Лекция 2

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

Курс лекций

Лекция 2

Модуль I. Электрические цепи

1Электрические цепи постоянного тока (продолжение)

1.5.Методы расчета и анализ электрических цепей

1.6.Особенности нелинейных электрических цепей постоянного тока

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

1.5. Методы расчета и анализ электрических цепей

Задачи расчета и анализа электрических цепей весьма разнообразны. Наиболее часто встречающиеся

1.Определение токов, напряжений, мощностей различных элементов цепи при заданных параметрах этих элементов.

2.Определение параметров элементов, обеспечивающих получение требуемых токов, мощностей, напряжений.

3.Определение характера изменения значений различных величин или соотношений между ними при изменении параметров цепи.

Существует большое разнообразие сложных электрических цепей. Некоторые из них обладают определенными особенностями. Для расчета таких сложных электрических цепей существуют разные методы. Однако все методы используют основные законы электрических цепей.

Метод непосредственного применения законов Кирхгофа.

Задана схема замещения цепи (см. рис. 1. 10) и значения всех сопротив-

лений приемников и ЭДС источников: E1 , E2 , E3 , R1 , R2 , R3 , R4 , R5 . Требуется определить токи в каждой ветви, мощности каждого элемента

цепи, составить баланс мощности.

Рис. 1. 10. Схема замещения сложной электрической цепи

Для решения этой задачи расчета электрической цепи используют основные законы электрических цепей: закон Ома, первый и второй законы Кирхгофа.

Порядок расчета:

1. Произвольно выбрать условно-положительные направления (УПН) токов в ветвях.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

2

2.Составить систему независимых уравнений с неизвестными токами. Число уравнений должно быть равно числу неизвестных токов ветвей. По I закону Кирхгофа составляют (n – 1) уравнение для узлов, где n – полное число узлов в цепи. По второму закону Кирхгофа составляют (v – n + 1) уравнений, где v – число ветвей в цепи.

3.Решая полученную систему уравнений, определить токи ветвей.

Для заданной схемы уравнения по I закону Кирхгофа:
Для узла а:
− I1 − I3 + I 4 = 0 .	(1.28)
Для узла б:
I 2 − I 4 + I5 =0 .	(1.29)
Для узла в:
I1 − I5 + I6 =0 .	(1.30)

Недостающие уравнения составляют по II закону Кирхгофа для контуров. Для этого выделяют независимые контуры и выбирают направление обхода каждого. Если ЭДС и токи контура совпадают с направлением его обхода, они принимаются положительными, если нет – отрицательными. Ниже записаны уравнения для контуров А, Б и С с учетом соотношения тока и напряжения на резисторах по закону Ома.

Для контура А:

E1 = I1R1 + I 4 R4 + I5 R5 .	(1.31)
Для контура Б:
E2 = I 2 R2 + I3 R3 + I 4 R4 .	(1.32)
Для контура С:
− E2 + E3 = −I 2 R2 + I5 R5 .	(1.33)

Решая систему уравнений (28) – (33), определяем значения токов в вет-

вях.

Для проверки правильности решения системы уравнений можно воспользоваться составлением баланса мощностей всей цепи

∑Еi Ii = ∑Ii2 Ri ,		(1.34)
i	i

т.е. суммарная мощность, потребляемая всеми резисторами, должна равняться суммарной мощности, генерируемой всеми источниками.

При определении мощности источника необходимо учитывать соответствие положительных направлений ЭДС Е источника и тока в нем I:

P = (±)EI

(1.35)

Если I и E совпадают по направлению, то в формуле следует подставить знак "плюс". Если эти направления встречны, то следует подставить "минус". В

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

3

обоих случаях мощность источника может получиться как положительной, так и отрицательной в зависимости от значения тока. Если полученное значение мощности источника положительно, это означает, что источник генерирует электрическую энергию. Если полученное значение мощности источника отрицательно, это означает, что источник работает в режиме потребления электроэнергии.

Рассмотренный метод, основанный на непосредственном применении законов Кирхгофа, позволяет рассчитать электрическую цепь любой сложности. Недостаток этого метода в том, что он требует большого объема вычислений при решении системы уравнений.

Метод контурных токов.

Метод контурных токов позволяет свести задачу расчета электрической цепи к решению системы уравнений меньшего порядка. Это упрощает расчет и делает этот метод более предпочтительным по сравнению с методом непосредственного применения законов Кирхгофа.

Рассмотрим метод контурных токов на примере той же цепи (см. рис.

1.10).

Любая сложная цепь состоит из нескольких смежных контуров, каждый из которых имеет несмежные ветви, принадлежащие лишь данному контуру и смежные, входящие в состав соседних контуров.

Метод контурных токов основан на допущении, что в каждом контуре имеется контурный ток, одинаковый для всех элементов этого контура.

Положительные направления токов ветвей, как и раньше, выбираются в начале расчета произвольно. Положительные направления контурных токов также выбираются произвольно. Зная контурные токи легко определить реальные токи в ветвях.

Например, для несмежных ветвей значения контурных токов и токов ветвей равны по величине, а знаки определяются в зависимости от выбранных направлений контурных токов и токов в ветвях.

В смежных ветвях токи определяются алгебраической суммой контурных токов соседних контуров с учетом их положительных направлений.

Таким образом, для рассматриваемой цепи (рис.10):

I1 = IА;		(1,36)
I3 = IБ;		(1.37)
I6 = IС;		(1.38)
I2	= IБ - IС;	(1.39)
I4	= IА + IБ;	(1.40)
I5	= IА + IС;	(1.41)
Модуль I. Электрические цепи		Лекция 2
	4

Для составления системы уравнений по методу контурных токов составим уравнения по II закону Кирхгофа для независимых контуров рассматриваемой цепи с учетом соотношения тока и напряжения на резисторах по закону Ома:

Для контура А:

I1R1 + I4R4 + I5R5 = E1	(1.42)
Для контура Б:
I2R2 + I4R4 + I3R3 = E2	(1.43)
Для контура С:
- I2R2 + I5R5 = - E2 + E3	(1.44)
В составленных уравнениях выразим токи ветвей через контурные токи в
соответствии с (1.36) – (1.41):
Для контура А:
IА R1 + (IА + IБ )R4 + (IА + IС )R5 = E1	(1.45)
Для контура Б:
(IБ - IС )R2 + (IА + IБ )R4 + IБ R3 = E2	(1.46)
Для контура С:
- (IБ - IС )R2 + (IА + IС )R5 = - E2 + E3	(1.47)

В левой части полученных уравнений объединим слагаемые с одинаковыми контурными токами:

Для контура А:
IА (R1 + R4 + R5) + IБ R4 + IС R5 = E1	(1.48)
Для контура Б:
IАR4 + IБ (R2 + R3 + R4) - IС R2 = E2	(1.49)
Для контура С:
IАR5 - IБR2 + IС (R2+ R5) = - E2 + E3	(1.50)

Таким образом, в полученной системе уравнений (1.48) – (1.50) неизвестными являются контурные токи, коэффициенты при неизвестных и свободные члены определяются заданными параметрами элементов цепи. Решая эту систему уравнений можно определить контурные токи. Далее в соответствии с (1.36) – (1.41) поочередно определяются токи ветвей.

Таким образом, рассмотренный метод контурных токов также как и предыдущий метод позволяет свести задачу расчета электрической цепи к решению системы уравнений, составленных по основным законам электрических цепей. Однако порядок системы уравнений оказывается существенно меньшим (3 вместо 6 в предыдущем методе).

Расчет мощностей и составление баланса мощности проводится аналогично предыдущему методу.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

5

ПРИМЕР

Для цепи на рис. 1. 10 заданы параметры элементов: ЭДС источников E1 = E2 = E3 = 24B;

Сопротивления приемников R1 = R2 = 2 Oм; R3 = 4 Oм; R4 = R5 =10 Ом.

С учетом заданных параметров уравнения (1.48) – (1.50) по методу контурных токов имеют вид:

24 = (2 + 10 + 10) IА + 10 IБ + 10IС 24 = 10IА + (2 + 4 + 10) IБ - 2IС

0 = 10IА - 2IБ + (2+ 10)IС

Решаем систему уравнений методом определителей.

I А = ∆∆А ;

I Б = ∆∆Б ;

IС = ∆∆С ,

где

a11 a12 a13

∆ = a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 −a13a22a31 − a31 a32 a33

−a12a21a33 −a32a23a11;

a11, a12, a13 , a21, a22, a23, a31, a32, a33 - коэффициенты системы уравнений. В нашем случае определитель будет выглядеть так :

	22	10	10
∆ =	10	16	− 2	= 22 16 12 +10 (−2) 10 +10 (−2) 10 −10 16 10 −	.
	10	− 2	12

-10 10 12 −(−2) (−2) 22 = 4224 − 200 − 200 −1600 −1200 −88 = 936;

	с1	a12	a13		24	10	10
∆А =	с2	a22	a23	==	24	16	− 2	=1152;
	с3	a32	a33		0	− 2	12

где с1, с2, с3 – равенства системы уравнений.

Модуль I. Электрические цепи	Лекция 2
	6

I А

=

1152

=1,23 = I1.

936

Соответственно

a11

с1

a13

22

24

10

=576 ;

∆Б =

a21

с2

a23

=

10

24

− 2

a31

с3

a33

10

0

12

I Б =

576

=0,615 = I3 ;

936

a11

a12

с1

22

10

24

∆С =

a21

a22

с2

=

10

16

24

= −880;

a31

a32

с3

10

−2

0

IС =

(−880)

= −0,94 = I6 ;

936

I2

= IБ - IС = 0,615 - (-0,94) = 1,55;

I4

= IА + IБ = 1,23 + 0,615 = 1,845;

I5

= IА + IС = 1,23 + (-0,94) = 0,29;

Производим проверку баланса мощности в цепи. Суммарная мощность приемников:

∑I 2 R

i

= I 2 R

+ I 2 R

2

+ I 2 R

3

+ I 2 R

4

+ I 2 R

5

=1,232

2 +1,552

2 +0,6152 4 +

i

1 1

2

3

4

5

i

+1,8452 10 +0,292 10 = 44,22;

Суммарная мощность источников:

∑Ei Ii

= E1I1 + E2 I 2 + E3I6 = 24 1,23 + 24 1,55 + 24 (−0,94) = 44,16 ;

i

44,22 ≈ 44,16.

Как видно, суммарная мощность приемников соответствует суммарной мощности источников, т.е. баланс мощности сходится. Это подтверждает достоверность полученного результата.

Определение режима работы источников в рассматриваемой цепи.

1.Источник ЭДС Е1 работает в режиме генератора, т.к. направление тока I1 совпадает с направлением Е1.

2.Источник ЭДС Е2 работает в режиме генератора, т.к. направление тока I2 совпадает с направлением Е2.

3.Источник ЭДС Е3 работает в режиме потребления электроэнергии, т.к. фактическое направление тока I6 противоположно направлению Е3.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

7

Метод эквивалентных преобразований

Некоторые сложные электрические цепи содержат несколько приемников, но только один источник. Такие цепи могут быть рассчитаны методом эквивалентных преобразований. В основе этого метода лежит возможность преобразования двух последовательно соединенных или параллельно соединенных резисторов R1 и R2 к одному эквивалентному Rэкв (см. рис.1. 11).

Рис. 1. 11. Эквивалентные преобразования в электрической цепи

Для определения эквивалентного сопротивления Rэкв следует воспользоваться основными законами электрических цепей.

Рассмотрим преобразование последовательно соединенных элементов

(см. рис. 1. 12).

Рис. 1.12. Эквивалентное преобразование последовательно соединенных элементов

Рис. 1. 13. Эквивалентное преобразование параллельно соединенных элементов

Условием эквивалентного преобразования должно быть сохранение тока

и напряжения рассматриваемого участка:
	I = Iэкв , U = Uэкв	(1.51)
	Модуль I. Электрические цепи	Лекция 2
8

Для исходного участка цепи по II закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух последовательно соединенных элементов:

U = U1 + U2 = R1I + R2I = (R1 + R2)I .

(1.52)

Для эквивалентного элемента по закону Ома:

	Uэкв = Rэкв Iэкв .	(1.53)
С учетом условий эквивалентного преобразования (51)
U = Uэкв = (R1 + R2)I = (R1 + R2)Iэкв = Rэкв Iэкв .		(1.54)
Отсюда	Rэкв = (R1 + R2).	(1.55)

Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум последовательно соединенным элементам.

Для двух параллельно соединенных элементов (см. рис. 1.13) по I закону Кирхгофа с учетом закона Ома для каждого из двух параллельно соединенных элементов:

I = I1 + I2 = U/R1 + U/R2 = U(1/R1 + 1/R2).

(1.56)

Для эквивалентного элемента по закону Ома:

	Iэкв = Uэкв/Rэкв .	(1,57)
С учетом условий эквивалентного преобразования (1.51)
I = Iэкв = U(1/R1 + 1/R2) = Uэкв(1/R1 + 1/R2) = Uэкв/Rэкв,		(1.58)
отсюда	1/Rэкв = 1/R1 + 1/R2	(1.59)
или	Rэкв = (R1 R2)/(R1 + R2).	(1.60)

Это соотношение определяет сопротивление элемента, эквивалентного двум параллельно соединенным элементам.

Соотношения (1.55), (1.60) позволяют проводить поэтапные эквивалентные преобразования сложной электрической цепи с несколькими приемниками и осуществлять расчет такой цепи.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 2

9

Например, на рис. 1. 14а показана схема сложной электрической цепи, содержащей один источник и несколько приемников электроэнергии, соединенных как показано на схеме.

а

б

в

Рис. 1. 14. Расчет цепи методом эквивалентных преобразований

При заданных параметрах всех элементов цепи (E, R1, R2, R3) расчет может быть проведен методом эквиваленьных преобразований следующим образом.

На первом этапе преобразования два параллельно соединенных резистора R1 и R2 заменяются одним эквивалентным (см. рис. 1. 14б) с сопротивлением Rэкв12, равным

Rэкв12 = (R1* R2)/(R1 + R2).

(1.61)

При этом образуется эквивалентная цепь, в которой содержатся два резистора Rэкв12 и R3, соединенные последовательно. Напряжение Uab в эквивалентной цепи соответствует напряжению Uab в исходной цепи, а ток в эквивалентной цепи соответствует току в неразветвленной части исходной цепи.

На втором этапе преобразования два последовательно соединенных резистора Rэкв12 и R2 заменяются одним эквивалентным (см. рис. 1. 14в) с сопротивлением Rэкв123, равным

Rэкв123 = Rэкв12 + R3 .

(1.62)

При этом образуется простая эквивалентная цепь, в которой содержится один резистор Rэкв123. Ток в этой цепи соответствует току в неразветвленной

части исходной цепи и определяется по закону Ома:
	I = Uac/ Rэкв123 = E/ Rэкв123 .	(1.63)
	Модуль I. Электрические цепи	Лекция 2
10