = Ψi+π/2 . Следовательно, на векторной диаграмме вектор напряжения повернут относительно вектора тока

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

4

на угол π/2 в сторону опережения (против часовой стрелки) (см. рис. 2. 17). При изменении начальной фазы напряжения оба вектора повернутся на

соответствующий угол. Однако взаимное относительное направление векторов не меняется: угол между ними равен π/2. Это отражает свойства идеального индуктивного элемента. Угол между векторами напряжения и тока на векторной диаграмме определяет разность фаз φ . В частности в индуктивном элементе φ = π/ 2.

Рис. 2. 17. Векторная диаграмма цепи с индуктивным элементом.

Для анализа энергетических соотношений в цепи с идеальным индуктивным элементом определим характер мощности в этой цепи.

Примем начальную фазу тока, равной нулю (Ψi = 0). При этом начальная

	фаза напряжения Ψu = π/2. Исходя из (52), мгновенная мощность в
	индуктивном элементе:
	pL = uL i =U m sin(ω t +π	2	) Im sin ω t =	U m Im	sin 2ω t ,	(2.74)
				2

или перейдя к действующим значениям напряжения и тока (U L = U2m и

I = Im2 ):

pL =U L I sin 2ω t .

(2.75)

Полученное выражение (2.75) описывает характер изменения мощности в идеальном индуктивном элементе.

Для наглядного представления на рис. 2. 16б построен график изменения мощности, соответствующий выражению (2.75).

Из выражения (2.75) и на графике рис. 2. 16б видно, что в цепи с

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

5

идеальным индуктивным элементом мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с амплитудой ULI с двойной частотой 2ω .

При этом в течение периода значение мгновенной мощности меняет знак через каждую четверть периода. При рL > 0 – электрическая энергия от источника поступает в цепь и преобразуется в энергию магнитного поля в индуктивном элементе. При рL < 0 – энергия, запасенная в магнитном поле, полностью возвращается к источнику.

Среднее за период значение мгновенной мощности или активная мощность равна нулю:

			1	T
	P =			∫ pLdt =0	(2.76)
		T
				0

Т.е. в индуктивном элементе не происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии. При этом происходит непрерывный колебательный процесс обмена энергией между источником и магнитным полем индуктивного приемника. Это обратимый процесс преобразования энергии.

Для характеристики интенсивности этого процесса используют понятие реактивной индуктивной мощности QL. Ее величину определяют амплитудой

колебания мгновенной мощности pLmax. Исходя из (2.75):
QL = pL max =U L I .	(2.77)

Т.е. реактивная мощность индуктивного элемента равна произведению действующих значений напряжения и тока.

С учетом соотношения тока и напряжения по закону Ома (2.69) реактивная индуктивная мощность цепи с идеальным индуктивным элементом:

QL =U L I = X L I 2.	(2.78)
Индуктивное сопротивление

	X L =	QL	.	(2.79)
		I 2

Единицы реактивной индуктивной мощности QL – Вар, КВАр, МВАр.

Пример.

Индуктивный элемент с индуктивностью L = 280 мГн подключен к источнику синусоидального напряжения U = 220В с частотой f = 50 Гц. Заданная начальная фаза напряжения ψu = 650.

Определить синусоидальный ток и реактивную мощность этого элемента. При изображении тока и напряжения в комплексном виде:

U& = 220e j65o .

Модуль I. Электрические цепи	Лекция 5
	6

Сопротивление индуктивного элемента синусоидальному току:

X L =ωL = 2πfL = 2π50 280 10−3 =88,Ом.

Комплексное индуктивное сопротивление:

X L =88e jπ 2 = j88.

По закону Ома для индуктивного элемента комплексный ток:

I& =	U&			220e j65o	= 2,5e− j25	o
			=			.
	X	L		88e jπ 2

Таким образом, величина (действующее значение) тока в индуктивном элементе I=2,5А , а его начальная фаза ψi = -250.

Реактивная мощность индуктивного элемента

QL = I 2 X L = (2,5)2 88 =550, ВАр

Идеальный емкостный элемент в цепи синусоидального тока.

На рис. 2. 18 показана простейшая цепь синусоидального тока, содержащая идеальный емкостный элемент с емкостью С, подключенный к источнику синусоидального напряжения u.

Рис. 2. 18. Схема цели с идеальным емкостным элементом

Под действием напряжения в цепи возникает синусоидальный ток i. На схеме указаны условно-положительные направления напряжений и тока. Положительное направление напряжения uL и тока i совпадают.

Необходимо определить соотношение между синусоидальными током и напряжением по величине и по фазе.

Синусоидальное напряжение с амплитудой Um и начальной фазой ψu изображается в виде:

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

7

u =U m sin(ω t +ψu ) .

(2.80)

Необходимо установить характер изменения тока в этом емкостном элементе, т.е. определить амплитуду Im и начальную фазу ψi этого тока.

По второму закону Кирхгофа для рассматриваемой цепи:
uC = u =U m sin(ω t +ψu ).	(2.81)

Мгновенные значения напряжения uС и тока i в емкостном элементе связаны соотношением:

				i = C	duC
						.				(2.82)
					dt
При синусоидальном напряжении (78)									),
i = C	duC	= C	d	(U m sin(ω t +ψu )= CωU m sin(ω t +ψu +π				2		(2.83)
	dt
или			dt
			i = Im sin(ω t +ψi ).
										(2.84)
Из выражений (2.83), (2.84) следует:
•	ток в емкостном элементе изменяется по синусоидальному закону с
амплитудой				I m =CωU m
										(2.85)
и действующим значением
				I = CωU .						(2.86)
•	начальная фаза тока больше начальной фазы напряжения на π/2,
при этом разность фаз, определяемая выражением (10) ,
			ϕ =ψu −ψi =ψu − (ψu + π ) = −				π ,			(2.87)
					2		2

то есть напряжение на емкостном элементе отстает от тока по фазе на угол π/2. Соотношение (2.86) между током и напряжением по величине может быть представлено в виде:

	I =	UC		=	UC	,	(2.88)
		1	Cω		X C

где величинаX c = ω1C = 2π1fC называется емкостным сопротивлением.

Единица емкостного сопротивления – Ом.

Таким образом, соотношение по величине между током и напряжением емкостного элемента определяется законом Ома подобно идеальному резистору и индуктивному элементу: действующее значение тока емкостного элемента прямо пропорционально действующему значению напряжения и обратно

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

8

пропорционально емкостному сопротивлению.

При графическом изображении временными диаграммами синусоида напряжения uL (t) сдвинута относительно синусоиды тока i (t) в сторону отставания на угол π/2 . Например, на рис. 2. 19а показаны временные диаграммы тока и напряжения при начальной фазе напряжения, равной нулю

(Ψu = 0).

Рис. 2. 19. Изменение во времени мгновенных значении uC,, i, рC.

При аналитическом изображении комплексными числами с учетом действующих значений комплексное напряжение имеет вид:

U&C =UC e jΨu	(2.89)
Комплексный ток:
I& = Ie jΨi .	(2.90)

Соотношение комплексных напряжения и тока с учетом (2.87) и (2.88):

&

UC e

jψu

UC

− jπ 2

− jπ 2

UC

=

=

e

= X C e

= −jX C = X C ,

(2.91)

I&

Ie j(ψu

+π

2)

I

или. I& =

U&C

.

(2.92)

X C

Здесь X C = XCe− jπ2 = −jXC - комплексное емкостное сопротивление.

Полученное выражение (90) определяет закон Ома в комплексной форме для идеального емкостного элемента в цепи синусоидального тока: комплексный ток прямо пропорционален комплексному напряжению и обратно пропорционален комплексному емкостному сопротивлению.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

9

При графическом изображении на векторной диаграмме направление векторов тока и напряжения определяется их начальными фазами. В частности в емкостном элементе, как следует из (85) , Ψu = Ψi – π/2 . Следовательно на векторной диаграмме вектор напряжения повернут относительно вектора тока на угол π/2 в сторону отставания (по часовой стрелке) (см. рис. 2. 20).

Рис. 2. 20. Векторная диаграмма цепи с емкостным элементом.

При изменении начальной фазы напряжения оба вектора повернутся на соответствующий угол. Однако взаимное относительное направление векторов не меняется: угол между ними равен π/2. Это отражает свойства идеального емкостного элемента. Угол между векторами напряжения и тока на векторной диаграмме определяет разность фаз φ . В частности в емкостном элементе φ = -

π/ 2.

Для анализа энергетических соотношений в цепи с идеальным емкостным элементом определим характер мощности в этой цепи.

Примем начальную фазу напряжения, равной нулю (Ψu = 0). При этом

	начальная фаза тока Ψi = π/2. Исходя из (2.54), мгновенная мощность в
	емкостном элементе:		)=
	pC = uC i =U m sinω t Im sin(ω t +π	2			U m Im	sin 2ω t	(2.93)
				2

или перейдя к действующим значениям напряжения и тока (UC = U2m ,

I = Im2 ):

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

10