Lab_N17

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО “Уральский государственный технический

университет – УПИ”

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Методические указания к лабораторной работе № 17 по физике для студентов всех форм обучения всех специальностей

Екатеринбург 2006

УДК 538.522

Составители В.В. Лобанов, Н.Д.Ватолина Научный редактор проф., д-р физ.-мат. наук Ф.А. Сидоренко

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ: Методические указания к лабораторной работе № 17 по физике / В.В. Лобанов, Н.Д.Ватолина Екатеринбург: УГТУ, 2006.16 с.

В работе приведены рекомендации по измерению затухающих электромагнитных колебаний

Подготовлено кафедрой физики.

©Уральский государственный

технический университет, 2006

ИЗУЧЕНИЕ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ

Лабораторная работа N17

В работе изложен метод исследования электрических колебаний с помощью электронного осциллографа, позволяющий рассчитать характеристики затухающих колебаний в контуре.

Цель настоящей лабораторной работы - изучение некоторых характеристик электромагнитных колебаний путем измерений электрических величин в реальном колебательном контуре.

Электрические цепи, называемые колебательными контурами, являются основой электро- и радиотехники, поэтому изучение процессов, в них происходящих, представляет значительный интерес для инженерной практики.

Работа содержит три задачи: в первой Вы должны с помощью осциллографа изучить график и составить уравнение затухающих колебаний в контуре; во второй - измерить характеристики контура, определяющие интенсивность затухания колебаний; и в третьей -

изучить апериодический режим колебательного контура.

1. Затухающие электрические колебания

Колебательный контур - это электрическая цепь (рис.1),

состоящая из конденсатора C ,

катушки

индуктивностиL

и

активного сопротивления R .

Источник тока ε и перекдючатель

П нужны только в начальный

момент

для

зарядки

конденсатора. Напомним, что в

этой

цепи

происходит

периодический

обмен

энергией

между

электрическим

полем

конденсатора (W =

q 2

, где

q -

E

2C

заряд на обкладках конденсатора)

и магнитным

полем

катушки

LI

2

(W =

, где I - разрядный ток, протекающий через катушку).

B

2

(R ≠ 0)

Составим уравнение колебаний, происходящих в реальном

колебательном контуре. По закону сохранения энергии

−d(W

+W )= I 2 Rdt .

(1)

E

B

В уравнении	(1) записано, что полная		энергия контура
(W =WE +WB )	убывает со временем	(знак	минус), переходя в
"джоулево" тепло (первая часть). В это		уравнение вместо WE и WB

надо подставить их значения, продифференцировать по времени и разделить обе части на произведение LIdt . Учитывая, что

dq

dl

2

..

R

I =

= q , и

=

d

q

= q

и

вводя обозначения

= β и

1

dt

dt

dt 2

2L

=ω02 , окончательно получим

LC

..

ω2 q = 0.

(2)

q+ 2βq

+

0

Перед нами однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его зависит от соотношения между ω20 и

β2

Возможны три варианта.
а). При β2 <ω02 решение уравнения (2) имеет вид:
q = q0 e−βt cos(ωt +ϕ0 ),	(3)

из которого следует, что заряд на обкладках конденсатора изменяется по периодическому закону, а амплитудное значение убывает ("затухает") со временем по экспоненциальному закону

(рис.2).

Частота затухающих колебаний

ω =

ω02 − β2

,

(4)

где ω02 =

1

и β =

R

, β - коэффициент затухания.

LC

2L

Период затухающих колебаний

T =

2π

=

2π

=

2π

.

(5)

ω

ω

2

− β

2

1

R

2

0

LC −

4L2

б). Из (4) и (5) видно, что с ростом β период колебаний увеличивается и при β2 →ω20 T → ∞ . При этих условиях колебания

вконтуре прекращаются. Значение сопротивления контура,

удовлетворяющего

	условию	βKP2 =ω02	,
	называют критическим.		Из
	(5) следует:
	RKP = 2	L ,	(6)
		C
		в) При β2 >ω02
	решение уравнения (2)
	представляет собой сумму
	экспонент с
	вещественными
	показателями. Это
Рис. 2. Амплитуда затухающих	означает, что
колебаний	электрический контур,

получив энергию извне, возвращается в исходное состояние,

не совершая колебаний. Полученная энергия с некоторой задержкой во времени переходит в тепловую. Этот надкритический процесс получил название апериодического (непериодического) разряда. Возможные для разных начальных

условий виды зависимости q(t) изображены на рис.3. Разделив на C (емкость конденсатора) левую и правую часть уравнения (3), получим уравнение

Рис. 3. Апериодический разряд

затухающих колебаний для напряжения на обкладках конденсатора

U =U 0e−βt cos(ωt +ϕ0 ).	(7)
График зависимости U(t), построенный по уравнению (7),

имеет вид, изображенный на рис.4.

Видно, что напряжение на обкладках конденсатора изменяется периодически. При этом множитель U m =U 0 e−βt , играющий роль амплитуды колебаний, убывает со временем по экспоненциальному закону (пунктирная кривая на рис. 4). Скорость уменьшения амплитуды колебаний определяется коэффициентом затуханияβ .

Рис.4. Зависимость U(t) для затухающих колебаний

По графику можно экспериментально определить значение периода колебаний T , амплитуду напряжения на конденсаторе U 0

в начальный момент времени, напряжение на конденсаторе в этот же

момент времени U 0 cosϕ0 и начальную фазу колебаний ϕ0 .

Отметим несколько характеристик, определяющих интенсивность затухания: - логарифмический декремент затухания λ - натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд, отличающихся по времени на один период. По определению

		U 0e−βt				−βt +βt +βt		βT
λ = ln					= ln e		= ln e		= βT .	(8)
			e	−β(t +T )
U		0

На практике для оценки λ удобнее сравнивать амплитуды колебаний, отстоящих друг от друга во времени на N периодов:

1

ln

U 0e

−βt

;

1

ln e

βNT

λ =

= βT

;

(9)

N

−β(t +NT )

N

U

0e

время релаксации τ - это промежуток времени, по истечении которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

e =	U 0e−βt			; e = eβτ ; βτ =1; τ =	1	;	(10)
					β
	U	0e	−β(t +τ)

- количество полных колебаний за время релаксации Nτ

определяется по формуле Nτ = τT . Из уравнений (8) и (10) следует,

что

	Nτ =	1	;	(11)
		λ

- по определению добротность колебательного контура Q равна количеству полных колебаний за время релаксации, умноженному на π .

Q =πNτ = πλ .		2 <<ω2		(12)
В случае слабого затухания	β		добротность	контура
		0
оценивается через его параметры по приближенной формуле
Q =	1	L .		(13)
	R	C

Экспериментальная часть

На лабораторном стенде собрана электрическая схема, изображенная на рис.5. Схема возбуждения затухающих колебаний служит для автоматического подключения контура к источнику

Рис.5. Блок-схема установки

питания через равные промежутки времени, намного большие периода колебаний.

Подготовьте схему и осциллограф к работе:

а) один из вертикальных входов осциллографа соедините с клеммами магазина сопротивлений R маг и конденсатора С ;

б) включите осциллограф (кнопка "Питание") и дайте ему прогреться (1-2 мин). Переключатель "Развертка. Синхронизация" установите в положение 50 или 20 , или 0,1. Переключатель "Канал 1" поставьте в положение 10, 20 или 50 . Слева и справа от экрана осциллографа нажмите кнопки "I". На экране должна появиться характерная картина затухающих колебаний (см. рис.2 или рис.4). Отчетливой картины добейтесь, вращая ручку "Синхронизация". Ручками " 7" и " ↔ " добейтесь центровки изображения;

в) осциллограф является измерительным прибором, поэтому научитесь определять цену деления и предел измерения по обеим осям шкалы, нанесенной на экране осциллографа. Цену одного большого деления по оси x (это временная ось) указывает переключатель "Развертка. Синхронизация". Цену одного большого деления по оси y (это ось электрического сигнала) указывает переключатель "Канал 1". Запишите в отчет тип осциллографа и цену деления по осям x и y. Запишите характеристики магазина сопротивлений.

Задача 1. Построение графика затухающих колебаний. Уравнение затухающих колебаний

1.1.На магазине сопротивлений установите минимальное

сопротивление контура R маг = 0. Добейтесь устойчивого изображения осциллограммы затухающих колебаний (рис.6).

1.2.Измерив время, равное трем периодам, определите среднее значение периода затухающих колебаний.

3T = ......... мкс; T = ........ мкс.

1.3. Для построения графика затухающих колебаний оцените амплитудные значения напряжения U m =U 0 e−βt через временной

интервал, равный половине периода. Для этого измерьте ординаты точек 1,3,5,... и 2,4,6,... (см. рис.6), сдвигая каждый раз осциллограмму влево до пересечения с вертикальной осью экрана. Измерьте интервалы времени t1 и t2 (см. рис.6), временные координаты остальных точек осциллограммы считайте, прибавляя последовательно время, равное периоду T. Результаты занесите в табл.1.

Измерьте U 0 cosϕ0 в момент времени t = 0 . По результатам

измерений постройте график затухающих колебаний в координатах, ориентируясь на вид конкретной осциллограммы.

Рис.6. Примерный вид осциллограммы

Таблица 1 Амплитуда затухающих колебаний U m =U 0 e−βt

<T>=........ мкс R маг = 0

Обозначение
точки на			1			3			..........		11
осциллограмме
t ,мкс			t1 =
U m , В
lnU m
									t3 = t1 + T и т.д.
Обозначение точки									..........
на осциллограмме			2			4					12
t , мкс			t2 =
U m , В
t4 = t2 + T и т.д. U 0 cosϕ0 =...........В
1.4. По данным табл.1 постройте график уменьшения
амплитуды	затухающих колебаний					со временем			в координатах
U m = f (t).	Здесь U m =U 0 e−βt .

1.5. Для определения начального напряжения на обкладках конденсатора U 0 и коэффициента β затухания воспользуйтесь

Рис. 7. Примерный вид зависимости U m = f (t)

формулой

U m =U 0 e−βt , lnU m = lnU 0 − βt.

Подсчитайте lnU m и занесите в первую часть табл.1. Построив график зависимости lnU m = f (t) (см. рис.8), определите графическим путем U 0 (по отсечению прямой на оси ординат) и β (по тангенсу угла наклона прямой).

Рис.8. Примерный вид зависимости lnU m = f (t)