методичка черногор

Глава 6. Нелинейные эффекты в плазме 6.2. Примеры

Пример 3

Диэлектрическая проницаемость плазмы с соударениями равна:

ε =1−	ω2p0		,
	2	2
	ω +ν

где ν=ν(Te) – частота соударений, Te – температура электронов. Определить, при каком соотношении между ν и ν0=ν(Te0) имеет место эффект самофокусировки электромагнитного пучка.

Рис. 6.1. Зависимость Е от x: 1 – в линейной теории, 2 – в нелинейной.

Рис. 6.2. Зависимость P от x.

Рис. 6.3. Зависимость Е от E(0): 1 – в линейной теории, 2 – в нелинейной

Решение

Самофокусировка имеет место при εнл > 0 . Вычислим εнл =ε−εл:
			ω2p0				ω2p0				ω2p0 (ν2 −ν02 )
ε		=1−			− 1	−				=					.
	нл		2	2			2				2 2	2	2	)
								2
			ω +ν				ω +ν0				(ω +ν0 ) (ω +ν

69

Глава 6. Нелинейные эффекты в плазме 6.2. Примеры

Тогда εнл > 0 , если ν > ν0 . Следовательно, при нагреве электронов εнл должно увеличиваться. Это имеет место в слабо ионизированной плазме.

70

Глава 6. Нелинейные эффекты в плазме 6.3. Задачи для самостоятельного решения

6.3. Задачи для самостоятельного решения

6.1

Для теплового самовоздействия электромагнитного пучка в столкновительной плазме с частотой соударений

ν= ν0 Te 12

Te0

оценить величины критического поля Екр, критической мощности Ркр, при которых

наступает эффект самоканалирования, а также фокусное расстояние Rф.
Принять, что ν0 = 6 109 c−1, Te0 = 300 Κ, δ0		= 2 10−3 , Te =Te0 (1+ E2 / Ep2 ), f p0 = 3 109 Гц,
a) r0=4 cм,		f = 3 1010	Гц,
б) r0=2 cм,		f = 5 1010	Гц,
в) r0=4 cм,		f = 5 1010 Гц ,
г)	r0=1.5 см,	f = 7 1010	Гц .
Здесь r0 – толщина пучка,	Те – температура электронов, Ер – плазменное поле, f –
частота волны.

6.2

Полагая, что в результате электрострикции концентрация электронов в плазме изменяется по закону:

N= N0 1− E2 ,

Ec2

где E < Ec, Ec – стрикционное поле, вычислить зависимость амплитуды волны и множителя самовоздействия от пройденного пути, проанализировать их поведение в глубине среды, а

также при E (0)→ Ec . Учесть, что коэффициент поглощения волны равен α = α0 N / N0 .

6.3

Полагая, что в результате нагрева электронов плазмы высокочастотной (ω>>ν)

электромагнитной волной коэффициент поглощения изменяется по закону

α = α0 νν0 ,

где ν – частота соударений электронов с нейтральными частицами, вычислить зависимость амплитуды волны и множителя амплитудного самовоздействия от пройденного пути. Проанализировать их поведение в глубине плазмы, а также для случая очень сильной волны на границе плазмы. Принять, что в слабоионизированной плазме (в нижней ионосфере) ν = ν0 (Te /Teo ), а уравнение баланса энергии (температур Te ) электронов имеет вид:

Te =1+ E2 , Te0 Ep2

где Ер – плазменное поле.

6.4

71

Глава 6. Нелинейные эффекты в плазме 6.3. Задачи для самостоятельного решения

Считая, что в результате нагрева электронов высокочастотным (ω>>ν) электромагнитным полем коэффициент поглощения изменяется по закону α = α0 (2 /(1+θ)) .

	где	θ =	Te	дается уравнением баланса энергии электронов:
			T
			e0
				θ =1+	E2	,
					Ep2

E p – плазменное поле. Получить выражения для амплитуды и множителя самовоздействия

волны в зависимости от пройденного расстояния. Проанализировать их поведение в глубине плазмы, а также для случая очень сильной волны на границе плазмы.

6.5

Полагая, что в результате нагрева электронов слабоионизированной плазмы (ν=ν0θ, θ=Te/Te0) высокочастотной (ω>>ν) электромагнитной волной коэффициент поглощения изменяется по закону α = α0 (ν/ ν0 ) = αθ, вычислить нелинейную добавку к фазе в зависимости

от пройденного расстояния. Проанализировать величину эффекта в глубине среды при слабом и очень сильном поле на границе плазмы. Принять, что уравнение баланса энергии электронов имеет вид:

θ =1+ E2 ,

Ep2

где Ер – плазменное поле, а показатель преломления среды равен

n =1	−	1	ω2p		.
		2	2	2
			ω +ν

6.6

Считая, что в результате электрострикции концентрация электронов в плазме изменяется по закону:

N= N0 1− E2 ,

Ec2

где E<Ec,, Ec – стрикционное поле, вычислить нелинейную добавку к фазе, обусловленную самовоздействием высокочастотной (ω>>ν) волны, как функцию пройденного пути.

Проанализировать величину эффекта в глубине				плазмы при E (0)→ Ec . Принять, что
коэффициент поглощения и показатель преломления соответственно равны
α = α0	N	,	n =1	−	1 ω2p
							,
	N0				2	2
						ω

где ωp – плазменная частота.

6.7

Показать, что стрикционное самовоздействие электромагнитного пучка в плазме приводит к его самофокусировке. Принять, что

N= N0 exp − E2 .

Ec2

72

Глава 6. Нелинейные эффекты в плазме 6.3. Задачи для самостоятельного решения

6.8

Амплитуда поля электромагнитной волны в 10 раз превосходит плазменное поле. Во сколько раз изменилась температура электронов в слабо и сильно ионизированной плазме?

6.9

Под действием мощной электромагнитной волны температура электронов увеличилась вдвое. Во сколько раз изменился коэффициент прилипания βa = βa0Te /Te0 и концентрация

электронов N ?

6.10

Амплитуда поля электромагнитной волны в 2 раза превышает стрикционное поле Es. Во сколько раз изменилась концентрация электронов N ?

6.11

Под действием мощной электромагнитной Te увеличилась вдвое, а Ti осталась неизменной. Во сколько раз изменилось N в результате процессов переноса (диффузии и термодиффузии)? Дано, что Te0 = Ti0.

6.12

Пробой плазмы описывается следующим уравнением баланса:

dNdt = qi −αr N 2 ,

где qi = νi N , νi = 109 c–1, αr = 10–13 м3с–1, N0 = 108 м–3.

а) Найти стационарное решение уравнения баланса и вычислить N∞. б) Найти время становления N.

в) Найти нестационарное решение уравнения баланса. Построить график и проанализировать решение.

г) Изучить процесс релаксации а) после выключения поля.

6.13

Процесс прилипания эффективно идет при тройных столкновениях электрона с двумя молекулами воздуха. Получить дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентрации электронов N во времени. Учесть процессы образования электронов и их прилипание. Найти стационарное и нестационарное решения уравнения баланса, а также время становления N.

6.14

По результатам задачи 6.13 вычислить относительное изменение N и tN для земной атмосферы на следующих высотах: z = 0 км, Nn = 3 1025 м–3, β = 10–42 м6с–1, q = 103 м–3с–1; б) z = 30 км, Nn = 3 1023 м–3, q = 103 м–3с–1; в) z = 60 км, Nn = 3 1021 м–3, q = 109 м–3с–1.

73

Глава 7. Нелинейные эффекты в ионосферной и космической плазме 7.1. Основные понятия и соотношения

7.НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ИОНОСФЕРНОЙ

ИКОСМИЧЕСКОЙ ПЛАЗМЕ

7.1. Основные понятия и соотношения

Краткие сведения о геокосмосе. Земля окружена газовой оболочкой, называемой атмосферой. Ее параметры в основном изменяются с высотой z. В изотермической атмосфере, когда температура газа Tn(z) = const, для давления p и концентрации нейтралов справедлива

барометрическая формула:
p(z) = p(0) exp(–z/H),	Nn(z) = Nn(0) exp(–z/H),

где H = kTn / mng ~ 10 км – приведенная высота, m – масса молекул, g – ускорение свободного падения.

Под действием электромагнитного и корпускулярного излучения Солнца атмосфера на высотах z ≥ 50 км ионизируется. Ионизированная часть атмосферы называется ионосферой.

Верхняя граница последней находится на высоте z ≈ 1000 км.	При z ≤ 200 км	ионосфера
представляет собой слабо ионизированную плазму в том смысле,	что νen >> νei.	На высотах
z ≥ 200 км плазму можно считать сильно ионизированной (νei >> νen).
Высотные профили концентрации электронов приведены на рис. 7.1.

z, км

300

200

100				2
		C	D	1

F	F
		Рис.	7.1.	Зависимость
		электронной		концентрации	от
E	E	высоты:1 – день; 2 – ночь

108

109

1010

1011 N, м

Ионосфера состоит из областей, или слоев: С (z ≈ 50 – 70 км), D (70 – 90 км), E (90 – 120 км) и F (120 – 1000 км). Кроме того, ионосферу условно делят на нижнюю (50 – 100 км),

74

Глава 7. Нелинейные эффекты в ионосферной и космической плазме 7.1. Основные понятия и соотношения

среднюю (100 – 300 км), и внешнюю (300 – 1000 км). Параметры ионосферы существенно зависят от времени суток, сезона, солнечной активности и магнитной возмущенности. Однако во всех случаях сохраняются области ионосферы и ее главный максимум на высотах ~ 300 – 400 км для дня и ночи соответственно. Его появление обусловлено действием двух конкурирующих процессов: падением Nn(z) и диффузионными процессами на больших высотах и постепенным поглощением ультрафиолетового излучения Солнца на меньших высотах.

При z ≤ 100 км динамические процессы (ветры, вихри и т. п.) в ионосфере примерно такие же, как и в нейтральной атмосфере. На высотах z ≥ 100 км все больше сказываются электродинамические процессы (токи, электромагнитные силы и т. д.), а также влияние геомагнитного поля. Роль последнего становится определяющей на высотах z ≥ 1000 км, в так называемой магнитосфере. Под магнитосферой понимается часть околоземного пространства, заполненного геомагнитным полем и захваченными им частицами. Захваченные геомагнитными ловушками частицы образуют радиационный пояс Земли. Частицы движутся по

спиральным траекториям вдоль силовых линий B , а также дрейфуют в поперечном по

отношению к B направлении (электроны на восток, а протоны на запад). Условно принимается, что верхняя граница магнитосферы находится на расстояниях ~ 10RЗ (RЗ – радиус Земли). За счет солнечного ветра (т. е. потока плазмы с “вмороженным” магнитным полем) магнитосфера является асимметричным образованием.

Механизмы нелинейных явлений. Для околоземной среды, в принципе, могут иметь место следующие механизмы:

9тепловой;

9стрикционный;

9ионизационный;

9релятивистский.

Характерные поля удовлетворяют неравенствам

Ep << Es << Ei << Er.

Тепловая (или нагревная) нелинейность проявляется в весьма слабых полях. Например, для ω ~ 106 с–1 (или f ~ 105 Гц) в нижней ионосфере Ep~10–2 – 10–1 В/м. Такие поля создаются

установкой с эффективной мощностью PG ~ 105 Вт. Заметим, что еще в 1960-е гг. была создана система с PG ~ 109 Вт на частоте f ~ 1 МГц. При этом Ep ~ 10–1 – 1 В/м, E ~ 1 – 10 В/м.

Тепловая нелинейность существенна во всех областях ионосферы и в магнитосфере. При стрикционном механизме нелинейности Es ≈ (10 – 100)Ep. Эта нелинейность

осуществляется при ω >> ν, а также L << le (L – характерный масштаб неоднородности поля, le

– длина свободного пробега электронов). Она имеет практическое значение в F-области ионосферы и в магнитосфере.

Ионизационный механизм нелинейности практически еще не использовался. Релятивистский механизм для околоземной плазмы малосущественен. Кросс-модуляция радиоволн. Мощная модулированная по амплитуде радиоволна E1,

распространяясь в ионосфере, модулирует ее параметры и, прежде всего, Te и эффективную частоту соударений электронов ν. Эти возмущения сказываются на амплитуде другой радиоволны E2, которая после прохождения возмущенной области также становится модулированной по амплитуде (и фазе). Этот эффект называется кросс-модуляцией, или перекрестной модуляцией. Он относится к классическим нелинейным эффектам в ионосфере.

Предположим, что мощность (интенсивность) возмущающей волны изменяется по гармоническому закону:

E12 = E102 (1 + cosΩt),

75

Глава 7. Нелинейные эффекты в ионосферной и космической плазме

7.1. Основные понятия и соотношения

μ – глубина модуляции, Ω – частота модуляции. Тогда в приближении малых возмущений при

вертикальном падении возмущающей и возмущаемой радиоволн на нижнюю ионосферу

выражение для глубины кросс-модуляции принимает вид:

1

γ(0)μ

ω2

−ν2

ω2

+ν2

(1−e

−2K

),

μΩ = 2

2

0

1

0

10

(7.1)

1+Ω2

ω22

+ν02

ω22 +ν02

1

где

γ(0) = E2 (0) / E2

–

безразмерная

интенсивность

возмущающей

волны

на

границе

10

p1

ионосферы (считается,

что

γ(0)

1),

ω1,

ω2 –

частоты

возмущающей и

возмущаемой

радиоволн, ν0 – частота соударений электронов с нейтралами в невозмущенной нижней

ионосфере, K10 – интегральный коэффициент поглощения возмущающей радиоволны в

невозмущенной

нижней

ионосфере,

Ω1 = Ω / δ0ν0,

δ0 = 3 10–3

–

параметр

столкновений

электронов с нейтралами.

Самомодуляция радиоволн. Возмущения оказывают обратное влияние на волну E1. При

этом она приобретает дополнительную модуляцию:

E12 = E102

(1+μ cos Ωt )(1−μΩ cos(Ωt −ϕΩ )),

где μΩ приближенно дается выражением, аналогичным выражению для μΩ в теории кросс-

модуляции, в котором необходимо положить ω1 = ω2:

1

γ(0)μ

ω2

−ν2

(1−e

−2K

).

μΩ = 2

1

0

10

(7.2)

1+Ω2

ω12

+ν02

1

Важно, что |μΩ | ≤ μ. При этом в спектре модуляции волны E1 появляются гармоники с

частотой 2Ω. Процесс искажения формы модуляции сильной радиоволны иллюстрируется на

рис. 7.2.

μ

1

a

μ

1

Рис. 7.2. Зависимость формы модуляции:

б а – в линейной теории;

б – в случае эффекта помутнения плазмы;

в – в случае эффекта просветления плазмы

μ

1

в

Самомодуляция радиоволны также является классическим эффектом, который, как и

кросс-модуляция, нежелателен при ионосферной радиосвязи и радиовещании. Эти нелинейные

эффекты ограничивают мощность радиостанций ДВ и СВ диапазонов величиной PGmax ~ 100 –

500 кВт.

Современные эффекты. К ним относятся генерация самофокусировочной, резонансной,

параметрической, распадной и других типов неустойчивостей, а также эффект Г. Г. Гетманцева,

76

Глава 7. Нелинейные эффекты в ионосферной и космической плазме 7.1. Основные понятия и соотношения

генерация солитонов в геокосмосе, крупномасштабных (глобальных) возмущений в геокосмосе и др.

Исследования воздействия мощного радиоизлучения на атмосферу и геокосмос представляют интерес с прикладной точки зрения. Сюда относится создание новых каналов радиосвязи, основанных на ракурсном рассеянии радиоволн, на отражении радиоволн от искусственного плазменного зеркала в атмосфере и т. п. Возмущения, создаваемые мощным радиоизлучением, могут быть как полезными (например, для управления распространением радиоволн различных диапазонов или диагностики геокосмической плазмы), так и вредными (например, возмущения ограничивают мощность перспективных солнечных энергетических станций, возмущения могут создавать новые экологические проблемы и т. д.).

77

Глава 7. Нелинейные эффекты в ионосферной и космической плазме 7.2. Примеры

7.2. Примеры

Пример 1

Вычислить величину плазменного поля в нижней ионосфере для радиоволны, имеющей частоту f1 = 1 МГц и мощность P1 = 1 МВт. Считать, что ν0 = 106 с–1, Te0 = 250 К, δ0 = 3 10–3.

Решение

По определению

			E2	=	3kT	mδ	(ω2	+ν2 )	,
					e0	0	1	0
						e2
			p
где	ω = 2πf ,		k ≈ 1,4 10–23 Дж / К		–	постоянная				Больцмана, m = 9,1 10–31 кг,
	1	1

e = 1,6 10–19 Кл.

Вычисляя, получим Ep ≈ 0,20 В / м.

Пример 2

Для условий предыдущего примера вычислить напряженность электрического поля радиоволны на высоте z = 75 км, если интегральный коэффициент поглощения K10 = 0,5.

Указание. В этой и других подобных задачах напряженность электрического поля радиоволны на расстоянии R от радиопередающего устройства в системе СИ рассчитывать по формуле:

	60PG
E (R) =	1 1	e−K10	,
1	R

где P1 – мощность радиопередающего устройства, G1 – коэффициент усиления антенны.

Решение

Так как радиостанция вещательная, то G ≈ 1. Поэтому при R = z = 75 км

E =	60 106 1	e−0,5	≈ 6,3 10−2	В / м.
1	7,5 104

Пример 3

Исходя из условий, приведенных в примерах 1 и 2, вычислить величину относительного изменения температуры электронов и частоты соударений электронов с нейтралами. Считать, что частота соударений пропорциональна температуре электронов.

Решение

Из стационарного решения уравнения баланса электронов следует, что

		T −T				=	E2
			e		e0		10		.
				T			E2
				e0				p1
Тогда
ν−ν				=	T −T			=		E2
			0		e	e0				10	.
ν	0				T					E2
						e0				p1

Производя вычисления, получим, что относительные возмущения и температуры, и частоты соударения примерно равны 0,1.

Пример 4

78