Лекция 2

Дальнейший расчет ведется по закону Ома, следуя по этапам эквивалентных преобразований в обратном порядке.

Для эквивалентной цепи на рис.14б:

Uab = I* Rэкв12 ;		(1.64)
Ubc = I* R3 .		(1.65)
Для исходной цепи на рис.14а :
I1	= Uab/R1 ;	(1.66)
I2	= Uab/R2 .	(1.67)

Таким образом, описанный метод эквивалентных преобразований позволяет рассчитать сложную электрическую цепь, не сводя задачу к решению системы уравнений, а путем последовательных вычислений. Однако этот метод применим к цепям, содержащим лишь один источник ЭДС

Метод двух узлов

Среди множества электрических цепей некоторые могут обладать определенными особенностями. Например, на рис. 1. 15 показана схема цепи, в которой параллельно соединены два источника энергии (генератор и аккумулятор) и два приемника (осветительная лампа и нагревательный элемент). В этой цепи могут содержаться другие элементы, подключенные параллельно к одним и тем же зажимам "а" и "b". Эта цепь содержит несколько ветвей и несколько контуров. Поэтому ее, как и ранее рассмотренные, следует отнести к категории сложных электрических цепей. Однако, ее особенность в том, что она содержит только два узла "а" и "b", между которыми подключены все параллельные ветви.

Рис. 1. 15. Электрическая цепь с параллельным соединением ветвей

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

11

Для расчета такой цепи может использоваться метод двух узлов.

На рис. 1. 16 показана схема замещения подобной цепи. В общем случае каждая ветвь может содержать идеальный источник ЭДС и резистор. Количество таких ветвей неограниченно. Все ветви соединены между точками "a" и "b" цепи.

Рис. 1. 16 Схема замещения цепи с двумя узлами

Обозначим напряжение между узлами "a" и "b" Uab с положительным направлением от узла, "a" к узлу "b" . Примем условно-положительные направления токов во всех ветвях одинаковое - от узла "b" к узлу "a".

Рассмотрим контур, содержащий первую ветвь и напряжение Uab . Для этого контура составим уравнение по II закону Кирхгофа с учетом Закона Ома:

R1 I1 +U àá = E1 .										(1.68)
Отсюда ток ветви:
I	1	=	E1		−U аб		=(E −U	аб	)G	(1.69)
					1				1,
					R1
где		G1	=		1	- проводимость ветви.
				R
					1

Рассматривая аналогичные контуры, содержащие каждую из оставшихся ветвей, можно записать аналогичные выражения для токов каждой ветви. Для n-ой ветви:

	I	n	=	En −U аб	=(E −U	аб	)G	n	(1.70)
			1
				Rn
	По I закону Кирхгофа для узла "а":
	Модуль I. Электрические цепи								Лекция 2
						12

I1 + I 2 + I3 +... + I n =0 ,

(1.71)

или подставив выражения (1.69 – 1.70),

(E1 −U аб )G1 + (Е2 −U аб )G2 + (E3 −U аб )G3 +... + (En −U аб )Gn =0 . (1.72)

Отсюда можно выразить напряжение между узлами "a" и "b" через заданные параметры элементов схемы:

			n
	E1G1 + Е2G2 + E3G3 +... + EnGn		∑Ek Gk
U аб =		=	k=1	.	(1.73)
	G1 + G2 +G3 +... + Gn		n
			∑Gk
			k=1

Напряжение между двумя узлами цепи с несколькими параллельными ветвями равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимостей каждой ветви к сумме проводимостей всех ветвей.

Произведение EkGk берут со знаком «плюс», если направления ЭДС ветви Ek соответствует указанному на схеме рис. 1. 16. Если направление ЭДС противоположно, то его значение подставляют со знаком «минус».

Порядок расчета цепи этим методом следующий.

1.Определяют по формуле (1.73) значение узлового напряжения.

2.Находят по формулам (1.69 – 1.70) токи в ветвях.

ПРИМЕР

Задана электрическая цепь, схема замещения которой показана на рис. 1. 17. Заданные параметры элементов схемы:

E1 = 10 В;

E3 = 20 В;

E4 = 10 В;

R01 = 0,1 Ом;

R2 = 5 Ом;

R03 = 0,1 Ом

R3 = 2 Ом;

R04 = 4 Ом.

Определить токи ветвей: I1 , I2 , I3 , I4 .

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

13

Рис. 1. 17. Схема замещения электрической цепи

В соответствии с методом двух узлов определим напряжение между уз-

лами:

E1

+

E3

−

E4

U аб =

E1G1 + E3G3 − E4G4

=

R01

R03 +

R3

R04

=.

1

1

1

1

G1 +G2 + G3 + G4

R01

+

R2

+ R03 + R3

+ R04

10

+

20

−

10

=

0,1

0,1+2

4

=9,795Â

(1.74)

1

+

1

+

1

+

1

0,1+2

4

0,1

5

В соответствии с (70) токи ветвей:

I1

=

E1 −U аб

=

10 −9,795

= 2,05А

(1.75)

R01

0,1

I

2

=

0 −Uаб

=

−9,795

= −1,959А

(1.76)

R2

5

I

3

=

E3

−U аб

=

20 −9,795

= 4,859А

(1.77)

R3

+ R03

2 +

0,1

I

4 =

− E4 −U аб

=

−10 −9,795

= −4,948А

(1.78)

R04

4

Таким образом, описанный метод эквивалентных преобразований позволяет рассчитать сложную электрическую цепь, не сводя задачу к решению системы уравнений, а путем последовательных вычислений. Однако этот метод

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

14

применим к цепям, содержащим лишь два узла, к которым соединены несколько ветвей.

Важно подчеркнуть, что в основе этого метода, как и рассмотренных ранее, используются основные законы электрических цепей: закон Ома, первый и второй законы Кирхгофа.

Рассмотренные методы расчета сложных электрических цепей применимы не только к цепям постоянного тока, но и к цепям синусоидального тока с учетом их особенностей, которым посвящены отдельные разделы курса.

1.6. Особенности нелинейных электрических цепей постоянного тока

Основные понятия

Часто в электрических цепях содержатся элементы, параметры которых не остаются постоянными, а зависят от значения тока в этих элементах и напряжения на их выводах. При этом зависимость тока от напряжения не описывается выражением закона Ома, а является нелинейной зависимостью.Такие элементы называются нелинейными элементами. К нелинейным элементам относятся различные электронные, полупроводниковые, ионные приборы и устройства, содержащие обмотки с ферромагнитными магнитопроводами, лампы накаливания, электрическая дуга и т.д.

Электрические цепи, содержащие такие элементы, называют нелинейными электрическими цепями.

Зависимость напряжения нелинейного элемента от тока в нем называют вольт–амперной характеристикой (ВАХ) элемента.

Аналитическое описание вольт–амперной характеристики может быть весьма громоздким. Поэтому используется графическое изображение ВАХ элемента в виде графика зависимости напряжения от тока.

На рис. 1. 18 показаны ВАХ линейного и нелинейного элементов.

а б в г

Рис. 1.18. Вольт - амперные характеристики и условное изображение линейных и нелинейных элементов

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

15

ВАХ линейного элемента (U=f(I) или I=f(U)) изображается в виде прямой (рис. 1. 18а). Сопротивление такого элемента не зависит от тока в нем и ос-

тается постоянным, т.е. R = UI = const . Условное обозначение линейного элемента – рис. 1. 18б.

Нелинейные элементы имеют ВАХ, отличные от прямой (рис 1. 18в). Сопротивление нелинейного элемента зависит от тока, т.е. R ≠ const . Условное обозначение нелинейного элемента – рис. 1. 18г.

Рассмотрим примеры нелинейных элементов и их вольт – амперные характеристики.

•Полупроводниковый диод, применяемый в схемах выпрямления, имеет ВАХ I=f(U), показанную на рис. 1. 19а;

•В устройствах стабилизации напряжения используют полупроводниковые приборы - стабилитроны, имеющие нелинейные ВАХ

(рис. 1. 19б);

•для измерения температур используют терморезисторы, ВАХ которых имеет вид, показанный на рис. 1. 19в.

Рис. 1. 19. ВАХ и условные обозначения нелинейных элементов

Поскольку аналитическое описание вольт–амперной характеристики может быть весьма громоздким, аналитический расчет нелинейной электрической цепи оказывается затруднительным.

Поэтому нелинейные цепи рассчитываются графо-аналитическим мето-

дом.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

16

Метод свертывания цепи или метод эквивалентных вольт – амперных характеристик.

Анализ нелинейных цепей основывается на применении законов Кирх-

гофа.

На рис. 1. 20а показана нелинейная электрическая цепь с двумя последовательно соединенными нелинейными элементами. Задано напряжение источника U и вольт–амперные характеристики нелинейных элементов U1(I) и U2(I) (рис. 1. 20б). Необходимо определить ток в этой цепи (I) и напряжение на каждом из элементов (U1 и U2).

а

б

Рис. 1. 20. Схема и ВАХ цепи с последовательным соединением нелинейных элементов

Метод заключается в построении результирующей ВАХ цепи в соответствии со II законом Кирхгофа:

U =U1 +U 2 .

(1.79)

Задаваясь значениями тока в цепи, на графиках вольт–амперных характеристик определяем напряжение каждого элемента и, суммируя, определяем точку результирующей ВАХ. Проведя подобную процедуру для нескольких точек, получаем ВАХ цепи U(I).

Отложив на оси ординат значение напряжения источника U, определяем необходимые величины (см. рис. 1. 20б).

На рис. 1. 21а показана нелинейная электрическая цепь с двумя параллельно соединенными нелинейными элементами. Задано напряжение источника U и вольт–амперные характеристики нелинейных элементов U1(I) и U2(I) (см. рис. 1. 21б). Необходимо определить ток в этой цепи (I) и ток в каждом из элементов (I1 и I2).

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

17

а

б

Рис. 1. 21. Схема и ВАХ цепи с параллельным соединением нелинейных элементов

При параллельном соединении нелинейных элементов (рис. 1. 21а) построение результирующей ВАХ (кривая U(I) на рис.21б) производят в соответствии с I законом Кирхгофа:

I = I1 + I 2 .

(1.80)

Далее по заданному значению напряжения источника U на вольт– амперных характеристиках определяют значения токов в ветвях цепи I1 и I2 и в неразветвленной части I (см. рис. 1. 21б).

Метод пересечения характеристик

Нелинейная цепь может содержать как нелинейные, так и линейные элементы. Например, на рис. 1. 22а приведена схема нелинейной цепи, в которой последовательно соединены линейный элемент с сопротивлением R1 и нелинейный элемент, ВАХ которого показана на рис. 1. 22б. При заданном напряжении источника анализ этой цепи может быть проведен методом пересечения характеристик.

а

б

Рис. 1. 22. Анализ нелинейной цепи методом пересечения характеристик

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

18

Для этого следует рассмотреть зависимость между током цепи и напряжением между точками a и b (U2).

Содной стороны, эта зависимость определяется вольт–амперной характеристикой нелинейного элемента, показанной на рис. 1. 22а.

Сдругой стороны, ее можно определить исходя из II закона Кирхгофа для контура рассматриваемой цепи:

U2 =U −R1I .

(1.81)

Как видно, это уравнение прямой, которую можно графически построить по двум точкам:

U 2	= 0 , I k =	U
			;	(1.82)
		R
		1
I = 0 , U 2 =U ;				(1.83)

Построенный график представляет из себя вольт–амперную характеристику участка цепи слева от точек a и b на схеме рис. 1. 22а.

Очевидно, рабочая точка рассматриваемой цепи должна удовлетворять обеим характеристикам, значит определяется точкой их пересечения Р на рис. 1. 22б. По её координатам можно определить значение тока в цепи I, напряжения на элементах U2 и U1.

Метод пересечения характеристик можно использовать также при анализе магнитных и электронных цепей.

Расчет нелинейных цепей, как видно, отличается значительной сложностью. Поэтому когда в рабочем диапазоне изменения напряжения и тока ВАХ реальных элементов близки к прямолинейным, для инженерных расчетов допустимо пренебречь непостоянством сопротивления. В этом случае осуществляют линеаризацию ВАХ и используют для расчетов методы анализа линейных цепей.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

19

Заключение

1.Для расчета электрических цепей используются основные законы электри-

ческих цепей: закон Ома, I закон Кирхгофа, II закон Кирхгофа. Задача рас-

чета разветвленной электрической цепи с несколькими источниками сводится к решению системы алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений определяется количеством неизвестных токов в ветвях. Метод контурных токов позволяет свести задачу к решению системы уравнений меньшего порядка.

Метод узлового напряжения применим к разветвленным электрическим цепям, содержащим два узла, и позволяет определить токи ветвей путем последовательных вычислений.

Для расчета разветвленных электрических цепей с одним источником используется метод эквивалентных преобразований.

2.Нелинейные элементы электрических цепей обладают нелинейной вольт– амперной характеристикой. Зависимость сопротивления нелинейного элемента от тока существенно усложняет расчет. Поэтому нелинейные цепи рассчитываются графо-аналитическими методами: метод эквивалентных вольт – амперных характеристик; метод пересечения вольт – амперных характеристик

Контрольные вопросы

Определить сопротивление резистора, эквивалентного предложенной схеме:

Rэкв = 27,0 Ом;

Rэкв = 65,0 Ом;

Rэкв = 35,0 Ом;

Rэкв = 19,0 Ом;

Rэкв = 50,0 Ом.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

20