Курсовая
.pdfУральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина
Кафедра автоматики и управления в технических системах
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Курсовая работа по дисциплине «Общая электротехника» Пояснительная записка
220200 000000 010 ПЗ
Руководитель |
|
канд. техн. наук, доцент |
В.А. Матвиенко |
Студент группы Р–200101 |
Я.В. Катаев |
Екатеринбург
2011
1. РАСЧЕТНОЕ ЗАДАНИЕ
Для заданной электрической цепи (рис. 1) рассчитать:
все токи и напряжения методом контурных токов;
все токи и напряжения методом узловых напряжений;
ток через сопротивление R1 методом наложения;
ток через сопротивление R1 методом эквивалентного источника.
Вкаждом узле цепи рассчитать алгебраическую сумму токов и убедиться в выполнении первого закона Кирхгофа. В каждом независимом контуре рассчитать алгебраическую сумму напряжений и убедиться в выполнении второго закона Кирхгофа.
Рис. 1
Параметры элементов цепи:
Е3 = 12 В, Е4 = 6 В,
J5 = 50 мА.
R1 = 1/Y1 = 680 Ом,
R2 = 1/Y2 = 470 Ом,
R3 = 1/Y3 = 330 Ом,
R4 = 1/Y4 = 220 Ом,
R5 = 1/Y5 = 150 Ом,
R6 = 1/Y6 = 100 Ом.
2.РАСЧЕТ ВСЕХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ МЕТОДОМ КОНТУРНЫХ ТОКОВ
Для решения заменим источник тока J5 эквивалентным источником напряжения Е5*:
E5* = R5·J5 = 150·0,05 = 7,5 В.
Выберем независимые контуры и введем в них контурные токи:
I4 = I2 – I1,
I5* = I1 – I3,
I6 = I3 – I2 (рис. 2).
Рис. 2
Составим контурные уравнения:
1 11 + 2 12 + 3 13 = 11 21 + 2 22 + 3 23 = 2 ,1 31 + 2 32 + 3 33 = 3
где Z11, Z22, Z33 собственные сопротивления соответственно 1-го, 2-го и 3-го контуров:
Z11 = R1+R4+R5 = 680+220+150 = 1050 Ом,
Z22 = R2+R4+R6 = 470+220+100 = 790 Ом,
Z33 = R3+R5+R6 = 330+150+100 = 580 Ом.
Z12, Z13, Z21, Z23, Z31, Z32 – взаимные сопротивления контуров, причем:
Z12 = Z21 = – R4 = –220 Ом,
Z13 = Z31 = – R5 = –150 Ом,
Z23 = Z32 = – R6 = –100 Ом.
E1k, E2k, E3k – контурные ЭДС соответственно 1-го, 2-го и 3-го контуров:
E1k = E5* – E4 = 7,5–6 = 1,5 В, E2k = E4 = 6 В,
E3k = –E3 – E5* = –12–7,5 = –19,5 В.
Получаем систему относительно контурных токов I1, I2, I3:
1050 · 1 − 220 · 2 − 150 · 3 = 1,5 −220 · 1 + 790 · 2 − 100 · 3 = 6 .
−150 · 1 − 100 · 2 + 580 · 3 = −19,5
Решив систему, получим:
I1 = –2,898 мА,
I2 = 2,492 мА, I3 = –33,941 мА.
Отсюда:
I4 = I2 – I1 = 2,492+2,898 = 5,39 мА,
I5* = I1 – I3 = 33,941–2,898 = 31,043 мА,
I6 = I3 – I2 = –33,941–2,492 = –36,432 мА. I5 = I5*–J5 = 31,043–50 = –18,957 мА.
Соответственно напряжения на сопротивлениях:
U1 = I1·R1 = –2,898·10-3·680 = –1,971 B, U2 = I2·R2 = 2,492·10-3·470 = 1,171 В,
U3 = I3·R3 = –33,941·10-3·330 = –11,2 В, U4 = I4·R4 = 5,39·10-3·220 = 1,186 В,
U5 = I5·R5 = 31,041·10-3·150 = –2,844 В,
U6 = I6·R6 = –36,433·10-3·100 = –3,643 В.
Проверим расчеты на второй закон Кирхгофа: сумма напряжений в первом контуре равна:
E4+U1+U5–U4 = 6–1,971–2,844–1,186 = –0,001В ≈ 0 В,
во втором:
–E4–U6+U2+U4 = –6+1,171+1,186+3,643 = 0 В,
в третьем:
Е3+U3+U6–U5 = 12–11,2–3,643+2,844 = 0,001 В ≈ 0 В.
Проверим расчеты на первый закон Кирхгофа: сумма токов в первом узле равна:
I2−I1−I4 = 2,492+2,898−5,39 = 0 мА,
во втором:
J5+I4+I6+I5 = 50+5.39−36.43−18.96 = 0 мА,
в третьем:
I1−J5−I3−I5 = −2.898−50+33.94+18.96 = −0,002 мА ≈ 0 мА
3.РАСЧЕТ ВСЕХ ТОКОВ И НАПРЯЖЕНИЙ МЕТОДОМ УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Для решения заменим источники напряжения E4 и Е3 эквивалентными источниками тока J3* и J4*:
J3* = E3·Y3 = 12·0,00303 = 36,364 мА,
J4* = E4·Y4 = 6·0,004545 = 27,273 мА.
Выберем базисный узел и введем узловые напряжения:
U1 = U10 – U30, U2 = –U10,
U3* = U30,
U4* = U10 – U20,
U5 = U30 – U20,
U6 = –U20 (рис. 3).
Рис. 3
Составим узловые уравнения:
10 11 + 20 12 + 30 13 = 110 21 + 20 22 + 30 23 = 2 ,10 31 + 20 32 + 30 33 = 3
где Y11, Y22, Y33 собственные проводимости соответственно 1-го, 2-го и 3-го узлов:
Y11 = Y1+Y2+Y4 = 1,471+2,128+4,545 = 8,144 мСм,
Y22 = Y4+Y5+Y6 = 4,545+6,667+10 = 21,212 мСм,
Y33 = Y1+Y3+Y5 = 1,471+3,03+6,667 = 11,168 мСм.
Y12, Y13, Y21, Y23, Y31, Y32 – взаимные проводимости узлов, причем:
Y12 = Y21 = – Y4 = –4,545 мСм,
Y13 = Y31 = – Y1 = –1,471 мСм,
Y23 = Y32 = – Y5 = –6,667 мСм.
J1k , J2k , J3k – узловые токи соответственно 1-го, 2-го и 3-го узлов:
J1k = –J4* = –27,273 мА,
J2k = J4* + J5 = 27,273+50 = 77,273 мА, J3k = J3* – J5 = 36,364–50 = –13,636 мА.
Получаем систему относительно узловых напряжений U10 , U20 , U30.
8,144 · 10 − 4,545 · 20 − 1,471 · 30 = −27,273 −4,545 · 10 + 21,212 · 20 − 6,667 · 30 = 77,273 −1,471 · 10 − 6,667 · 20 + 11,168 · 30 = −13,636
Решив систему, получим:
U10 = −1,171 В,
U20 = 3,643 В, U30 = 0,8 В.
Отсюда:
U1 = U10 – U30 = –1,971 В, U2 = –U10 = 1,171 В,
U3* = U30 = 0,8 В,
U4* = U10 – U20 = –4,814 В,
U5 = U30 – U20 = –2,844 В, U6 = –U20= –3,643 В.
U3 = U3* – E3 = –11,2 В,
U4 = U4* + E4 = 1,186 В.
Соответственно токи в ветвях:
I1 = U1·Y1 = –1,971·1,471·10-3 = −2,898 мА, I2 = U2·Y2 = 1,171·2,128·10-3 = 2,492 мА,
I3 = U3·Y3 = –11,2·3,03·10-3 = −33.94 мА,
I4 = U4·Y4 = 1,186·4,545·10-3 = 5,39 мА,
I5 = U5·Y5 = –2,844·6,667·10-3 = −18,96 мА, I6 = U6·Y6 = –3,643·10·10-3 = −36,43 мА.
Проверим расчеты на первый закон Кирхгофа: сумма токов в первом узле равна:
I2−I1−I4 = 2,492+2,898−5,39 = 0 мА,
во втором:
J5+I4+I6+I5 = 50+5.39−36.43−18.96 = 0 мА,
в третьем:
I1−J5−I3−I5 = −2.898−50+33.94+18.96 = −0,002 мА ≈ 0 мА
Проверим расчеты на второй закон Кирхгофа: сумма напряжений в первом контуре равна:
E4+U1+U5–U4 = 6–1,971–2,844–1,186 = –0,001В ≈ 0 В,
во втором:
–E4–U6+U2+U4 = –6+1,171+1,186+3,643 = 0 В,
в третьем:
Е3+U3+U6–U5 = 12–11,2–3,643+2,844 = 0,001 В ≈ 0 В.
Полученные токи и напряжения сходятся с найденными методом контурных токов.
4.РАСЧЕТ ТОКА ЧЕРЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЕ R1 МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ
Найдем ток через сопротивление R1. Для этого выясним отклик данного элемента на все независимые источники. Заменим источник тока J5 эквивалентным источником напряжения Е5 (E5 = R5·J5). Составим контурные уравнения для цепи с закороченными источниками Е5 и Е4 (рис. 4), затем для
Рис. 4 |
Рис. 5 |
Рис. 6
цепи с закороченными Е5 и Е3 (рис. 5) и, наконец, для закороченных источников Е3 и Е4 (рис. 6). Найдем из первой системы I11 – ток через сопротивление R1, вызванный источником Е3, из второй I12 – ток через сопротивление R1, вызванный источником Е4 и из третьей I13 и сложим их. Получим ток через сопротивление R1. Системы контурных уравнений:
11 11 + 12 12 + 13 13 = 11
: 11 21 + 12 22 + 13 23 = 12 ,11 31 + 12 32 + 13 33 = 13
21 11 + 22 12 + 23 13 = 21
: 21 21 + 22 22 + 23 23 = 22 ,21 31 + 22 32 + 23 33 = 23
31 11 + 32 12 + 33 13 = 21
: 31 21 + 32 22 + 33 23 = 22 ,31 31 + 32 32 + 33 33 = 23
где Z11, Z22, Z33, Z12, Z13, Z21, Z23, Z31, Z32 те же, что в решении методом контурных токов (см. выше),
E11k = 0 В,
E12k = 0 В,
E13k = –E3 = –12 В,
E21k = –E4 = –6 В,
E22k = E4 =6 = 6 В, E23k = 0 В,
E31k = E5 = 7,5 В, E32k = 0 В,
E33k = –E5 = –7,5 В.
Получаем системы:
|
1050 · 1 |
− 220 · 2 |
− 150 · 3 = 0 |
: |
−220 · 1 |
+ 790 · 2 |
− 100 · 3 = 0 , |
|
−150 · 1 − 100 · 2 + 580 · 3 = −12 |
||
1050 · 1 − 220 · 2 − 150 · 3 = −6
: −220 · 1 + 790 · 2 − 100 · 3 = 6 , −150 · 1 − 100 · 2 + 580 · 3 = 0
|
1050 · 1 |
− 220 · 2 |
− 150 · 3 = 7,5 |
: |
−220 · 1 + 790 · 2 − 100 · 3 = 0 . |
||
|
−150 · 1 |
− 100 · 2 |
+ 580 · 3 = −7,5 |
Решив системы, найдем:
I11 = –4,032 мА,
I12 = –4,385 мА,
I13 = 5,519 мА.
Отсюда:
I1 = I11+I12+I13 = −2,898 мА.
Ток сходится с найденным с помощью предыдущих методов.
5.РАСЧЕТ ТОКА ЧЕРЕЗ СОПРОТИВЛЕНИЕ R1 МЕТОДОМ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ИСТОЧНИКА
Для начала найдем ЭДС эквивалентного источника. Для этого рассчитаем цепь (рис. 7) методом узловых напряжений. ЭДС источника будет равна:
Eэк = U10 – U30.
Рис. 7
Составим узловые уравнения:
10 11 + 20 12 + 30 13 = 110 21 + 20 22 + 30 23 = 2 ,10 31 + 20 32 + 30 33 = 3
где Y12, Y22, Y23, J1k, J2k, J3k те же, что в решении методом узловых напряжений (см. выше),
Y11 = Y2+Y4 = 2,128+4,545 = 6,673 мСм,
Y33 = Y3+Y5 = 1,471+3,03+6,667 = 9,697 мСм, Y13 = Y31 = 0 мСм.
Получим систему относительно U10 , U20 , U30.
10 4 + 2 − 20 4 = −4
−10 4 + 20 |
5 + 4 + 6 − 30 5 = 4 + 5 |
−20 5 |
+ 30 3 + 5 = 3 − 5 |
Решив системы, найдем:
U10 = –1,604 В,
U30 = 1,1 В.
Отсюда:
Eэк = U10 – U30 = –1,604–1,1 = –2,704 В.
Найдем внутреннее сопротивление эквивалентного источника. Преобразуем звезду R4−R5−R6 в треугольник (рис. 8).