Лекция 3

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Курс лекций

Лекция 3

Модуль I. Электрические цепи

2. Электрические цепи синусоидального тока.

2.1.Основные понятия

2.2.Принцип создания синусоидальной ЭДС

2.3.Параметры, характеризующие синусоидальную величину

2.4.Способы изображения синусоидальных величин

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 3

2.1. Основные понятия

Переменным называется ток (напряжение) изменяющий во времени свое направление и величину.

Переменные токи могут быть периодическими и непериодическими. Наибольшее применение находят периодические токи, то есть токи,

мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называемые периодом Т (рис. 2. 1).

.

Рис. 2. 1. График изменения во времени периодического тока.

Число повторений изменяющейся величины или число периодов в секунду называется частотой f = T1 и измеряется в Герцах [Гц].

Частота тока промышленных электрических сетей в большинстве стран, в том числе и в РФ – 50 Гц; в США и Японии – 60 Гц. Выбор такой частоты объясняется тем, что при частоте, меньшей 40 Гц, возрастают габариты, масса, а значит и стоимость электрических машин и трансформаторов и становится заметным для человеческого глаза мигание света осветительных устройств. При больших частотах возрастают потери мощности в электротехнических установках и падение напряжения в линиях электропередачи.

Преимущества переменного тока:

•источники электроэнергии переменного тока – синхронные генераторы – дешевле, надежней и могут быть выполнены большей мощности и напряжения чем генераторы постоянного тока;

•энергия переменного тока одного напряжения легко преобразуется в энергию другого (высшего или низшего) напряжения с помощью трансформаторов – простых и надежных устройств с высоким КПД, что очень важно при передаче электрической энергии на большие расстояния и распределении ее между потребителями;

•приемники электрической энергии – двигатели переменного тока дешевле

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 3

2

и надежней двигателей постоянного тока.

Пионером применения переменного тока был русский электротехник П.Н. Яблочков. В 1876 г. он изобрел аппарат, названный им трансформатором и впервые использовал переменный ток для питания электрической свечи.

Закон изменения тока может быть разным. В связи с этим электрические цепи переменного тока подразделяются на цепи синусоидального и несинусоидального тока.

В свою очередь цепи синусоидального тока могут быть однофазные и многофазные (трехфазные), которым посвящен отдельный раздел дисциплины "Электротехника".

Рассматриваемый раздел дисциплины "Электротехника" посвящен изучению процессов, закономерностей, режимов работы в цепях синусоидального тока.

2.2. Принцип создания синусоидальной ЭДС

Синусоидальная ЭДС создается в генераторах переменного тока. Их работа основана на применении закона электромагнитной индукции.

Устройство простейшего генератора синусоидальной ЭДС показано на рис. 2. 2.

Рис.2. 2. Схема устройства генератора синусоидального напряжения

Статор (1) - неподвижная часть генератора. Его магнитопровод выполнен из электротехнической стали. В пазах статора уложена электрическая обмотка

(2). На рис. 2 обмотка статора условно изображена одним витком, состоящим из двух проводников, находящихся в диаметрально противоположных пазах. Реальная обмотка статора состоит из нескольких электрических катушек,

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 3

3

имеющих большее количество витков, и укладывается в несколько пазов, равномерно распределенных по внутренней окружности статора.

Вращающаяся часть генератора - ротор (3), который представляет собой электромагнит. В обмотку возбуждения ротора (4) через щетки (5) и контактные кольца (6) подается постоянный ток от источника постоянного тока. Обмотка возбуждения с током создает магнитное поле. Магнитный поток замыкается по магнитопроводу генератора. На рис. 2. 2 силовые линии магнитного поля показаны пунктиром.

Ротор приводится во вращение турбиной. При вращении ротора его постоянное магнитное поле пересекает витки обмотки статора. При этом возникает явление электромагнитной индукции, согласно которому в каждом проводнике обмотки статора индуктируется ЭДС.

По закону электромагнитной индукции величина ЭДС, индуктируемой в одном витке, состоящем из двух проводников,

где е' –	e = 2e′ = 2BlV ;	(2.1)
	ЭДС одного проводника;
l – длина активной части проводника, определяемая конструкцией
устройства;
V –	линейная скорость перемещения магнитного	поля относительно

проводника, определяемая частотой вращения ротора;

B – индукция магнитного поля в месте расположения проводника.

При равномерном вращении ротора ЭДС е пропорциональна индукции магнитного поля B. Таким образом, характер изменения ЭДС определяется законом распределения индукции магнитного поля в воздушном зазоре.

В генераторах магнитная индукция в воздушном зазоре между ротором и статором распределена по синусоидальному закону B = Bm sinα. Это достигается, путем придания полюсным наконечникам соответствующей формы, при которой воздушный зазор к краю полюса увеличивается.

Примем за начало отсчета (t = 0) момент, когда магнитная ось ротора

занимает горизонтальное положение		(рис.3,а).	В месте расположения
проводников а и б индукция магнитного поля в воздушном зазоре B = 0,
поэтому е = 0. В произвольный момент		времени t ,	когда ротор повернется на
угол α (рис. 3,б), индукция B = Bm sin α ≠ 0 , а ЭДС
	e = 2BmlV sin α .		(2.2)
	При равномерном вращении ротора с угловой частотой ω его положение
изменяется со временем:
	α= ωt .		(2.3)
	Следовательно ЭДС изменяется по синусоидальному закону:
	e = Em sin(ωt) ,		(2.4)
	где Em = 2BmlV – максимальное значение ЭДС при вертикальном
	Модуль I. Электрические цепи		Лекция 3
	4

положении ротора.

а) б)

Рис. 2. 3. Упрощенная модель однофазного генератора.

В общем случае в начальный момент времени отсчета ротор может быть повернут относительно горизонтального положения на произвольный угол ψ. Тогда его положение изменяется со временем по закону:

α= ωt + ψ . (2.5)

При этом ЭДС генератора изменяется во времени по синусоидальному закону:

e = Em sin(ωt + ψ) .	(2.6)
При подключении к генератору приемника электрической	энергии

образуется электрическая цепь, в которой возникает синусоидальный электрический ток.

2.3. Параметры, характеризующие синусоидальную величину.

Известно, что любая синусоидальная величина характеризуется амплитудой, частотой и начальной фазой.

Значение синусоидальной величины в любой момент времени называют мгновенным. Обозначаются мгновенные значения строчными буквами: напряжение - и, ЭДС - е, ток - i . Зависимости мгновенных значений

синусоидальных напряжения, ЭДС и тока от времени определяются выражениями

e = Em sin(ω t +ψe ),	(2.7)
i = I m sin(ω t +ψi ),	(2.8)
u =U m sin(ω t +ψu ).	(2.9)
Наибольшее значение синусоидальной величины	- амплитуда.

Обозначается прописными буквами Ет, Im, Um.

Аргумент синусоидальной величины называется фазой. Например, в

Модуль I. Электрические цепи	Лекция 3
	5

выражении (2.7) (ωt +ψ е) – фаза ЭДС.

Значение фазы в начальный момент t = 0 – начальная фаза (ψе). На рис. 2. 4 показаны графики синусоидальных ЭДС с разными начальными фазами (отрицательной, положительной, равной нулю).

На графиках начальные фазы показывают стрелками, направленными от начала синусоиды к оси ординат.

Наименьший промежуток времени, по истечении которого мгновенные значения повторяется – период Т. Число периодов в одну секунду - частота f . Единица частоты – герц (Гц). Часто для удобства на графиках горизонтальную ось обозначают не t, a ωt (рис. 4). Периоду Т соответствует значение аргумента

	ωT = 2π. Тогда	f =	1	=	ω	, а ω = 2πf . При стандартной частоте f = 50 Гц ω =
			T		2π
	314 рад/с.

Рис. 2. 4. Графики синусоидальных ЭДС, с разной начальной фазой:

ψe1 > 0 , ψe2 = 0 , ψe3 < 0

Таким образом, синусоидальные ток, напряжение, ЭДС характеризуются тремя параметрами: величиной (амплитудным значением), частотой и начальной фазой. При анализе цепей синусоидального тока эта особенность обусловливает необходимость учета одновременно трех параметров для характеристики напряжения, тока и ЭДС.

Как правило, в силовых цепях синусоидального тока действует один источник электроэнергии. Частота синусоидальной ЭДС этого источника определяет частоту синусоидальных токов и напряжений во всех участках этой цепи. Поэтому частота синусоидальных токов и напряжений во всех участках цепи одна и та же. Следовательно, при анализе соотношений между токами и напряжениями на разных участках цепи этот параметр можно опустить.

Таким образом, при анализе цепей синусоидального тока необходимо характеризовать синусоидальные ток и напряжение двумя обязательными параметрами: величиной (амплитудным значением) и начальной фазой.

Например, в разных участках электрической цепи возникают синусоидальные токи:

i1 = 2,5 sin(ωt + 150);	(2.10)
Модуль I. Электрические цепи	Лекция 3
6

i2 = 2,5 sin(ωt + 500).

(2.11)

Эти токи одинаковы по величине (Im=2,5А). Однако, эти токи разные, т.к. отличаются начальной фазой и в любой момент времени имеют разные мгновенные значения.

При анализе электрических цепей синусоидального тока важное значение имеет соотношение по фазе между напряжением и током на заданном участке цепи. Это соотношение характеризуется параметром разность фаз (φ),

которая определяется выражением:
ϕ =ψu −ψi .	(2.12)

Разность фаз характеризует угол, на который синусоидальное напряжение опережает по фазе синусоидальный ток.

При φ > 0 напряжение опережает ток по фазе; если φ < 0, то напряжение по фазе отстает от тока; при φ = 0 напряжение и ток совпадают по фазе.

2.4. Способы изображения синусоидальных величин.

При анализе электрических цепей синусоидального тока для учета двух параметров: величины и начальной фазы тока или напряжения, используют разные способы изображения синусоидальных величин:

-аналитически с помощью функции sin;

-графически в форме временной диаграммы;

-графически в форме векторной диаграммы;

-аналитически с помощью комплексных чисел.

Аналитический способ с помощью функции sin

Способ заключается в изображении синусоидальных величин при

помощи уравнений с тригонометрическими функциями:
e = Em sin(ω t +ψe ),
i = I m sin(ω t +ψi ),	(2.13)
u =U m sin(ω t +ψu ).

Графический способ в форме временной диаграммы

При этом способе мгновенные значения синусоидальных токов, напряжений, ЭДС изображаются в виде графических зависимостей от времени i(t), u(t), e(t) или аргумента тригонометрической функции i(ωt), u(ωt), e(ωt). На рис. 2. 5 приведен пример графического изображения i(ωt), u(ωt), e(ωt). Здесь ψi

> 0, ψu > 0, ψе < 0, причем ψu > ψi.

При изображении синусоидальных тока и напряжения на временной диаграмме величина (амплитудное значение) определяется на графике масштабом по оси ординат, а начальная фаза тока и напряжения смещением

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 3

7

графика относительно начала координат по оси абсцисс. Разность фаз определяется отрезком на оси абсцисс между нулевыми значениями напряжения и тока. Например, на рис. 2. 5. разность фаз φ > 0.

Рис. 2. 5. Временная диаграмма синусоидальных напряжений, тока, ЭДС

Графический способ в форме векторной диаграммы

Для изображения синусоидального тока или напряжения на декартовой плоскости строят вектор, направленный под углом к оси абсцисс, равным начальной фазе (ψi или ψu) (см. рис. 2. 6). Длина вектора должна соответствовать в масштабе величине (амплитуде) тока или напряжения (Im или Um). Эти векторы вращаются против часовой стрелки с угловой скоростью ω.

Рис. 2. 6. Изображение синусоидальных напряжения и тока вращающимися векторами

Для любого момента времени проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям тока или напряжения. На рис. 2. 6 обозначены мгновенные значения i и u для момента t = 0.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные величины одной

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 3

8

частоты, называют векторными диаграммами.

При вращении векторов Um и Im с одинаковой угловой скоростью их взаимное расположение не меняется, и угол сдвига фаз φ останется постоянным. Поэтому векторные диаграммы строят для определенного момента времени. На рис. 2. 6 векторная диаграмма построена для t = 0.

Таким образом, при изображении синусоидальных тока и напряжения на векторной диаграмме величина (амплитудное значение) определяется длиной вектора в масштабе, а начальная фаза тока и напряжения направлением вектора относительно оси абсцисс. Разность фаз определяется углом между векторами напряжения и тока. Например, на рис. 2. 6 разность фаз φ > 0.

Аналитический способ с помощью комплексных чисел.

Векторная диаграмма, описанная выше, может быть построена на комплексной плоскости аналогичным образом (рис. 2. 7).

Рис. 2. 7. Изображение синусоидального тока вращающимся вектором на комплексной плоскости.

При этом горизонтальную ось декартовых координат совместим с осью вещественных значений которую обозначают символом "+", а вертикальную - с осью мнимых значений, которую обозначают "+ j".

Обозначим проекции вектора на вещественную и мнимую оси I′ и

I′′соответственно. Мгновенное значение тока теперь получают на оси мнимых величин i = I′′.

Известно, что каждому вектору на комплексной плоскости соответствует вполне определенное комплексное число, которое может быть записано в

различных формах записи: алгебраической, показательной.
I&m = I ′+ jI ′′= I m cos Ψi + jI m sin Ψi = I me jΨi .	(2.14)

Здесь I&m - комплексная амплитуда тока, Im – модуль комплексного тока,

определяемый его амплитудой, ψi - аргумент комплексного тока, определяемый его начальной фазой, I ′- вещественная часть комплексного тока, I ′′- мнимая

часть комплексного тока.
	Аргумент отсчитывают	от положительного направления оси
	Модуль I. Электрические цепи	Лекция 3
		9

вещественных величин до вектора. При отсчете по направлению вращения вектора (против часовой стрелки), аргумент положительный, против вращения (по часовой стрелке) - отрицательный.

Взаимный переход показательной и тригонометрической форм записи основан на формуле Эйлера e jα = cosα + j sinα . Величина e jα - поворотный

множитель или оператор вращения.

Для преобразования из алгебраической формы записи в показательную модуль и аргумент комплексного числа определяются его вещественной и мнимой частью в виде:

I m = (I ′)2 + (I ′′)2 ;			(2.15)
Ψ = arctg	I′′	.	(2.16)
i	I′

Для преобразования из показательной формы записи в алгебраическую вещественная и мнимая части комплексного числа определяются его модулем и аргументом в виде:

I ′ = Im cosψi ;	(2.17)
I′′= Im sinψi .	(2.18)

Выражения, аналогичные (12) – (14), можно записать для комплексных амплитуд синусоидальных напряжения и ЭДС:

U&m =U ′ + jU ′′=U m cos Ψu + jU m sin Ψu =U me jΨu	(2.19)
E&m = E ′ + jE ′′ = Em cos Ψe + jEm sin Ψe = Eme jΨe	(2.20)

Изображение синусоидальных величин комплексными числами позволяет при анализе сложных электрических цепей заменить операции с векторами алгебраическими действиями с комплексными числами.

Метод расчета электрических цепей с применением комплексных чисел называется символическим.

Алгебраические действия с комплексными числами.
Пусть нам заданы два комплексных числа
А= А′+ jA′′= Ae jα , B = B′+ jB′′ = Be jβ .	(2.21)

Сложение и вычитание комплексных чисел производится только в алгебраической форме записи. При этом отдельно складываются вещественные и мнимые части. Например,

С = А+ В =

′

′′

′

+ jB

′′

′

+

′

′′

′′

)= C

′

+ jC

′′

= Ce

jϕ

, (2.22)

А

+ jA

+ В

= (А

В

)+ j(A

+ B

где ϕ =arctg

C

′′

, C

=

′

2

+ (C

′′

2

.

C′

(C )

)

Умножение и деление удобно выполнять в показательной форме записи комплексного числа по правилам умножения и деления показательных

Модуль I. Электрические цепи	Лекция 3
	10