1060963_B9CC3_zinenko_s_n_lineinaya_algebra

6. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ МАТРИЦЫ В ДАННОМ БАЗИСЕ

	№ 6.1. Умножить матрицу A на вектор x: y = A x .
		1	2 −3						1				2	0	3		1	−2
	a. A =	4	0	2 ,			x											x = 1
								= −2 ;				b. A =	1 0		−1 2 ,
		3 1		0					3				−3 0		2		1		0
		0	0	0															3
	−1 −2 3 1								1				2 −3		0			−2
							x	= −2			;	b. A =	1 3		0		,
	a. A =	0 0		0	0 ,													x = 1
		−3	−1	2	1				0				−1 2		0				3
									−1				0	1	0

№ 6.2.

Проверитьлинейностьоператора A . Найтиегоматрицу A вданныхбазисах {e, f }

Установить,

что действие оператора b =A a сводится к умножению его матрицы

A на

столбец-координат x вектора a , получая столбец-координат y вектора b :

y = A x .

a. A:Rn →Rm

A x = A x ,

A матрица m×n , { e,

f }- каноническиебазисыв Rn , Rm .

b. Ω :V →V Ωx = ω, x ,

{ e } ={ f } ={i , j, k }

c. D : Pn−1 → Pn

Dp =

d

p(x),

{e, f }={{

x0

,

x1

,...,

xn −1

}, {

x0

,

x1

,...,

xn − 2

}}

dx

0!

1!

(n−1)!

0!

1!

(n−2)!

d. J:Pnλ →Pnλ

J pλ = ∫x

pλ (t) d t

(λ>0),

{e }={ f }={eλx

x0

, eλx

x1

,..., eλx

xn −1

}

0!

1!

(n−1)!

−∞

a. Ω :V →V Ωx = ω2 , ω1, x ,

{

f } ={e } ={i , j, k }

b. D : Pnλ → Pnλ

Dpλ =

d

pλ (x),

{e }={ f }={eλx

x0

,

eλx

x1

,...,

eλx

xn −1

}

dx

0!

1!

(n−1)!

c. J : Pn+1 → Pn

J p = ∫x p(t) dt,

{e, f }={{

x0

,

x1

, ... ,

xn −1

},

{

x0

,

x1

, ... ,

xn

}}

0!

1!

(n−1)!

0!

1!

n!

0

d. J:Pnλ →Pnλ

J pλ =−+∫∞ pλ (t)d t (λ<0), {e }={ f }={eλx

x0

, eλx

x1

, ..., eλx

xn −1

}

0!

1!

(n −1)!

x

№ 6.3.

Выполнить действия над матрицами

α A,

A+B,

A C,

C A .

1 2−3

0 0 0

1−2

−1

3

2 0 3 1

2 0

1 2

1 0

3

= 4 0 2

, B = −1 2 1

A

, C = 1 0−1 2 A =

0 3

,

B = −2 0

,

C =

−1 2−1

3 1 0

4 0 1

−3 0 2 1

1 4

4 0

0 0 0

−2 1−3

3

2

1

4

№ 6.4.

Найти

непосредственно

явное

выражение

переменных

z1,

z2 , ... через

переменные

x1,

x2 , ... . Проверить,

что

матрица

C

результирующего

отображения

z =C x равна C = A B , если z = A y,

y = B x

z = (AB) x .

z1

=− y1

+2 y2

− y3

y1

=− x1

+2x2

z1

= y1

−3y2

z

2

=

y

1

−

y

2

+

2 y

,

y

1

=− x

1

+2x

− x

+ x

=

2 y

−

3 ,

y

2

=

x

1

−

x

z

2

=−2 y

1

+

y

2

y

=

4x

2

3

4

z

2

y

2

2

1

+ x

−3x

3

3

= 2x1 +

x2

= y1 +

2 y2

3

4

=

y1 −3y2

y3

z3

z4

31

№ 6.1.

Произведением матрицы A размера m×n на вектор-столбец x высоты n называется вектор-столбец y = A x высоты m , компоненты которого равны

n	(i =1, ..., m)
yi = ai 1 x1 + ... + a i j x j + ... + ai n xn = ∑a i j x j ,
j=1

*

*

*

*

x

1

yi

=

a

... a

... a

x

i j

i n

j

i1

*

*

*

*

x

\\

\\

n

=

\\

y

A

x

Нетрудно видеть, что операция умножения матрицы на вектор – линейна

A (α1 x1 +α2 x 2 )=α1A x1 +α2 A x 2

												1 1 − 2 2 −3 3					−12
	1 ±2 −3
									1
															3			10
	±4												4 1 −0 2	+ 2
		0	2
y = Ax =	3 1		0						−2		=		3 1 − 1 2	+ 0	3		=
																		1
									3
	0	0	0										0 1 −0 2	+ 0 3				0

№ 6.2.		(En a →A b Fm : Aa = b) называется линейным, если
Оператор	A : En → Fm
A	A	A	+α2 Aa 2
a1 →b1 , a2	→b2 α1 a1	+α2 a 2 →α1 b1 +α2 b2 A(α1 a1 +α2 a 2 )=α1 Aa1
Выберем и зафиксируем в пространствах En ,Fm базисы {e, f }={{e1, ... ,en },{			f1, ... , fm }}.

Матрицей A оператора A в базисах {e, f } называется матрица, составленная из столбцов-координат qk образов Aek Fm базисных векторов ek En в базисе { f } Fm :

{ f }	a1k		{e, f }
	a 2k
ek En Aek Em → qk =		Rm	A →
	am k

	a11			...		a1k
	a		21	...		a		2k
A =
	a			...		a
		m 1					m k

... a1n

... a 2 n

... am n

На компоненты матрицы A = ai j можно смотреть, как на координаты оператора A в базисах {e, f }. Действие оператора A сводится к умножению его матрицы A на вектор-столбец x координат вектора a En в базисе {e }, получая вектор-столбец y координат вектора b Fm в базисе { f }:

{ f }

y1

{e, f }

a11

...

a1k

...

a1n

y = y 2

,

...

a 2k

...

b = A a b →

A →

A = a 21

a 2 n ,

...

a

...

a

ym

a

m 1

m k

m n

{e } a → x

	x1
					y = A x
=	x		k
		xn

Замечание. Правило умножения матрицы на столбец ( № 6.1. ) есть просто следствие действия оператора на вектор и их связи с матрицами и столбцами в данных базисах.

32

№ 6.2. a.

Действие оператора A : Rn → Rm , задаваемого матрицей A размера m×n

	n
A : x → y = A x	yi = ∑a i j x j
	j=1

сводится к умножению матрицы A на вектор-столбец x высоты n с получением векторстолбца y высоты m .

Линейность оператора вытекает из линейности операции умножения матрицы на вектор

A (α1 x1 +α2 x 2 )=α1 A x1 +α2 A x 2

Очевидно, матрицей оператора A в канонических базисах {e }, { f } является матрица A

a11 ...

...

0

a1k

a1k

a1n

Ae

=

A e

= q

, ... , q

, ... , q

e

=

a

21

...

a

2k

...

a

2 n

a 2k

= q

k

k

k

k

1

=

k

1

n

a

...

a

...

a

am k

m 1

m k

m n

0

В этом смысле операторы A :

Rn → Rm и матрицы A размера m×n можно отождествить.

№ 6.2. b.

Ω : x → y =

ω, x ,

Линейность

оператора

задаваемого как

векторное

произведение

ω V

фиксированного вектора

с произвольным вектором x V , вытекает из линейности

векторного произведения:

Ω(α

1

x

1

+α

2

x

2

)= ω, α

1

x

1

+α

2

x

=α

1

ω, x

1

+α

ω, x

=α

1

Ω x

1

+α

2

Ω x

2

2

2

2

Из формулы векторного произведения через координаты векторов в базисе {e } ={i ,

j, k }

Ωx = ω, x

i j k

=i

ω2 ω3

− j

ω1ω3

+k

ω1ω2

ω

2 x3

−ω

3x 2

0 −ω3

ω

2

x1

=

ω

ω

ω

= ω

x

−ω

x

=

ω

0

−ω

x

1

2

3

x 2 x3

x1 x3

x1 x 2

3

1

1

3

3

1

2

x1 x 2 x3

ω1x 2

−ω

2 x1 −ω

2

ω1

0

x3

вытекает,

что действие оператора Ω на произвольный вектор

x V в координатах сразу

представимо, как произведение некоторой матрицы на столбец-координат вектора.

Покажем, что это и есть его матрица в базисе { e } ={ i , j, k }

Ω e

ω, i

0

, Ω e

ω, j

−ω3

, Ω e

ω, k

±ω2

{e}

0 −ω3

ω2

=

=

ω

=

=

0

=

= −ω

Ω →

Ω =

ω

0

−ω

1

3

2

3

1

3

1

−ω2

ω1

0

−ω2

ω1

0

Замечание. Оператор Ω, задаваемый как векторное произведение некоторого

фиксированного вектора		ω V с произвольным вектором x V , определен не вполне
корректно. Связано это		с неоднозначным определением векторного			произведения
			{	ω,	x, y	}	(“правой”
	ω, x = y , содержащего в себе условие ориентации тройки векторов

или “левой”), совпадающей с ориентацией выбранного в пространстве базиса {i , j, k }

(при выборе базиса с противоположной ориентацией изменяется и направление результирующего вектора y → −y ), так что действие оператора зависит от базиса (точнее

от его ориентации). Поэтому лучше назвать Ω псевдооператором. “Правильный” взгляд на векторное произведение будет дан в курсе “Векторный и тензорный анализ”.

33

№ 6.2. c.

При дифференцировании полинома его степень понижается на единицу

d

d

d

n−1

n−1

n−2

p =p(x) Pn

xk = k xk−1

p(x) =

∑ak xk =∑k ak xk−1=∑(k +1)ak+1 xk Pn−1

dx

dx

dx

k=0

k=1

k=0

Тем самым задается дифференциальный оператор

D =

d

:

Pn → Pn −1 ,

линейность

dx

которого вытекает из линейности операции дифференцирования

D(α

p

+α

p

)=

d

(α

p

(x)

+α

p

(x))=α

d

p

(x)+α

d

p

(x) =α

Dp

+α

Dp

1

1

2

2

1

1

2

2

1 dx

1

2 dx

2

1

1

2

2

dx

Найдя его действие на базисные векторы

d

x

k −1

(

)

k − 2

x

k − 2

Dek =

=

k −1 x

=

= fk −1

( f0 ≡ 0)

dx

(k −1)!

(k

− 2)!

(k −1)!

получим матрицу оператора в заданных базисах

...

0

1

0

0

0

{e, f }

0

0

1

...

0

0

D → D =

.

0

0

0

...

1

0

0

0

0

...

0

1

Разлагая вектор

p Pn

по базису {e }={

x0

x1

... ,

xn −1

}

,

,

0!

1!

(n −1)!

p = p(x) = n−1 a

k

x k

= n−1 a

xk

a

k

= k!a

k

= p(k )(0)

k k!

∑

∑

k = 0

k = 0

найдем непосредственно действие оператора

Dp = dx p (x) =

d

Теперь сравним

	d	n−1	xk	n−1	k xk −1	n−1	xk −1		n−2	xk
		∑ak		= ∑ak		= ∑ak			= ∑ak +1		= q Pn −1
	dx		k!				( )			k!
		k = 0		k =1	k!	k =1	k −1 !		k = 0

0		1	0
0		0	1
Dp =
	0	0	0
	0	0	0

...

...

...

...

0 0

0 0

1 0

0 1

	a	0			a1
	a1			a 2
	a	2					= q
				=
				an−2
	an−2			an−1
	an−1

Замечание.			Поскольку Pn −1 Pn ,								то дифференциальный								оператор						D =		d				можно
																											dx
рассматривать, как оператор, действующий в														Pn . При этом его действие в “родном”
базисе {	xk		} сводится к “сдвигу вверх” координат вектора
	k!
			0		1	0 ... 0		0				0		1	0 ... 0		0			a 0						a1
			0		0	1	... 0	0				0		0	1	... 0	0			a1						a		2
{e}				0	0	0	... 0	0			D0 p =		0	0	0	... 0	0			a 2				=		a		3			≡ q
D→D0			=
				0	0	0	... 0	1					0	0	0	... 0	1			a	−	2				an−1
					0	0 ... 0		0						0	0 ... 0		0			n						0
			0									0								an−1

34

№ 6.2. d.

На пространстве квазиполиномов

Pnλ ={pλ = p λ (x) =eλx p(x), p(x) Pn }=eλx *Pn

(λ>0)

несобственный интеграл с переменным верхним пределом сходится (?!) и равен

J pλ = ∫x

pλ (t)d t =

∫x

eλ t p(t)d t =

1

∫x

p(t) d eλ t =

1

( p(t)eλ t

x −

∫x

eλ t d p(t) ) =

λ

λ

−∞

−∞

−∞

−∞

−∞

=

1

p(x)eλ x

−

1

∫x

eλ t p′(t)d t =

1

p(x)eλ x

−

1

p′(x)eλ x +

1

∫x

eλ t p′′(t)d t = ...

=

λ

λ

2

2

−∞

λ

λ

λ

−∞

=

1

p(x)eλ x

−

1

p′(x)eλ x + ... + (−1)n−1

1

p(n−1)(x)eλ x + (−1)n

1

∫x

eλ t p(n)(t)d t

=

λ

2

n

n

λ

λ

λ

−∞

\\

0

λ x

n−1

(

)k

d

k

λ x

λ

λ

k∑=0

−1

= e

p(x) = e

q(x) = q

Pn

λ k +1

dxk

Тем самым задается интегральный оператор

J = ∫x : Pnλ →Pnλ (λ>0)

−∞

линейность которого вытекает из линейности операции интегрирования

J (α1 pλ1 +α2 pλ2 )= ∫x (α1 pλ1 (t) + α2 pλ2 (t) )d t =α1	∫x	pλ1 (t)d t +α2 ∫x	pλ2 (t)d t =α1 J pλ1 +α 2 J pλ2
−∞	−∞	−∞

Найдя его действие на базисные векторы

J ek

=

e λ x n∑−1

(−1) l

d l

(

x k −1

) = eλ x k∑−1

(−1)l

+

l

(

)

l +1

l =0 λ

l

1

dx

l =0 λ

k −1 !

= ... + λ − 3 ek −2

− λ − 2 ek −1

+ λ − 1 ek

получим матрицу оператора в заданном базисе

	x	k −l −1			k −1 (			)l
				=	∑		−1		ek −l	=
(		)						l +1
					l =0 λ
	k −l −1 !

							+λ−1	−λ−2	+λ−3	−λ−4	...
	+λ−3							+λ−1	−λ−2	+λ−3
											...
{e}		−2			{e}				+λ−1	−λ−2
J ek → −λ				→ k	J →Jλ =						...
	+λ−1									+λ−1 ...
	0

35

№ 6.3.

Суммой двух линейных операторов A, B : En → Fm называется оператор C ,

действующий по правилу

C a = Aa + Ba

и обозначаемый C = A + B . Очевидно, C : En → Fm - линейный.

Произведением линейного оператора A : En → Fm на число α называется оператор C ,

действующий по правилу

C a =α(Aa)

и обозначаемый C =αA . Очевидно, C : En → Fm - линейный.

Замечание. Множество всех линейных операторов, действующих из En в Fm само образует линейное пространство размерности n m .

	Произведением линейных операторов A : Gl →Fm , B : En →Gl	называется оператор C ,
	действующий по правилу	A Gl B
	Ca = A(Ba)
		Fm ← En
		C = AB
	и обозначаемый C = AB . Очевидно, C : En → Fm - линейный.

Замечание. Сумма операторов и произведение их на число соответствуют сумме функций и произведению их на число, а произведение операторов - построению сложной функции.

Из связи между линейными операторами и матрицами, вытекают аналогичные определения для матриц соответствующей размерности.

Суммой

двух матриц

A = a

i j

,

B =

b

размера m ×n

называется

матрица

i j

C = A + B размера m ×n такая, что

c i j

= a i j +b i j

(i =1,..., m,

j =1,..., n)

С

=

A

+

B

Произведением матрицы

A = a

i j

размера m ×n

на число α

называется матрица

C =αA размера m ×n такая, что

c i j =α a i j

(i =1,..., m,

j =1,..., n)

С

=

α

A

Произведением двух матриц A = a

B = b

i k

,

k j

размеров m × l

,

l

×n называется

C = AB размера m ×n

матрица

такая, что

l

(i =1,..., m,

j =1,..., n)

c i j

= ∑ai k

bk j

С

=

A

B

k =1

Замечание. Если разбить матрицы

C

и

B на столбцы

C = c

, ... ,c

k

, ... ,c

n

= c

k

,

B =

b

,

... ,b

k

, ... ,b

=

b

k

1

1

n

то

c

= C = A B = A b

k

= A b

c

k

= A b

k

k

k

36

			1 2−3 α 2α −3α													1 2−3				0	0		0			1 2−3
							4α 0 2α					,								−1	2
α A =α ±4 0 2						=								A + B =		4 0 2 +							1		=	3 2 3
			3 1 0				3α α			0						3 1 0				4	0	1				7	1 1
			0 0 0				0 0 0									0 0 0				−2 1−3 −2							1−3
	1 2−3									13 0 −5 2									1
																					2	−3			11 7 −6
	±4±0 2					2	0		3 1	±2±0 16±6						2 0 3 1				±4	0		2
A C =						1		−1±2						, C A =											= −2		1−3
			3 1 0				0			=		7 0 8 5				1±0−1±2				3	1	0
						−3	0		2 1					−3 0 2 1											3−4 9
			0 0 0									0 0±0 0								0	0		0

Замечание. Если произведение A C можно построить, то произведение C A может не иметь смысла ввиду не согласованности размерностей матриц C и A . Если C A все же существует, то A C ≠ CA возможно снова ввиду различных размерностей произведений A C и C A . Но даже если размерности и совпадают (только в случае квадратных матриц), то в общей ситуации произведение матриц остается не коммутативным A C ≠ CA .

№ 6.4.

Суперпозиция двух линейных отображений z = A y, y =B x есть снова линейное

отображение

z = Ay = y = B x = A(B x) = (A B)x

матрицей которого является произведение C = A B .

z1z2

z3z4

= − y1		+ 2 y2			−	y3
=	y1	−	y2		+ 2 y3		,
=			2 y	2	−	y
						3
=	y1	−	3y2

y1y2

y3

=− x1 + 2x2

=x1 − x2

=2x1 + x2

?	z1		=	*	x1		+	*	x2
	z	2	=		x	1	+		x
			=	*				*	2
	z3			* x1 +				* x2
	z	4	=	*	x	1	+	*	x
									2

z1

z2z3z4

= − (− x1		+ 2x2 ) + 2( x1			− x2 )
= (− x1		+ 2x2 )	− ( x1		− x2 )
=			2(	x1	− x2 )
=	(− x1	+ 2x2 )	− 3(	x1	− x2 )

−(2x1 + x2 )

+2(2x1 + x2 )

−(2x1 + x2 )

z1 = x1 − 2

z2 = 2x1 + 5x2z3 = −

z4 = − 4x1 + 5x3x25x2

Сравнить!

z1z2

z3z4

−1			2 −1	y1
		1	−1 2	y2		,
	=	0
			2 −1
		1		y3
			−3 0

y1y2

y3

		−1		2		x1		?
	=		1
				−1	x
			2			2
				1

z1
	z2
	z		=
	3
	z4

*	*
*	*	x1
*		x
	*	2
*
	*

z1z2

z3z4

−1			2 −1			−1	2	x1
		1	−1 2			1
	=	0					−1		x
			2 −1
		1							2
			−3 0			2 1

	z1				1 −5
		z2			2	5		x1
		z		=	0 −3				x
		3			−4	5			2
		z4

37

7. ЯДРО И ОБРАЗ ОПЕРАТОРА. ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР

№ 7.1.

Найти

базис и

размерность

ядра

Ker A

и

образа

Ran A

оператора

A ,

задаваемого в Rn

матрицей A . Проверить справедливость формулы

dim Ker A + dim Ran A = dim Rn = n

1 −1 5 −1 1 0

1 −2 3 2 6 1

−3 4 −18 1 −6 −2

1 −1 3 2 ±4 ±0

A =

−3

−1 −3 11 9 8

A =

2 −3 6 4 10 1

−1 −1 8 7 6

−9 −6 0 6

−2

−3 −3

№ 7.2.

Найти оператор, обратный к дифференциальному оператору D =

d

: Pnλ → Pnλ

dx

Dpλ =

d

pλ (x) (λ > 0)

Dpλ =

d

pλ (x) (λ < 0)

dx

dx

№ 7.3.

Проверить, что матрицы Dλ ,

Jλ дифференциального оператора D: Pnλ →Pnλ

и интегрального оператора J: Pnλ →Pnλ

взаимно обратны.

Dpλ =

d

pλ (x), J pλ = ∫x

pλ (t)d t, (λ>0)

Dpλ =

d

p λ (x), J pλ =−+∫∞ p λ (t) d t, (λ<0)

dx

dx

−∞

x

№ 7.4.

Построить обратную матрицу A −1 , найдя алгебраические дополнения.

1 1 −1

1 1 −1

A = −1 −2 3

A = −1 1

−3

3 2 −4

0 2

−1

№ 7.5.

Найти обратную матрицу A −1 методомГаусса.

1 −2

0

2

−1 −1

0

1 ±0

−2 −3

1

1

1

−2

5

1

−5

A

=

0 0 1 0 1

A =

2

−5

0

6

1

1

2

0

2

0 0 1 2

−2 −4

±0 2 1

№ 7.6.

Выразить

явно

переменные

x1,

x 2

, ...

через переменные

y1, y 2 , ...

и

выяснить связь между матрицами линейных преобразований y = Ax и x =By .

y1y2

y3y4

=	x1	− 2x2		+ x4
=	x1	− x2		+ x4
= −2x1		+ 4x2	+ x3	− x4
= −2x1		+ 2x2	+ 2x3	+ x4

y1y2

y3y4

= x1 − x2 + 2x3 + x4

=2x1 − x2 + 2x3 + 4x4

=x1 − x2 + 3x3

=−x1 + − 2x4x2

№ 7.7.	Решить матричные уравнения A X = C,														Y B = C,		A Z B = C .
1 2				3 5 0				1 2			1 −2				1 0 Z		1 −2 = 1 0
		X =			,	Y				=	3	5 ,
								3									0 1
3 4				2 1 0					4		0	0			±3 1			0 ±1
4 3				3 0 0				4	3	1 −2				1 ±0 ±0			1 2 ±3		1 0 0
		X =			,	Y				=	±3	0 ,		±2 1 0 Z ±0 1 2 =					±0 1 ±0
								2
2 1				2 1 0					1		0	0
															3 2 1		±0	±0 1	±0	±0 1

38

Теория

Ядром Ker A и образом Ran A оператора A: En →Fm называются множества

					Ker A ={ a En :								A a = 0 },							Ran A =		{ b Fm :									b = Aa }
Очевидно,				ядро		Ker A En						и	образ			Ran A Fm							являются									подпространствами												в
соответствующих пространствах. Их размерности связаны равенством
											dim Ker A + dim Ran A = dim En
Данные определения переносятся на матрицы A размерности																																m×n , которые можно
отождествить с соответствующими операторами Rn																									A
																								x → y Rm											Ax = y .
Ядро матрицы - это подпространство решений L0																								однородной										системы						линейных
уравнений с матрицей коэффициентов A
										Ax = 0							dim Ker A = dim L0
Образ матрицы – это множество столбцов y высоты m вида
																		x1
				y = Ax = q1,						... ,qk , ... ,qn							...							...+ qk xk +...+ qn xn
																	x		k	= q1 x1		+
																	...
																		x	n
т.е. это линейная оболочка ее столбцов
					Ran A = Lin{q1, ... ,qk , ... ,qn }																	dim Ran A = rang A
Связь между размерностями ядра и образа матрицы – это иное выражение равенства
													dim L0				+ rang A = n
№ 7.1.			q1 q2 q3 q4 q5 q6
	p1
		1 −1 5 −1 1 0											1 −1 5 −1 1 0
																												1				0	2 −3 −2 −2								p1
	p		−3 4 −18 1 −6 −2									~		0 1 −3 −2 −3 −2										~					0			1	−3 −2 −3 −2								p
A = p			−3	−1	−3 11 9 8									0 −4 12 8 12 8															0			0	0 0 0 0								p = A
	2																																								2
	3			−1	−1 8 7 6									0 −3 9 6 9 6														0				0	0 ±0 0 0								3
	p4 −2																																								p4
																													q	1		q	2	q		q	4	q	q
Следовательно,																																		3				5		6
										x1		−2x3				+3x4			+2x5		+2x6			−2									3					2				2
										x				3x		+2x			+3x		+2x						3							2					3				2
x =−2x + 3x +2x +2x											2				3		4			5	6													0					0				0
											x	=		1x		1x						=x3					1			+x4					+x5							+x6
x	= 3x +			2x	+ 3x		+2x		x						3											0								1					0				0
1			3	4		5		6			3
2			3	4		5		6			4						4			1x5
										x5											1x					0								0				1					0
											x															0								0					0				1
											6										6
				−2 3 2 2
				3 2 3 2
					1			0			0			0		}= L0								dim Ker A = dim L0 = 4
Ker A = Lin{					0	,		1	,		0	,		0
					0			0			1			0
					0			0			0			1
Далее,
Ran A = Lin{q1, q2 , q3 , q4 , q5 , q6 }= Lin{q1, q2 }																								dim Ran A = rang A = 2
								4						2						6							4								2			6
								//					//						//						//									//				//
						dim Ker A + dimRan A = dim R6																		dim L0							+ rang A					=		n

39

№ 7.2.
В случае En = Fm говорят об операторах,				действующих в пространстве En . В этом
случае для любых двух операторов		A и	B имеют смысл операции:
	α A,	A + B,		=?
				A B ≠B A
Оператор I	называется единичным (тождественным), если
	I x ≡ x, x En		A I = I A = A, A
Операторы	A и B называются обратными друг к другу, если
y = A x B y = x ( x, y En)				A B = B A = I B = A−1

Теорема

Для того,

1) чтобы A−1 (т.е. оператор A - невырожденный)

1) чтобы Ran A = En Ker A = 0

Покажем, что в пространстве квазиполиномов Pnλ (λ > 0) дифференциальный оператор

D =

d

dx

невырожденный, при этом обратным является интегральный оператор

D −1 = J = ∫x

Имеем

−∞

(DJ ) pλ = D (Jpλ )=

d

∫x

p λ (t)d t = p λ (x) = pλ

dx

DJ = I

−∞

)

λ

λ

x

d

λ

λ

x

λ

λ

λ

λ

JD = I

(

JD

p

= J (Dp

)=

∫

p

(t)d t = p

(t)

=

p

(x) − p

(−∞) = p

(x) = p

d t

−∞

−∞

\\

0

	Замечание. В	n −мерном пространстве полиномов Pn = Pn0					(λ = 0)	дифференциальный
	оператор D =	d	имеет одномерное ядро и, соответственно,				(n −1) -мерный образ
		dx
		Ker D ={ p(x) ≡ const } = P1 ≠ 0;				Ran D = Pn−1 ≠ Pn
	так что, очевидно, оператор D =			d	в пространстве полиномов Pn			не имеет обратного.
				dx

40