10 Умножение матриц
.pdfМатричное уравнение вида AX = B в случае невырожденной квадратной матрицы A: пример
Решим описанным выше способом уравнение
0 2 3 11 |
X = |
0 7 61 |
: |
||||||
@ |
2 |
1 |
1 |
A |
|
@ |
3 |
2 |
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
2A |
|
Действуя по сформулированному на предыдущем слайде алгоритму, имеем
0 2 3 1 |
7 6 1 0 |
0 4 |
0 |
4 8 1 |
0 0 4 |
0 |
4 8 1 |
|||||
@ |
2 1 |
|
1 |
|
3 2 |
2 1 |
1 |
3 2 |
2 1 |
1 |
3 2 |
|
1 1 |
|
0 |
1 2 A @ 0 1 1 |
1 2 A @ 0 0 4 |
0 0 A |
|||||||
0 0 4 |
0 |
4 |
8 1 0 |
0 4 |
0 |
4 8 1 |
0 0 1 0 |
|
1 2 1 |
: |
||
|
8 4 |
0 |
12 |
8 |
8 0 |
0 |
16 0 |
1 0 0 |
|
2 0 |
|
|
@ 0 0 4 |
0 |
0 A @ 0 0 4 |
0 0 A @ 0 0 1 |
|
0 0 A |
|
Следовательно, наше уравнение имеет единственное решение:
X = |
0 1 |
21 |
: |
|
|
@ |
2 |
0 |
|
|
0 |
0A |
|
Б.М.Верников |
Лекция 10: Умножение матриц |
Матричная запись формул перехода от одного базиса к другому
В лекции 8 были выведены формулы изменения координат вектора при замене базиса (см. там формулы (2)). Теперь мы можем записать их более компактно. Пусть F и G базисы пространства Rn, TFG матрица перехода от F к G, x вектор из Rn, а X и X0 столбцы координат вектора x в базисах F и G соответственно. Тогда формулы изменения координат вектора при замене базиса можно записать в виде
X = TFG X0:
Поскольку мы считаем, что столбец X известен, а столбец X0 надо найти, это уравнение относится к тому типу матричных уравнений, который рассматривался выше в данной лекции. Более того, матрица TFG квадратная, а ее определитель, как уже отмечалось в лекции 8, отличен от 0 (этот факт будет доказан в лекции 12). Поэтому для решения рассматриваемого уравнения можно применить алгоритм, указанный двумя слайдами ранее.
Б.М.Верников |
Лекция 10: Умножение матриц |
Матричное уравнение вида XA = B
Сказанное выше об уравнении (8) можно применить к решению матричных уравнений вида XA = B, где A и B известные матрицы, а Xнеизвестная. Транспонируя обе части равенства XA = B и используя свойство 7) произведения матриц, получаем уравнение A>X> = B>, т. е. уравнение вида (8). Решив его описанным выше способом, мы найдем матрицу X>. Транспонировав ее, получим матрицу X.
Б.М.Верников |
Лекция 10: Умножение матриц |