1060963_B9CC3_zinenko_s_n_lineinaya_algebra

4.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПРИЛОЖЕНИЯ

№4.1. Является ли система векторов { a1, ... ,ak , ... ,am } линейно зависимой, и найти все эти зависимости (сравнить с № 2.1.).

					1						2					0								3
a	1	=		−1			,	a	2	=	−1		,	a	3	= 1			,	a	4	=		−2
				−2							3						7							1
					3						2						−4							5
		1									1					0							1
a	1	=			3		,	a	2	=	2		,	a		= 1			,	a	4	=	5
					3						2			3			1							5
				−1							2						−3							−7
№ 4.2.					Выяснить, принадлежит ли вектор b Lin{ a1, ... ,a k , ... ,am } линейной оболочке
векторов, и найти все разложения вектора b по системе { a1, ... ,ak , ... ,am }.
					1						−2					1								−1				−2
a	1	=			2		,	a	2	=	−3		,	a	3	= 3			,	a	4	=		−1		; b =		−4
					1						−1						2							0				−2
				−1							−2						−5							−3				2
					1						2					−5							−3					5
a	1	=		−2			,	a	2	=	−3		,	a		=	7		,	a	4	=	5			; b =		−9
				−3							1			3			−6							2				−8
					1						1						−2							−2				4
№ 4.3.					Показать,						что			система векторов									{ f1, ... , fk , ... ,							fn }		образует				базис	и найти
разложение вектора b по этому базису.
					1					−2						0								2				1
f	1	=		−2			,	f	2	=	5		,	f	3	= 1			,	f	4	=		−5		; b =		−1
					2						−5						0							6				3
					0						0													2				3
																	1
					1					0							1						−2				0
f	1	=		−2			,	f	2	= 1			,	f	3	=	−2		,	f	4	= 5				; b =	2
					0						0						1							0				1
					2						−1						0							−4				−3
№ 4.4.						Найти базис								и		размерность						пересечения						двух			подпространств						L1 ∩L2 .
Проверить справедливость формулы Грассмана (сравнить с. № 2.3.).
											1						2										1						2
	L1 = Lin{a1										−1			a 2			−1			}, L2 =				Lin{b1 =			1			b			−3		}	R5
										=	2	,				=	7											7	,		2	=	2
											−1						−3											2					−6
											−1						−2											2					−5
											1						−3										2					0
	L1 = Lin{a1										2			a 2			−5			}, L2 =				Lin{b1 =				5		b			2		}	R5
										=	−1	,				=	0											−4	,		2	=	−5
											2						2											1					5
											1						1											1					3

21

№ 4.1.

Система векторов {a1, ... , ak , ... , am } называется линейно независимой, если равенство нулю линейной комбинации

x1 a1 + ... + xk a k + ... + xm am = 0

возможно только в тривиальном случае x1 =... = xk =... = xm = 0 , и линейно зависимой, если это возможно, когда среди чисел x1, ... , xk0 , ... , xm хотя бы одно xk0 ≠0 отлично от нуля.

Следовательно, выяснение вопроса линейной зависимости / независимости можно свести к решению однородной системы линейных уравнений с матрицей коэффициентов, построенной из столбцов системы линейных уравнений

	A = a1, ... ,	a k , ... , am
Если	система уравнений имеет только		тривиальное решение, то векторы
{a1,	... , ak , ... , am } линейно независимы,	а	если имеются ненулевые решения, то

линейно зависимы, при этом компоненты решений и есть коэффициенты нетривиальных линейных комбинаций, равных нулю.

				1					2				0					3			0
x	1		−1			+ x		−1			+ x		1			+ x		−2		=	0
			−2			2			3			3		7		4		1				0
				3					2					−4				5				0
			x1		+	2x2		+		x3		+	3x4		=	0
		−x1			−	x2						−	2x4		=	0
	−2x1				+	3x2		+	7x3			+		x4	=	0
		3x		1	+	2x		−	4x			+	5x		=	0
						2					3			4

1 2 0 3

1 2 0 3

1 0

−2 1

A =

−1

−1 1

−2

~

0 1 1 1

~

0 1

1 1

= A

−2 3 7 1

0 7 7 7

0 0 0 0

3

2

−

4 5

±0

−4 −4 −4

0

0

0

0

\\

\\

\\

\\

\\

\\

\\

\\

a1

a2

a3 a4

a1

a2

a3

a4

x1

2x3

−1x4

2

−1

x1

x

= 2x3

−

x4

x2

= −1x3

−1x4

= x

−1

+ x

−1

= −x

−

x

x

1x

1x

3

1

4

0

2

3

4

x3

3

0

1

4

4

Замечание.

Столбцы

a1, a2

, a3

, a4

исходной

матрицы

A

трансформировались в

столбцы a1,

a2

, a3, a4

преобразованной методом Гаусса матрицы A , откуда видно, что

a3, a4

являются

некоторыми

линейными комбинациями

a1 ,

a2

(коэффициентами

разложений преобразованных столбцов

a3,

a4

по столбцам

a1 = e1,

a2 = e2 являются их

компоненты).. Следовательно, данная система векторов a1, a2 ,

a3,

a4 линейно зависима.

В частности,

векторы

a3,

a4

линейно выражаются

через

векторы

a1, a2 (при этом

коэффициентами разложений являются компоненты преобразованных столбцов a3, a4 ): a3 = −2 a1 +1 a2 , a4 = +1 a1 +1 a2

22

№ 4.2.

Принадлежность вектора b Lin{ a1, ... , a k , ... , am } означает существование чисел x1, ... , xk , ... , xm таких, что

b = x1 a1 + ... + xk ak + ... + xm am

Следовательно, выяснение вопроса возможного разложения вектора b						по векторам
{ a1, ... , a k , ... , am } можно свести к решению неоднородной				системы				линейных
уравнений с расширенной матрицей коэффициентов A- = a	1	, ... , a	k	, ... , a	m		b .

Если система уравнений имеет решение (совместна), то вектор

b Lin{ a1, ... , a k , ... , am }

т.е. b разлагается по векторам { a1, ... , a k , ... , am }, при этом компоненты решений и есть коэффициенты разложений.

Если же система неоднородных уравнений не имеет решения (несовместна), то

b Lin{ a1, ... , a k , ... , am }

1

−2

1

−1

−2

x

1

2 + x

−3

+ x

3

+ x

−1 =

−4

1

2

−1

3

2

4

0

−2

−2

−5

−3

2

−1

x1

− 2x2

+ x3

− x4

= −2

2x1

−

3x2

+

3x3

−

x4

= −4

x1

−

x2

+

2x3

−

3x

= −2

−1x

1

−

2x

−

5x

=

2

2

3

4

−2

1 −2 1 −1

−2

1 −2 1 −1

−2

1 ±0

±3 1

2

−3 3

−1

−4

~

±0 1 1 1

0

~

0 1

1 1

0

1

−1 2

±0

−2

0 1 1 1

0

0 0

0

0 0

−1 −2

−5 −3

2

0

−4 −4 −4

0

0

±0 0 0 0

x1

−2 −3x3

−1x4

−2

−3

−1

x1

x

= −2

−

3x3

− x4

x2

=

−1x3

−1x4

=

0

+ x

−1

+ x

−1

=

−

x

− x

x

1x

1x

0

3

1

4

0

2

3

4

x3

3

0

0

1

4

4

\\

\\x

xчн

oo

\\

xон

Замечание. Из частного решения, например, следует, что b = −2 a1 + 0 a2 + 0 a3 + 0 a4

23

№ 4.3.

Система из n векторов {	f1, ... , f k , ... , f n } Rn		в n -мерном пространстве образует
базис, если она линейно	независима. При	этом	вектор b единственным образом
разлагается по базису
	b = x1 f1 + ... + x k	fk + ... + xn fn

Следовательно, выяснение вопроса можно свести к решению неоднородной системы

линейных уравнений с расширенной матрицей

A- = f

1

,

... , f

k

, ... , f

n

b , с попутным

нахождением ранга матрицы системы уравнений

f1,

... ,

f k , ... ,

A =

f n .

Если rang A = n , то

система линейных неоднородных

уравнений

имеет, и при том,

единственное решение

при любом столбце

свободных

членов,

так

что

векторы

{ f1, ... , f k , ... , f n } Rn образуют базис.

-

Применяя метод Гаусса, приведем матрицу A в расширенной матрице

=

A

b к

A

“единичному” виду (в данном случае “единичный” вид - это просто единичная матрица). При этом правая часть b преобразуется в решение x системы уравнений

	A		b	~		I		x

одновременно представляя собой координаты вектора b в базисе { f }={ f1, ... , fk , ... , fn }.

		1				−2							0					2					1
x	−2			+ x			5			+ x			1			+ x		−5		=			−1
	1	2			2	−5						3		0		4		6					3
		0					0							1				2					3
	x1		− 2x2			+		x3			+ 2x4			=		1
	−2x1		+	5x2							−	5x4		= −1
2x1			−	5x2				x			+	6x4		=		3
											+	2x		=		3
									3				4
	1 −2 0 2									1					1 −2 0 2									1			1 0 2 0
	−2 5 1				−5				−1				~			0 1 1				−1				1		~			0 1 1 −1
	2	−5 0 6								3						0 −1 0 2								1				0 ±0 1 1
	0 0 1 2									3						0 0 1 2							±3					±0 0 1 2
															1 0 0 −2							−1							1 0 ±0 ±0
													~			0 1 0				−2			−1			~			0 1 0 0
																0 0 1 1							±2						0 ±0 1 0
																0 0 0 1							1						0 0 0 1
	x1				1
	x		=		1
	x2				1
	3				1
	x
	4

Замечание. b =1 f1 +1 f2 +1 f3 +1 f4

3

1 ~

2

3

1

1

1

1

24

№ 4.4.

По определению пересечения

L1 ∩ L2 = Lin{ a1,		a 2 , ... } ∩ Lin{ b1, b2 , ... }
необходимо найти векторы, допускающие одновременно представление
c = x1 a1 + x 2 a 2		+ ... = y1 b1 + y 2 b2 + ...
Следовательно, задача сводится к решению однородной системы линейных уравнений
(x1 a1 + x2 a 2	+ ... )	− (y1 b1 + y 2 b2 + ... ) = 0
с матрицей коэффициентов
	A= a1, a 2 , ... , −b1, −b2 , ... . Пересечение будут

составлять множество векторов указанного выше вида, в котором роль коэффициентов

(x1,

x2 , ... ),

(y1,

y 2 ,

... ) играют решения полученной системы уравнений.

1

2

1

2

x

−1

+ x

−1

=

y

1

−3

2

7

7

+ y

2

1

−1

2

−3

1

2

2

−6

−1

−2

2

−5

x1

+

2x2

−

y1

−

2 y2

=

0

−x1

−

x2

−

y1

+

3y2

=

0

2x1

+

7x2

−

7 y1

−

2 y2

=

0

−x

1

−

3x

−

2 y

+

6 y

2

=

0

2

1

= 0

−x1

−

2x2

−

2 y1

+

5y2

1

2

−1 −2

1 2

−1 −2

1 0 3 −4

−1

1 ±0 ±0

−1

−1

−1 3

0 1

−2 1

±0 1 −2 1

0 1 0

−1

2 7

−7

−2

~

0 3

−5 2

~

0 0 1 −1

~

0 0 1

−1

−1

−3

−2 6

0 −1

−3 4

0 0 −5 5

0 0 0 0

−1

−2

−2 5

0 0

−3 3

0 0 −3 3

0 0 0 0

x1x2y1y2

L1

1y2

1

=

1y2

= y

1

1y2

2

1

1y

1

2

3

3

(1 a1 +1 a2

)= y2

−2

= y2 (1 b1 +1 b2 ) L2

L1 ∩L2

−2

}

y2

9

= Lin{c }= Lin{

9

−4

−4

−3

−3

\ c\

Замечание. Учитывая решение № 2.3., получим

L1=Lin {a1, a 2}, L2 =Lin {b1, b2 }	L1 +L2 =Lin {a1, a 2 , b1}, L1∩L2 =Lin{a1 +a2 =b1 +b2 }
3	1	2	2
//	//	//	//
dim(L1 + L2 )	+ dim(L1 ∩L2 )= dim (L1 )		+ dim (L2 )

25

5.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

№5.1. Найти определитель матрицы, раскрывая по элементам строки (столбца).

	±1 * * * *							±0 0 0 1 0							1−1 2			3
	0 2 * * *							5	0	5	9	0
a.							b.							c.	−2 1 0			1
	0 0 3 * *							7	2	3	8	5
	0	0	0	4	*			4	0	6	7	4			2	0	−1 3
															−3	1	1−1
	0 0 0 0 5							0	0	3	6 ±0
	λ1	0	0	0	0			±5 7 0 0 6							−1 2		1−3
a.	0	λ2	0	0	0		b.	2	9	3 8		5		c.	4 1 0			−1
	0 0		λ3	0	0			0	0	0	0	2			2 0		1 2
	0	0	0	λ4	0			8	5	0	4	7			3 2		1 −1
	0	0	0	0	λ5			0	1 0		0	±8

x = ar cosϕ sinθ

d.D(x,ϕy,θz) , y = br sinϕ sinθ D(r, , ) z = cr cosθ

		D(x, y, z)	x = ar cosϕ
	d.			y = br sinϕ
		D(r,ϕ, z) ,
				z = z

№ 5.2. Найти определитель матрицы, применяя метод Гаусса.

			±2 −4 −2																−2 −2 0														1	1 −2		1
a.															b.																c.	−1 ±1 4 −3
			4 −11				−4												−2 1 6
			0			3		4												0 −6 −12												−1		3	9	−11
																																	1 −3		0	−3
				1 −2			2			−1									1			0 −2			−2				−2
																			2			2 −4					0		−2
a.				1 −4			4			−3					b.
																			0 −4				3		−2				−1
				0 −2			5		4
																			0 −2 −6 −14 −12
				1	2 −8 −13
																			1 −2 −2						−8				1
№ 5.3. Показать,											что система векторов { f1, ... , fk ,																					... , fn }			образует базис и найти
разложение вектора b по этому базису (сравнить с № 4.3.).
			1								−1							2							1						0
f	1	= 2				, f		2	=		−1			,	f	3	= 2					, f	4	=	4				; b = 0
				1							−1									3							0					0
				−1							1								0								−2					1
				−1							0							0									−2				1
f	1	=		−1		, f		2	=		−1			,	f	3	=		0			, f	4	=			−2		; b =			0
				0							2								−1								0				±0
				−1							−2								0								−3					0
№ 5.4. Найти ранг матрицы и указать базисный минор (сравнить с № 2.4.).
				1			3		−2				2			3			1
A = −2						−6 4						−4			−6		−2
				1			3		−1				1			3		−1
				2		6			−3				3		6				0
				1		−2			3		−1				0				1
A = 2						−4 6					−2 0 2
				2		−4 5					−1				−3 4
				3		−6 8					−2 −3 5

26

Теория

Определителем квадратной матрицы			n	го	порядка называется
	A = q1, ... , qk , ... , qn

значение функционала (числовой функции) Dn от n векторных аргументов-столбцов

			q1 ... qk			...	qn
			a11	.	a1k	.	a1n
det A = Dn ( q1, ... , qk , ... , qn )
	=		ai1	.	ai k	.	ai n
			an 1	.	an k	.	an n

- n -линейного (т.е. линейного по каждому аргументу)

Dn ( ...	,	αk qk + βk pk , ... )=αk Dn ( ...		,	qk , ... ) + βk Dn ( ...	,	pk , ... )
- антисимметричного
		Dn ( ...	, q, ... , p, ... ) = – Dn (		... , p, ... , q, ... )

- нормированного условием

Dn ( e1,

... , ek , ... , en )=1

Минором M i j элемента

ai j называется

определитель

матрицы

(

)

го

порядка,

n−1

получающейся из данной вычеркиванием i ой строки и

j го столбца.

a11

...

*

... a1n

a11 ... ...

a1n

M

=

...

...

=

i j

*

a

*

i j

an 1 ... ...

an n

an 1 ... * ... an n

(

)i+j

Алгебраическим дополнением Ai j элемента ai j

называется

Ai j =

M i j

−1

		A11		A12	A13
			A21	A22	A23
	=
A			A31	A32	A33

... ...

...

...

...

		+
		−
	=	+
	...

−	+	...
+	−	...
−	+	...
...

Имеют место формулы разложения определителя по элементам:

i ой строки		j го столбца
n	(i =1, ... , n)	n
det A = ∑ai k Ai k		( j =1, ... , n) ∑ak j Ak j = det A
k =1		k =1

Замечание. Разложение целесообразно вести по строке (столбцу), в которых более всего нулевых элементов.

Отсюда, в частности, получаем, что определитель “треугольной” (в частности, “диагональной”) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

27

№ 5.1. a.

1

*

*

*

*

2

*

*

*

0

±2

*

*

*

0

±3

*

*

3

*

*

4

*

0

0

3

*

*

=1

=1 2

0

±4

*

=1 2 3

=1 2 3 4

5

=1 2 3 4 5=120

0

0

±

*

0

±5

0

0

0

4

*

4

0

0 ±5

0

0

0 ±5

0

0

0

0

5

№ 5.1. b.

0

0

0

1

0

5

0

5 0

±5 *

0

5 ±0 5 * 0

7 2 ± 3 * 5

= (−1)

*

2

*

*

=

(−1) (+2)

4 ±*

4

= (−1) (+2) (−3)

±5

0

=

4

0

±6 4

*

4

4

0

6 ±*

4

±0

0

3 ±0

0

3

±0

±0

0

3

*

±0

= (−1) (+2) (−3) (+4)

±5

= (−1) (+2) (−3) (+4) (+5) =120

№ 5.1. c.

1 −1

2

3

1 −1

2

3

−2 1 0 1

=

−2 1 0 1

=

2

0

−1

3

2

0 −1

3

−3 1 1

−1

−3 1 1

−1

±* −1 2 3

±1 * 2 3

±1 −1 * 3

±1 −1 2 *

=+

* ±1 ±0 1

–

−2 ±* ±0 1

+

−2 ±1 * 1

–

−2 ±1 ±0 *

=

2

* * *

*

0

* *

* *

−1

*

* * *

3

* 1 1 −1

−3 * 1 −1

−3 1 * −1

−3 1 1 *

\\

\\

\\

\\

−1 2 3

±1 2 ±3

1

−1 3

±1

−1

2

2

1 0 1

−

0

−2

±0 1

−

1

−2

±1 1

−

3

−2

±1

0

1

±1

−1

−3 1

−1

−3 1

−1

−3 1

1

=2 (−

±2 3

−

−1 2

)−0 (

... )−(

±1 1

−2 1

+3

−2 1

)−3 (

2

−2 1

+

1 −1

)=

1

−1

1

1

1

−1

+

−3

−1

−3

1

−3

1

−2

1

=2 (5+3)−(−2 +5+3 1)−3 (2 1−1)=7

№5.1. d.

D(x, y, z)

=( rr′, rϕ′, rθ′)=

x′r xϕ′

xθ′

a cosϕ sinθ −ar sinϕ sinθ ar cosϕ cosθ

=−abc r2 sinθ

yr′

yϕ′

yθ′

=

bsinϕ sinθ

br cosϕ sinθ

br sinϕ cosθ

D(r,ϕ,θ)

zr′

zϕ′

zθ′

c cosθ

0

−cr sinθ

№ 5.2.

det A при выполнении над строками (столбцами) матрицы элементарных операций

1)	“перестановка”	i	j	det → − det	- меняет свой знак
2)	“умножение”	α³ k		det →α det -	умножается на число
3)	“сложение” i	+j		det ≡ det - не изменяется

Отсюда, в частности, следует, что определитель не изменится, если к какой-нибудь строке (столбцу) прибавить линейную комбинацию остальных.

Это позволяет применить метод Гаусса и привести матрицу к “треугольному” виду.

Если в процессе преобразования появится нулевая строка (столбец), то определитель равен нулю. Если нет, то матрица преобразуется в “треугольную” и определитель будет равен произведению элементов на главной диагонали преобразованной матрицы.

28

№ 5.2. a.

2	−4 −2			= 2		1	−2 −1
4	−11	−4				4	−11	−4	=
±0	3	4				0	3	4

			= 2		1		−2 −1		= 2			(−3)			1 −2 −1
					0		−3 0								0 1 0						=
					±0		3 4								±0	3		4
									= 2 (−3)						±1 −2 −1						= 2 (−3) 4				±1 −2 −1				= 2 (−3) 4 1 = −24
														0 1 0											0 1 0
														0		0		4							0	0	1
№ 5.2. b.
	−2 −2 0		= (−2)				1 1 0					= (−2) 3					1 1 0						= −2 3		0 = 0
	−2 1 6						0 3 6										0 1 2
	0 −6 −12						0 −6 −12										0 0 0

№ 5.2. c.

		1	1 −2 1								1 1 −2			1		1 1 −2			1					1 1 −2			1
		−1	1 4		−3			=			0	2	2	−2	=	0	2	2	−2		=			0	2	2	−2		=1 2 3 4 = 24
		−1	3 9		−11						0	4	7	−10		0	0	3	−6					0	0	3	−6
		1	−3 0		−3						0	−4	2	−4		0	0	6	−8					0	0	0	4
№ 5.3.						векторов { f1, ... ,									fk , ... ,		fn } Rn														det A ≠ 0 , где
Система					n																	образует				базис,				если
				... ,		fk , ... ,								Нахождение				разложения							вектора					b	по базису
		A = f1,										fn .
{ f1, ... ,				fk ,		... ,			fn } сводится к решению неоднородной системы линейных уравнений
														x1 f1 + ... + xk				fk + ... + xn fn = b

которая в этом случае имеет единственное решение. Это решение можно найти по формулам Крамера

∆		k	= det				f	1	, ... , b , ... , f												= det f					1		, ... ,					x	1		f		1	+ ...	+ x			k		f	k
														↓					n
																																												\\
														k
																			= x					f					... ,				f				, ... ,			f					b
																					k	det			1		,								k						n		=
			1								−1					2							1								0
x	1		2			+ x					−1			+ x		2 + x							4						=		0
				1			2				−1				3		3					4		0									0
				−1								1					0							−2									1
				\\								\\					\\							\\							\\
				f1								f2					f3							f4									b
																				1	−1			2			1						1 −1						2	1
∆ = det							f ,		f	2		, f	3	, f	4	=				2	−1			2		4					=		0					1	−2	2		=
							1													1	−1 3 0												0 0 1							−1
																			−1 1 0 −2														0 0 2							−1

+ ... + xn fn , ... , fn

x	k	∆	x	k	=	∆k	, k =1,...,n
						∆

1 −1		2	1
0	1	−2	2	=1
0	0	1	−1
0	0	0	1

29

																							−1			2		1
																					0										−1 2 1								−1 2 1									−1 2 1
			= det b					,		f			, f		,	f		=			0		−1 ±2					4																							= −3
∆		1									2			3			4													= −	−1		±2		±4			= −	0	±0	±3			=				0	1	−1
							↓														0		−1 3 0								−1 3 0								0 1 −1									0 ±0 3
																					1		1			0		−2
							1
																				1							2	1
																							0								1		2		1				1	2	1							1	2	1
							f			b			, f			f				±2			0			±2		4
∆		2	= det					,						3	,		4	=												= +	±2		±2		±4			=	±0	−2	±2			= −2				±0	±1	−1	=	0
							1			↓										1			0			3		0			1 3 0								0 1 −1									0 0 0
																					−1		1				0	−2
										2
																					1		−1						1
																											0				1		−1		1				1 −1		1
			= det				f		, f				, b		,	f		=			±2		−1				0		4																							1
∆		3										2					4													= −	±2		−1		±4			= −	±0	1	±2										=
							1						↓								1		−1				0		0		1		−1		0				0	0 −1
																					−1		1				1		−2
													3
																				1			−1			2
																													0		1		−1		2				1 −1		2
			= det				f	,		f			, f		,	b		=		±2			−1 ±2						0																							1
∆		4									2			3																= +	±2		−1		±2			=	±0	1	−2										=
							1									↓				1			−1 3						0		1		−1		3				0	0	1
																					−1		1			0			1
																4
x	1		=	∆1	=	−3			= −3,								x =		∆2			=		0		= 0,				x =		∆	3	=		1	=1,		x =			∆4		=	1	=1
																																										∆			1
				∆			1											2		∆			1							3		∆			1					4

№ 5.4.

Ранг матрицы A равен максимальному порядку отличного от нуля минора (называемого базисным).

Преобразуя матрицу методом Гаусса (неполному) к “треугольную” виду, найдем базисные строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора.

			q1 q2 q3 q4 q5 q6
	p1		1 3 −2 2 3 1					1 3 −2 2 3 1						1 3 −2					2	3 1 p1
A =	p		−2	−6 4 −4 −6	−2		~	0 0		0 0	0 0				0		0	0	0		0		0	p	= A
	p2		1 3 −1 1 3		−1				0 0	1 −1	0 −2		~		0		0	1 −1			0	−2		p2
	3																							3
	p		2 6 −3 3 6 0						0 0	1 −1	0 −2				0		0	0	0		0		0	p
	4														q		q q q				q q			4
																1				4
																		2	3			5	6
В преобразованной методом Гаусса матрице A~ A на пересечении преобразованных
строк		p1,		p3 и столбцов q1, q3					стоит “треугольная”					матрица,				определитель которой
(некоторый				минор 2го порядка)				отличен от нуля ≠0 .						Любой минор более									высокого

порядка (3го или 4го) содержит нулевые строки, а, значит, равен нулю =0 . Следовательно,

q1 q2 q3 q4 q5 q6

	p1		1	3	−2	2	3	1
A =	p		−2	−6	4	−4	−6	−2
	p2		1	3	−1	1 3		−1
	3
	p		2	6	−3	3	6	0
	4

- базисные строки и столбцы { p1,								p3 } и { q1, q3 }
- базисный минор		1	−2		=		1 −2		=1 ≠ 0
		±1	−1				±0 1

- rang A = 2

30