методичка черногор

Глава 5. Когерентное взаимодействие волн. Неустойчивости. 5.2. Примеры

Видно, что при A(0) ≤ A(0) взрывная неустойчивость не возникает, она имеет место при

A(0) > A(0) .

Рис. 5.2. Вид решения А(t).

Время развития взрывной неустойчивости равно

t0 =	1	ln	A(0)		.
	(0)		A(0) − A	(0)
	γA

Пример 4

В результате трехволнового взаимодействия могут возникать солитоны огибающих. Они описываются следующей моделью:

dA1

= γ

A A ; γ

, γ

2

> 0;

γ

0

< 0;

dt

1

0

2

1

dA2

= γ

2 A0 A1; t = t′

−

x

;

dt

vг

dA0

= γ

0

A A ; A (±∞) = 0; A (±∞) = A .

dt

1

2

1,2

0

∞

Решение

Из соотношения Мэнли – Роу имеем:

	A2	− A2	(±∞)	=	A2	− A2	(±∞)	=	A2	− A2	(±∞)
	1	1			2	2			0	0
или		γ1				γ2				γ0

A2

A2

A2

− A2

1

=

2

=

00

0

.

γ1

γ2

γ0

Отсюда

A

=

γ1,2

(A2

− A2 ).

1,2

γ0

00

0

(5.16)

(5.17)

(5.18)

(5.19)

Подставим (5.19) в (5.18) и получим

dAdt0 = − γ1γ2 (A002 − A02 ).

Для удобства интегрирования данного уравнения введем	y =	A0	и	λ = γ	γ	2	A > 0 .
		A00		1			00

Тогда

59

Глава 5. Когерентное взаимодействие волн. Неустойчивости. 5.2. Примеры

dy

= −λdt .

1− y2

Откуда y (t )= th (C −λt ). При t = ∞

x(∞) = th(–∞)=–1, где С – любое конечное число.

Положим С = 0. Тогда: y2

= th2λt , а

A2 (t )= A2

th2λt

. В конечном счете

0

00

A1,22 (t )=

γ1,2

(A002 − A02 )= A002

γ1,2

ch−2

λt – “светлый” солитон,

γ

0

γ

0

A02 (t )= A002

(1−ch−2λ

t )

– “темный” солитон.

Рис. 5.3. Вид решений А0,1,2(t)

60

Глава 5. Когерентное взаимодействие волн. Неустойчивости. 5.3. Задачи для самостоятельного решения

5.3. Задачи для самостоятельного решения

5.1

Решить задачу о двухволновом взаимодействии, если оно описывается системой вида:

dA1

= −γ

A A ,

A

=

A (0),

а)

dt

1

1

2

1

t=0

1

dA

A A

,

A

= 0;

2

= γ

dt

2

0 1

2

t=0

dA1

= γ

A2

,

A

= 0,

б)

dt

1

2

1

t =0

dA

= −γ2 A1 A2 ,

A2

t=0 = A2 (0);

2

dt

dA1

= −γ1 A1 A2 , A1

t=0 = A1 (0),

в)

dt

dA

= γ

A2

,

A

=

0;

2

dt

2

1

2

t =0

dA1

= −γ1 A2 ,

A1

t=0 = A1 (0);

г)

dt

dA

= γ

A ,

A

= 0.

2

dt

2

1

2

t=0

Учесть, что γ1, γ2 > 0 .

5.2

Вычислить пороговое значение амплитуды волны накачки в задаче о трехволновом когерентном взаимодействии (γ1,2 > 0; γ0 < 0):

		dA1				= γ		A2 A −ν A ,
		dt			1					0	2		1		1
a)		dA2				= γ A2 A −ν A ,
		dt					2			0	1			2				2
		dA0				= γ	0		A2 A −ν					0	A ;
		dt								1	2						0
	dA1			= γ			A2 A −ν A A ,
		dt			1				0		2	1			1			0
б)	dA2					= γ A A2 −ν A A ,
		dt			2					1	0		2		2				0
	dA0			= −γ					0	A2 A −ν					0	A2				;
		dt								1		2						0

61

Глава 5. Когерентное взаимодействие волн. Неустойчивости. 5.3. Задачи для самостоятельного решения

dA1

dt

dA2 в) dt

dA0

dt dA1

dt

dA2 г) dt

dA0

dt

Начальные условия имеют вид:

=γ1 A0 A1 A2 −ν1 A12 ,

=γ2 A0 A1 A2 −ν2 A22 ,

=−γ0 A0 A1 A2 −ν0 A02 ;

=γ1 A03 A2 −ν1 A1,

=γ2 A1 A03 −ν2 A2 ,

=−γ0 A1 A2 A02 −ν0 A0 .

A1		t =0 = 0,	A2		t =0 = 0,	A0		t =0 = A00 .

5.3

Исследовать взрывную неустойчивость, описываемую уравнением

	а)	dA		3
		dt		= γA	−νA			,
	б)	dA		3			2
		dt		= γA	−νA			,
	dA			3		2		4
в)	dt	= γA −νA					−βA		,
	г)	dA	= γA4		−νA2 ,
		dt

где ν, γ > 0, A(0)> A(0) , А(0) – пороговoе значение.

5.4

В результате трехволнового взаимодействия могут возникать солитоны огибающих. Они описываются следующей моделью:

	dA1		= γ		A A ,
dt		1				0		2
dA			= γ	2 A0 A1,
	2
	dt
	dA0		= γ	0		A A ,
						1		2
dt
где γ1, γ2 > 0, γ0 < 0, A1,2 (±∞)= 0, t = t′−						x	, A0 (±∞)= A00 , vг – групповая скорость.
				vг

Отыскать А1(t), А2(t), А0(t).

Указание. Использовать соотношения Мэнли – Роу

62

Глава 5. Когерентное взаимодействие волн. Неустойчивости. 5.3. Задачи для самостоятельного решения

5.5

Известно, что ребенок интенсивно растет до 12 – 13 лет: его масса в начале жизни увеличивается в e раз примерно за 2,6 года. Считая, что относительная скорость увеличения массы ребенка уменьшается по экспоненциальному закону с характерным временем, равным 8 годам, составить уравнение, описывающее закон изменения массы человека в течение жизни. Найти его решение и постройте зависимость m(t). Относится ли такое поведение к неустойчивости? Если да, то какого типа? Принять m(0) = 3,5 кг.

5.6

Скорость роста численности N простейших организмов в биосфере пропорциональна их числу. Это же можно сказать и о скорости их гибели. Составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение N во времени. Получить его решение. Описывает ли оно неустойчивость? При каких условиях? Привести примеры.

5.7

Скорость роста численности N сложных организмов в биосфере пропорциональна квадрату их числа, а скорость гибели – N. Составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение N во времени. Получить его решение. Описывает ли оно неустойчивость? Какую? При каких условиях? Привести примеры.

5.8

Численность N многих организмов в биосфере описывается логистическим законом, согласно которому относительная скорость изменения N во времени убывает с ростом N по линейному закону. Составить дифференциальное уравнение, описывающее изменение N во времени. Получить его решение. Описывает ли оно неустойчивость? Какую? При каких условиях? Привести примеры.

5.9

В некоторую историческую эпоху, которая включает в себя и настоящее время, рост численности населения на Земном шаре хорошо описывается простейшей моделью С. П. Капицы:

dN = N 2 , dt C

где С ≈ 1,86 1011 чел год.

Является ли такой рост устойчивым? Найдите и проанализируйте зависимость N(t). В каком году наступит “взрыв” численности населения, если в 1999 г. N = 6 млрд человек? Реальна ли модель С. П. Капицы? Чего она не учитывает? Попытайтесь усовершенствовать эту модель.

5.10

В некоторую историческую эпоху, которая включает в себя и настоящее время, рост численности населения на Земном шаре хорошо описывается усовершенствованной моделью С. П. Капицы:

	dN	=	C	,
	dt		(τ0 −t)2 + τ2

где С ≈ 1,86 1011 чел год, τ ≈ 42 года – характерное время для человека, τ0 ≈ 2007 год.

63

| β |≈ 10−14

Глава 5. Когерентное взаимодействие волн. Неустойчивости. 5.3. Задачи для самостоятельного решения

Является ли такой рост устойчивым? Найдите и проанализируйте зависимость N(t). В каком году наступит стабилизация численности населения, если в 1999 г. N = 6 млрд человек? Реальна ли эта модель С. П. Капицы? Вычислите N в текущем году и сравните его с результатами переписи населения. Существенны ли отклонения от модели?

5.11

Рост потребляемой человечеством мощности описывается моделью вида: dPdt = α(P)P , P|t = 0 = P0,

где P0 = 20 ТВт, α = α0 (1+βP) , α0 ≈ 0,03 год–1, Вт–1. Найдите и проанализируйте

решение модельного уравнения. Описывает ли оно неустойчивость? Какую? При каких условиях?

5.12

Рост мощности электромагнитного излучения, “загрязняющего” радиоэфир описывается моделью вида:

dPdt = α(1+βP + γP2 ) , P|t = 0 = P0,

где P0 = 10 ГВт, α = 0,1 год–1, | β|≈10−12 Вт–1, | γ |≈10−21 Вт–2. Найдите и проанализируйте

решение модельного уравнения. Описывает ли оно неустойчивость? Какую? При каких условиях?

5.13

Рост численности фрагментов космического “мусора” на околоземных орбитах

описывается моделью вида:
			dn	= α(n)n −βn ,	n|t = 2000	год = n0,
			dt
где, n0	= 104, α = α	0	+ α n , α0 ≈ 0,05 год–1,		α1 ≈ 10–7	год–1, β = 0,02 год–1. Найдите и
			1

проанализируйте решения модельного уравнения. Описывает ли оно неустойчивость? Какую? При каких условиях? Через сколько лет полеты в околоземном космосе станут невозможными?

64

Глава 6. Нелинейные эффекты в плазме 6.1. Основные понятия и соотношения

6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПЛАЗМЕ

6.1. Основные понятия и соотношения

Плазмой называется полностью или частично ионизированный газ, который в среднем является квазинейтральным. Нелинейные эффекты при распространении сильных электромагнитных волн в плазме связаны с нагревом электронов и тяжелых частиц (значительно меньшим), выталкиванием электронов в неоднородном поле (электрострикцией), ионизацией (пробоем) газа и нелинейностью силы Лоренца. Им соответствует нагревный

(тепловой), стрикционный, ионизационный и магнитный или же релятивистский механизмы нелинейности. Последний обычно малосущественный, ионизационный механизм проявляется в очень сильных полях. Поэтому чаще всего ограничиваются рассмотрением теплового и стрикционного механизмов. Первый из них является главным в столкновительной плазме, второй – в бесстолкновительной плазме. Механизмы становятся существенными, если амплитуда электрического поля E0 ≥ Εp, Εс, где

	3kTe0mδ0		(ω+ν0) 1								1
										4kTe0m(ω +ν0 ) 2
			2	2						2	2
Ep =								Ec =					,
						2
		e2								e2
						,

– плазменное и стрикционное поля. Здесь Те0, ν0 – температура и частота соударений электронов (индекс “0” относится к невозмущенным условиям), e и m – заряд и масса

электрона, δ0 ~ 10−4 −10−3 – параметр столкновений,	k – постоянная Больцмана, ω = 2πf –
круговая частота волны.	проницаемость ε и ее действительная
Относительная комплексная диэлектрическая
часть для изотропной плазмы равны:

						ω2p			ω2p
					ε =1−		,	ε =1−			,
						ω(ω−iν)			ω2 +ν2
			2		1
					2
где	ωp	=	e N		– плазменная частота			электронов, N		– их концентрация, ε0 –
			ε0m

диэлектрическая постоянная вакуума.

Для показателей преломления и поглощения справедливы следующие соотношения:

65

Глава 6. Нелинейные эффекты в плазме 6.1. Основные понятия и соотношения

		ω2			1		ω2pν
					2	κ =				.
n = ε = 1	−	p			,
		2					2	2
			2						)n
		ω +ν					2ω(ω +ν

В стационарном случае возмущенные значения Те (в результате нагрева электронов) и N (за счет электрострикции) приближенно равны:

Te

=Te 0

E02

E2

1

+

,

N = N

exp

−

0

.

E

2

E2

0

p

c

Вслабо и сильно ионозированной плазме справедливы следующие зависимости:

ν= ν0 Te 12 ,

T∞

ν= ν0 Te −32 .

T∞

Всистеме СИ соотношение, связывающее плотность потока энергии q и напряженность

поля, имеет равен:

	q =	P	=	E2	,
		S		240π

где P и S – мощность и сечение пучка. При изотропном излучении S = 4πR2 , где R – расстояние от излучателя.

66

Глава 6. Нелинейные эффекты в плазме 6.2. Примеры

6.2. Примеры

Пример 1

Для

теплового

самовоздействия

пучка

в

столкновительной плазме с частотой

1

соударений ν = ν0 (Te / Te0 )2 оценить величины критического поля Екр,

критической мощности

Ркр , при которых наступает эффект самоканалирования, а также фокусное расстояние Rф.

Принять, что:

f p0 = 3 109 Гц, f

=1010 Гц,

ν0 = 3 109 c−1 c–1,

r0

= 3

см, Te =Te0

(1+ E2 / Ep2 ), где

Ер – плазменное поле, δ

0

= 2 10−3 , r – толщина пучка.

0

Решение

Условие самоканалирования имеет вид:

εнл

~

1

,

k =

2π.

k

2r

2

ε

л

λ

0

Определим последовательно εл, εнл, Ep . Сначала, подставляя в выражение для εл

числовые значения параметров, убедимся, что

2

2

εл

=1−

ωp0

≈1−

ωp0

≈1.

2 2

2

ω +ν0

ω

Так как εнл = ε−εл , то

2

2

T

ω2p0 (ν2 −ν02 )

ω2p0 (ν2 −ν02 )

ωp0

ν0

e

−1

ω2p0ν02

T

E2

εнл =

≈

=

e0

=

(ω2 +ν02 )(ω2 +ν2 )

ω4

ω4

ω4

Ep2

Вычислим E p2 :

3kTe0mδ0 (

ω2 +ν02 )

2

6 B 2

Ep

=

≈

3 10

;

e

2

м

тогда

Ep ≈1,7 103 мB .

Из условия самоканалирования имеем:

ω2p0ν02		Eкр2			1
				~				.
4		E	2		2	r	2
ω			p		k
						0

После подстановки числовых значений получаем

Eкp ≈ Ep				~ 10					4	B
									,
										м
			E2	S
P	≈		кp				~ 102 Вт,
кp			240π
R		~ a				εл			≈	a	.
фкр					εнл					εнл

67

Глава 6. Нелинейные эффекты в плазме

6.2.Примеры

Сдругой стороны

Rфкр ~ kr02 = 2πλr02 ≈ 20 см.

Пример 2

Полагая, что в результате нагрева высокочастотным (ω>>ν) электромагнитным полем коэффициент поглощения волны изменяется по закону

α = α0 1+θ2 ,

где θ = Te дается уравнением

Te0

θ =1+ E2 ,

Ep2

а Ер – плазменное поле, получить выражение для амплитуды и множителя самовоздействия как функции пройденного расстояния. Проанализировать их поведение в глубине плазмы, а также для случая очень сильной волны на границе плазмы.

Решение

Переходя от укороченного уравнения для амплитуда волны Е к ее интенсивности Е2,

имеем

dE2 = −2αE2

или

dx

dE2

= −2α

2

E2 .

dx

1

+θ

Введем y = E2 / Ep2 и исключим θ =1+ y из уравнения для y:

dy

= −4α

y

.

dx

0 y

+

2

Решение этого уравнения имеет вид:

y2ey = Ce−4α0x .

Из граничного условия при x=0, E=E(0) следует, что y=y0 , где y

= E2 (0) / E2 . Тогда

0

p

y2ey = y02ey0 e−4k0 ;

k0 = α0 x.

При 4k0 >>1 имеет место y → 0 , а значит

2

2

y

−4k

1 y

0

−2k

y

≈ y

0 ,

y ≈ y

e2

e

e 0 e

0 .

0

0

Отсюда

E2 (0)

E2 (0)

E (x)≈ E (0) e

4E2p

e−k0 ,

P∞ (x)≈ e

4E2p

.

Легко видеть,

что P∞ >1,

т.

е. имеет место эффект самопросветления плазмы. При

E2 (0)>> Ep2 имеем

P∞ >>1. В нелинейной теории

E (t )

уменьшается с ростом x медленнее,

чем в линейной.

68