Лекция 4

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Курс лекций

Лекция 4

Модуль I. Электрические цепи

2. Электрические цепи синусоидального тока (продолжение).

2.4.Способы изображения синусоидальных величин (примеры)

2.5.Действующее и среднее значения синусоидальной величины

2.6.Идеальные элементы в цепи синусоидального тока

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 4

2.4. Способы изображения синусоидальных величин (продолжение)

Пример.

Рассмотрим участок электрической цепи, схема которого показана на рис. 2. 8.

Рис. 2. 8. Участок электрической цепи синусоидального тока

Здесь две параллельно соединенные ветви подключены к источнику синусоидального напряжения u. Под действием напряжения в цепи возникают синусоидальные токи: в первой ветви – ток i1 , во второй ветви – ток i2 , в неразветвленном участке цепи – ток i.

Примем заданными токи первой и второй ветвей:

i	=5sin(ωt +15o ) ,	(2.25)
1	=3sin(ωt +105o ) .
i		(2.26)
2

Определим ток в неразветвленном участке цепи, пользуясь разными способами изображения синусоидальных токов.

Аналитически с помощью функции sin.
В соответствии первым законом Кирхгофа для узла "а"
i =i1 +i2 =5sin(ωt +15o ) +3sin(ωt +105o ) = Im sin(ωt +ψi ) .	(2.27)

Амплитуду тока Im и его начальную фазу ψi можно определить, пользуясь формулами преобразования тригонометрических выражений. При этом амплитуда тока

I

m

=

I

2

+ I

m2

2 + 2I

I

cos(ψ

i

−ψ

i

) =

m1

m1 m2

2

1

=

52 +32 +2 5 3 cos(105o −15o ) =5,83A

(2.28)

Начальная фаза тока

Im1 sin ψi

+ Im2 sin ψi

2

ψi

= arctg

1

=

+ Im2 cos ψi

Im1 cos ψi

1

2

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 4

2

	5sin15o	+3sin105o
arctg			= 46o .	(2.29)
	o	o
	5cos15	+3cos105
Таким образом, результат может быть изображен в виде:
i =5,83sin(ωt +46о) .				(2.30)

Графически в форме временной диаграммы.

Токи, изображенные графически на временной диаграмме, показаны на

рис. 2. 9.

Рис. 2. 9. Временная диаграмма токов

Здесь синусоиды заданных токов ветвей i1 и i2 сдвинуты относительно

начала координат в соответствии с их начальными фазами (ψi1 = 150, ψi2 = 1050). Амплитуды токов Im1 и Im2 соответствуют масштабу на оси ординат. Для определения тока в неразветвленном участке цепи i в соответствии с первым законом Кирхгофа на временной диаграмме складываются два графика.

Результирующая синусоида изображает искомый ток i. Амплитуда этой синусоиды в соответствии с масштабом определяет амплитуду тока Im = 5,83А.

Начальная фаза тока определяется точкой пересечения синусоиды с осью

абсцисс: ψi = 460.

Этот результат, полученный графически, соответствует предыдущему

(2.30) .

Графически в форме векторной диаграммы.

Токи, изображенные векторами на комплексной плоскости, показаны на рис. 2. 10.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 4

3

Рис. 2. 10. Графический расчет на векторной диаграмме

Направления векторов токов ветвей определяются их начальными фазами: ψi1 = 150, ψi2 = 1050. Длины векторов в принятом масштабе равны их величинам: Im1 = 5A, Im2 = 3A.

Для определения тока в неразветвленном участке цепи i в соответствии с первым законом Кирхгофа на векторной диаграмме складываются два вектора.

Результирующий вектор изображает искомый ток i. Амплитуда этого тока

определяется длиной результирующего вектора в соответствии с принятым масштабом: Im = 5,83А. Начальная фаза тока определяется углом между направлением вектора и вещественной осью: ψi = 460.

Этот результат, полученный графически на векторной диаграмме, соответствует полученному ранее (2.30) .

Аналитически с помощью комплексных чисел.

В комплексном виде заданные токи ветвей изображаются следующим образом:

I&	= I	e	jψi		=5e		j15o		(2.31)
				1				,
1		m1						j105o
&	= Im2e			jψi	2	=3e
								.	(2.32)
I2

При этом модуль комплексного тока определяет его амплитуду, а аргумент – его начальную фазу.

Для определения тока в неразветвленном участке цепи I& в соответствии с первым законом Кирхгофа аналитически складываются два комплексных тока:

I& = I&

+ I&

= I

e

jψi

e

jψi

2 =5e

j15o

+3e

j105o

(2.33)

1 + I

m2

.

1

2

m1

Для сложения комплексных токов необходимо преобразовать их к

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 4

4

алгебраической форме записи, а полученный результат преобразовать к показательной форме:

I& =5e j15o +3e j105o = (5cos15o + j5sin15o ) +(3cos105o + j3sin105o ) =

= 4,054 + j4,184 = 4,0542 +4,1842 e jarctg	4,184	=5,83e j46o .
	4,054		(2.34)

Таким образом, амплитуда полного тока, определяемая модулем его комплексного значения, Im = 5,83А, а начальная фаза, определяемая аргументом комплексного тока, ψi = 460.

Этот результат соответствует полученному ранее при использовании других способов изображения синусоидальных токов.

2.5. Действующее и среднее значения синусоидальной величины.

Для характеристики энергетического действия синусоидального тока пользуются понятием действующего значения тока и напряжения.

Действующее значение синусоидального тока численно равно постоянному току, который за время периода Т выделяет в резистивном элементе с сопротивлением R такое же количество тепла (Q_ ), как и ток синусоидальный (Q ~).

Иными словами, действующее значение синусоидального тока и эквивалентный ему постоянный ток оказывают одинаковый тепловой эффект.

		Q_ =	Q ~.					(2.35)
	Количество тепла, выделяемое за период Т синусоидальным током в
	элементе цепи с сопротивлением R:
	T	T	RIm2 sin2 (ωt)dt =			1	RIm2T .
	Q~ = ∫	Ri2dt = ∫						(2.36)
						2
	0	0
	Количество тепла, выделяемое за тот же период времени Т постоянным
	током:	Q _ = RI 2T .
								(2.37)
	С учетом (34)			1
		RI 2T =			RIm2T .			(2.38)
			2
	Отсюда действующее значение синусоидального тока:
		I = Im .						(2.39)
			2

Действующее значение синусоидального тока является его среднеквадратичным значением за период.

Аналогичные выражения можно записать для действующих значений синусоидальных ЭДС и напряжения:

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 4

5

	U = U m ; E =		Em .	(2.40)
		2	2
Следует	отметить,	что	электроизмерительные	приборы

электромагнитной, электродинамической и тепловой систем измеряют действующие значения соответствующих величин.

Пример.

Амперметр электромагнитной системы показывает значение тока I = 10А. Это означает, что амплитуда синусоидального тока Im =10 2 =14,1A . При

этом аналитическое изображение этого синусоидального тока может иметь вид: i = Im sin ωt =14,1sin ωt .

Поскольку энергетическое действие синусоидального тока определяется его действующим значением, то обычно при расчете и анализе цепи синусоидального тока в качестве параметра, определяющего его величину, вместо амплитуды используют его действующее значение.

При этом на векторной диаграмме длина вектора, изображающего синусоидальный ток, определяется его действующим значением в заданном масштабе (рис. 2. 11). Соответственно при изображении синусоидального тока (напряжения) комплексным числом его модуль определяется действующим

значением тока (напряжения): I& = Ie jψi , U& =Ue jψu .

Рис. 2. 11. Векторная диаграмма для действующих тока и напряжения

Сказанное выше относится также к синусоидальным напряжениям и

ЭДС.

Иногда при анализе электрических цепей синусоидального тока

необходимо знать его среднее значение.
	Под средним значением синусоидального тока (Iср)	понимают его
среднеарифметическое значение за положительный полупериод:
	Модуль I. Электрические цепи	Лекция 4
	6

		1	T 2	1	T 2	2Im
	Iср =		∫idt =		∫Im sin(ωt)dt =		.	(2.41)
		T 2		T 2		π
			0		0

Аналогично для средних значений синусоидальных напряжения и ЭДС:

	Uср =	2U m	; Eср =	2Em	.	(2.42)
		π		π

2.6. Идеальные элементы в цепи синусоидального тока

Реальные электротехнические устройства могут обладают активным сопротивлением R , индуктивностью L и емкостью С (см. раздел "Электрические цепи постоянного тока). При анализе электрической цепи реальные устройства в схеме замещения представляют совокупностью идеальных элементов: резистора, индуктивного элемента и емкостного элемента. Однако влияние каждого из параметров на ток в цепи различно.

Для расчета и анализа электрической цепи синусоидального тока необходимо знать соотношение между током и напряжением по величине и по фазе на каждом из идеальных элементов. При этом необходимо представить это соотношение в комплексной форме изображения синусоидальных величин и на векторной диаграмме.

Ниже проведен анализ соотношения синусоидального тока и напряжения на каждом из идеальных элементов.

Идеальный резистор в цепи синусоидального тока

На рис. 2. 12 показана простейшая цепь синусоидального тока, содержащая идеальный резистор с сопротивлением R, подключенный к источнику синусоидального напряжения u. Под действием напряжения в резисторе возникает синусоидальный ток i. На схеме указаны условноположительные направления напряжений и тока. Положительное направление напряжения uR и тока i в резисторе совпадают.

Необходимо определить соотношение между синусоидальными током и напряжением по величине и по фазе.

Рис. 2. 12. Схема цепи с идеальным резистивным элементом

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 4

7

Синусоидальное напряжение источника изображается в виде:

u = Umsin(ωt+ψu). (2.43)

Необходимо установить характер изменения тока в этом резисторе, т.е. определить амплитуду Im и начальную фазу ψi этого тока.

Ранее сформулированы законы Ома и Кирхгофа применительно к цепям постоянного тока. Эти законы справедливы и для цепей переменного тока, но только для реально существующих в каждый момент времени мгновенных значений величин.

По закону Ома для мгновенных значений

						i =	uR		(2.44)
							R
	По второму закону Кирхгофа для заданной цепи:
	Тогда ток в цепи			uR =u =Um sin(ωt +ψu ).					(2.45)
		uR		U m
	i =		=			sin(ωt +ψu ) = Im sin(ωt +ψi ) .			(2.46)
		R			R

Из выражения (2.46) следует:

•в рассматриваемой цепи устанавливается синусоидальный ток с амплитудой

Im =			Um			(2.47)
и действующим значением			R
I =	U R				,	(2.48)
		R

т.е. соотношение по величине между синусоидальными током и напряжением определяется законом Ома аналогично мгновенным значениям;

• начальная фаза тока равна начальной фазе напряжения Ψi = Ψu , при этом разность фаз, определяемая выражением (10) ,

ϕ = ψu −ψi = 0 ,

(2.49)

то есть напряжение и ток, в резистивном элементе совпадают по фазе.

При графическом изображении временными диаграммами синусоиды напряжения uR (t) и тока i (t) – подобны. Например, на рис. 2. 13а) показаны временные диаграммы тока и напряжения при начальной фазе, равной нулю (Ψi

= Ψu = 0).

При аналитическом изображении комплексными числами с учетом действующих значений комплексное напряжение имеет вид:

U&R =U Re jΨu ,	(2.50)
Комплексный ток:
I& = Ie jΨi .	(2.51)
Соотношение комплексных напряжения и тока с учетом (2.48) и (2.49):
Модуль I. Электрические цепи	Лекция 4
8

&

U Re

jψu

U R

U R

=

=

e j(ψu −ψi ) = R e jϕ = R e j0

= R ,

(2.52)

I&

Ie jψi

I

&

U&R

или I

=

R

.

(2.53)

Рис. 2. 13. Изменение во времени мгновенных значений uR, i, рR

Полученное выражение (2.53) определяет закон Ома в комплексной форме для идеального резистивного элемента в цепи синусоидального тока:

комплексный ток прямо пропорционален комплексному напряжению и обратно пропорционален сопротивлению резистора.

При графическом изображении на векторной диаграмме направление векторов тока и напряжения определяется их начальными фазами. В частности в резисторе, как следует из (47) , Ψi = Ψu . Следовательно на векторной диаграмме векторы тока и напряжения направлены одинаково (рис. 2. 14).

При изменении начальной фазы напряжения оба вектора повернутся на соответствующий угол. Однако взаимное относительное направление векторов не меняется: они совпадают по направлению. Это отражает свойства идеального резистора. Угол между векторами напряжения и тока на векторной диаграмме определяет разность фаз φ . В частности в резисторе φ = 0.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 4

9

Рис. 2. 14. Векторная диаграмма цепи с резистором

Для анализа энергетических соотношений в цепи с идеальным резистором определим характер мощности в этой цепи.

Мгновенное значение мощности в любом элементе электрической цепи определяется произведением мгновенных значений тока и напряжения:

p = uRi.	(2.54)
Примем начальную фазу, равной нулю (Ψi = Ψu = 0). При синусоидальном
токе и напряжении, принимая во внимание (2.54), мгновенная мощность в
резисторе:

pR = uRi =U m sin ωt Im sin ωt =U m Im sin		2	ωt =	U m Im		−	U m Im	cos 2ωt
					2		2
								(2.55)
или перейдя к действующим значениям напряжения					и тока		(U R = U m		и
I = I m								2
	):
2	pR =U R I −U R I cos 2ωt .							(2.56)

Полученное выражение (2. 56) описывает характер изменения мгновенной мощности в идеальном резисторе.

Для наглядного представления на рис. 2. 13б построен график изменения мощности, соответствующий выражению (2.56).

Из выражения (2.56) и на графике рис. 2. 13б видно, что в цепи с идеальным резистивным элементом мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой вокруг среднего значения, которое определяется первым слагаемым в (2.56).

При этом в течение всего периода мощность остается положительной. Это значит, что независимо от направления тока электрическая энергия всегда поступает от источника в идеальный резистивный элемент и необратимо преобразуется в другие виды энергии, совершая полезную работу.

Электрическая энергия в этом случае называется активной.

Среднее за период значение мощности называется активной мощностью и обозначается P:

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 4

10