методичка черногор

Глава 7. Нелинейные эффекты в ионосферной и космической плазме 7.2. Примеры

Исходя из условий, приведенных в примерах 1, 2 и 3, вычислить глубину кроссмодуляции, если частота f2 = 2 МГц, F = 1 кГц – частота модуляции, μ = 0,2.

Решение

Воспользуемся формулой (7.1):
μΩ =	1	γ(0)μ ω2 −ν2		ω2	+ν2	(1−e	−2K	).
	2	1+Ω2 ω22	+ν02	ω22	+ν02		10
		2	0	1	0
		1

Подставляя в нее числовые значения, получим, что μΩ = 7,4·10–3.

Пример 5

Исходя из условий, приведенных в примерах 1, 2, 3 и 4 оцените глубину самомодуляции.

Решение

Воспользуемся формулой (7.2):

μΩ =	1	γ(0)μ ω2	−ν2	(1−e	−2K	),
	2	1+Ω2 ω12	+ν02		10
		1	0
		1

Подставляя в нее числовые значения, получим, что μΩ = 7,4·10–3.

79

Глава 7. Нелинейные эффекты в ионосферной и космической плазме 7.3. Задачи для самостоятельного решения

7.3. Задачи для самостоятельного решения

7.1

В 1925 г. Бейли предложил осуществить пробой в ионосфере на высоте около 100 км при помощи мощной вещательной радиостанции, работающей на гирочастоте электронов. Мог ли быть реализован этот замысел, если мощность радиостанции не превышала 100 кВт? Принять, что на высоте в 100 км частота соударений равна 105 с–1, интегральный коэффициент поглощения K = 0,1 и 1,15 для ночного и дневного времени суток соответственно.

7.2

Оценив возмущение температуры электронов, проверить, может ли наблюдаться эффект кросс-модуляции, если мощность радиовещательной станции составляет 150 кВт, частота радиоволны – 100 кГц. Влиянием магнитного поля пренебречь. Принять частоту соударений электронов, равной 105 с–1, невозмущенную температуру электронов – 300 К, относительную долю энергии, теряемой электроном при столкновении с тяжелой частицей – 3 10–3, интегральный коэффициент поглощения волны – 0,5 и 2,3 для ночного и дневного времени суток соответственно.

7.3

Оценить роль эффекта самомодуляции для вещательной радиостанции мощностью 1,5 МВт. Частота излучения 500 кГц. Принять частоту соударений равной 105 с–1.

7.4

При пробое атмосферы на высоте 30 км образовалась концентрация электронов 1022 м–3. Оценить частоту радиоволны, которая еще сможет отражаться от искусственной ионизированной области.

7.5

Параметры солнечной энергетической станции таковы: мощность – 10 ГВт, коэффициент усиления антенны – 109, частота радиоволны – 3 ГГц. Может ли СВЧ пучок произвести заметные возмущения в максимуме ионизации (F-области ионосферы)? К чему это приведет?

7.6

Оценить эффективную площадь рассеяния при ракурсном рассеянии радиоволн частотой

30 – 300 МГц.

7.7

Исходя из выражения для глубины кросс-модуляции в ионосфере:

а) построить зависимости глубины кросс-модуляции от частот возмущающей и слабой радиоволн;

б) оценить глубину кросс-модуляции при напряженности поля возмущающей радиоволны, равной плазменному полю. Считать, что глубина модуляции равна 1, частота

модуляции	Ω δ	ν	0	. Рассмотреть случаи, когда ω2	ν2	и ω2	ν2 .
	0			2	0	2	0
7.8

80

Глава 7. Нелинейные эффекты в ионосферной и космической плазме 7.3. Задачи для самостоятельного решения

При ракурсном рассеянии радиоволн высота рассеивающей области равна 300 км. Вычислить максимальную дальность радиосвязи.

7.9

Оценить частотную емкость радиодиапазонов от ОНЧ до ГВЧ и количество каналов связи (радиотелеграф, радиовещание с AM и FM, телевидение, INTERNET) и максимальную дальность распространения радиосигналов.

7.10

Мощность вещательного радиоцентра составляет 0,5 МВт. частота радиопередающего устройства – 1 МГц. Оценить возможность проявления теплового механизма нелинейности и эффектов кросс-модуляции и самомодуляции. Параметры ионосферного слоя на высоте 80 км

следующие: температура электронов – 250 К, частота соударений электронов с нейтралами –

106 с–1.

7.11

Для создания искусственного плазменного зеркала требуются два радиопередающих устройства с импульсной мощностью 1 ГВт, длительностью импульса 10 нс, частотой повторения импульсов 1 кГц. Оценить среднюю и потребляемую мощности, если КПД системы составляет 20 %. Реализуема ли такая система?

81

Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики 8.1. Основные понятия и соотношения

8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ РАДИОФИЗИКИ

8.1.Основные понятия и соотношения

Взадачах этого раздела одновременно присутствуют две трудности – нелинейность и стохастичность процессов. Такие процессы описываются нелинейными стохастическими дифференциальными уравнениями (СДУ). Для их решения разработан ряд методов.

Метод усреднения точного решения СДУ применяется тогда, когда удается аналитически решить исходное СДУ. Далее вычисляются необходимые моменты для решения x(t). Особенно просто обстоит дело для линейных уравнений вида:

			ˆ	(8.1)
			Lx (t )= ξ(t ),
ˆ			– заданный случайный процесс. Если существует обратный
Где L – линейный оператор, ξ(t )
оператор	−1	ˆ	а значит
	L1 = L	, то x (t )= L1ξ(t ),

x(t) = L1 ξ(t),

Rx (t1 ,t2 )= x(t1 )x(t2 )= L1 (t1 )L2 (t2 )Rξ (t1 ,t2 ),

где Rx и Rξ – соответствующие ковариационные функции. При решении нелинейных СДУ вида:

ˆ	(	x	)	+ ξ(t ),							(8.2)
Lx = f
целесообразно использовать следующие приближенные методы.
Методы линеаризации сводятся к разложению f(x) в ряды типа:
f (x)≈ f (x0 )+ f ′(x0 )(x − x0 ),			f (x)≈ f (			)+ f ′(		)(x −		),
					x		x		x

т. е. линеаризации (8.2), после чего СДУ решается также, как (8.1).

Метод статистической линеаризации предполагает замену четной функции f(x) на α, а нечетной f(x) – на βx. Константы α и β находятся из дополнительных условий. Часто, например, можно потребовать минимизации функционалов:

J (α)= (α − f (x))2 ,

J (β)= (βx − f (x))2 ,

откуда

82

Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики 8.1. Основные понятия и соотношения

β =

.

α =

,

x f (x)

f (x)

При этом для вычисления f (x) ,

x2

x 2

и

x f (x)

задаются законом распределения

плотности вероятности процесса x(t).

Метод уравнения Дайсона для средних

ˆ = ˆ

Lx N (

полезен при решении уравнений типа:
x, ξ) + f (t ),	(8.3)

где ξ(t) , f (t)– случайные процессы,

N – нелинейный оператор. Сначала из (8.3) получают

уравнение для

~

= x − x . Оно имеет вид:

x

ˆ

ˆ

ˆ

(8.4)

Lx

= N

−N + f − f

N линеаризуют по

~

Оператор

и ξ = ξ− ξ и приходят к такому выражению

x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

(x,ξ)+

∂N

x +

∂N

ξ,

N

(x,ξ)≈ N

∂x

∂ξ

x ,

,ξ

ξ

x

ˆ

откуда

ˆ

N (x,ξ) ≈

N (x, ξ). При этом

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

∂N

x +

∂N

ξ ≡ βx + γξ,

N (x,ξ)− N (x,ξ) ≈

∂x

∂ξ

x ,

x ,

ξ

ξ

β =

ˆ

;

ˆ

;

∂N

γ =

∂N

∂x

x ,

∂ξ

x ,

ξ

ξ

а соотношение (8.4) сводится к такому

ˆ

f = f − f .

~

Lx ≈ β x + γ ξ+ f ,

в первом приближении принимает вид:

Отсюда решение для x

(1)

ˆ

x ≈ x

=

(γξ + f )≡ F1 (x,ξ, f ).

~ (1)

L1

, можно вычислить:

Зная x

ˆ

(1)

ˆ

≈

(x

)≡ F2 (x )+ f

N

N

и получить уравнение Дайсона для x

ˆ	(x )+ f .
Lx ≈ F2

83

Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики 8.2. Примеры

8.2. Примеры

Пример 1

Путем усреднения точного решения нелинейной задачи вычислить A(t ), A2 (t ) и σA2 (t)

процесса, описываемого выражением:

A(t )= A0e− ξ , ξ = x −ut.

Заданы следующие моменты случайного процесса A0 (t ): A0 и σ02 .

Решение

По определению

A(t )= A0e− ξ = A0e− ξ , A2 (t )= (A0e− ξ )2 = A02e−2 ξ ,

σ2A (t )= A2 (t )− A(t )2 .

Отсюда

A(t )= A0e− ξ , A2 (t )= (σo2 + A0 2 )e−2 ξ ,

σ2A (t )= σ02e−2 ξ .

Пример 2

Считая, что x <<1, и используя метод линеаризации, решить стохастическое

дифференциальное уравнение

dx

= shx +ξ(t ),

x (0)= 0.

dt

где ξ(t ) – заданный случайный процесс. Вычислить

, если ξ(t )=0.

x (t )

Решение

При

x

<<1 функция shx ≈ x .Тогда

dx − x = ξ(t ),

x (0)= 0.

(8.5)

dt

Решение соответствующего однородного уравнения

dx0

− x

= 0

dt

0

имеет вид:

x0 (t )= Cet .

(8.6)

Тогда решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной, полагая C = C(t) . Подставим (8.6) в (8.3) и получим

dCdt et = ξ(t ),

откуда

C (t )= ∫ξ(t′)e−t′dt′.

t

84

Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики 8.2. Примеры

Общее решение неоднородного уравнения (8.5) имеет вид

				x(t) = et ∫t			ξ(t′)e−t′dt′ .
						t0
Из начального условия следует, что t0=0. Тогда
				x (t )= et ∫t			ξ(t′)e−t′dt′,
						0
					= et ∫t			e−t′dt′ = 0 .
			x (t )			ξ(t′)
				0
Пример 3
Используя	метод	статистической						линеаризации,	решить	стохастическое
дифференциальное уравнение:		dx
				= shx +ξ(t ), x (0)= 0 ,
		dt

где ξ(t) – заданный случайный процесс. Закон распределения х – нормальный с x = 0 и дисперсией σ2x .

Решение

Так как функция f (x)= sh (x) – нечетная, то заменим f(x) на βx и потребуем

( f (x)−βx)2 = min ,

откуда

β= x f (x) .

x2

Поскольку x2 = σ2x , так как x = 0 , остается вычислить

			1	+∞	−	x2	σ2x
	x f (x)	=		−∞∫	x shxe 2σ2x dx = σ2xe 2 .
			2πσx

1 σ2

Тогда β = e2 x . Далее решаем уже линеаризованное уравнение

dxdt =βx +ξ(t).

Поскольку решение однородного уравнения имеет вид x0 (t )= Ceβt ,

то решение неоднородного уравнения таково:

x (t )= eβt ∫t ξ(t′)e−βt′dt′.

t0

Сучетом начального условия t0=0 получаем

x(t )= eβt ∫t ξ(t′)e−βt′dt′,

0

1		2
где β = exp	2	σx	.

85

Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики 8.2. Примеры

Пример 4

Получить уравнение Дайсона для стохастического дифференциального уравнения

dx	= xξ,	x (0)=1,
dt

где ξ(t ) – случайный процесс с ξ = 0 , Rξ (t,t′)= σξ2δ(t −t′).

Решение

После усреднения исходного уравнения имеем:

ddtx = xξ.

Тогда для x = x − x получим:

dxdt = xξ− xξ.

Линеаризуем нелинейный функционал xξ :

xξ = (x + x)(ξ+ξ)≈ x ξ.

При этом xξ ≈ x ξ = x ξ = 0 . Отсюда

dx	= xξ.	(8.7)
dt

Решение (8.7) имеет вид:

t

x (t )≡ x(1) (t )= x ∫ ξ(t′)dt′+C . 0

Так как x (t )= 0 , то C = 0. Тогда

xξ ≈ (x + x(1))ξ = xξ+ x(1)ξ = x ξ +

t					t
	′		′	= x			′
= x ∫ ξ(t) − ξ(t )dt					∫ Rξ(t,t )dt
0					0
Так как 0 ≤ t′ ≤ t , то
	t			′		′	=1,
	∫δ(t −t )dt

t

x(1)ξ = x(1)ξ = ξ(t)x ∫ ξ(t′)dt′ =

0

t

′ = xασξ2 ∫ δ(t −t′)dt′. 0

xξ = αxσξ2 .

0

Следовательно, уравнение Дайсона имеет вид: ddtx ≈ αxσξ2 .

Его решение дается выражением

= ασ2t = ασ2t

x(t) Ce ξ x(0)e ξ .

Окончательно для x(t) ≈ x + x(1)(t) получим

t

x(t) ≈ x(0)eασξ2t + x(1) (t) = x(0)eασξ2t + x ∫ξ(t′)dt′.

0

86

Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики 8.3. Задачи для самостоятельного решения

8.3. Задачи для самостоятельного решения

8.1

Путем усреднения точного решения нелинейной задачи вычислить A(t) , A2 (t) , σ2A (t)

для процесса, описываемого выражением:

a) A(t) = A0eλt ,

б) A(t) = A0ch−1ξ, ξ = x −ut, в) A(t) = A0ch−2ξ, ξ = x −ut,

г)	A(t) = A e	−ξ2	ξ = x −ut.
		,
	0

Заданы следующие моменты случайного процесса А0(t): A0 и дисперсия σ02 .

8.2

Считая, что x <<1, и используя метод линеаризации, решить стохастическое дифференциальное уравнение:

dx	= f (x) +ξ(t),	x(0)=0,
dt

где ξ(t) – заданный случайный процесс, для случаев:

а) f (x)= e−x ,

в) f (x)= (1+ x)2 ,

x 3

б)

f (x)= sin x ,

г) f (x)= 1−

.

3

Вычислить

, полагая

= 0 .

x (t )

ξ(t )

8.3

Используя

метод

статистической

линеаризации,

решить

стохастическое

дифференциальное уравнение:

dx

= f (x)+ξ(t ),

x (0)= 0,

dt

где ξ(t )– заданный случайный процесс. Принять, что:

а)	f (x) = sin x,	в)	f (x) =1+ x2 ,
б)	f (x)= x3 ,	г)	f (x)= cos x.

Закон распределения х – нормальный с x = 0 и дисперсией σ2x .

8.4

Получить уравнение Дайсона для стохастического дифференциального уравнения:

dx	= f (x)+ξ(t ),	x (0)= 0,
dt

где ξ(t )– заданный случайный процесс. Принять, что:

а) f (x)= cos x ,

в) f (x)= x3 ,

87

Глава 8. Математические методы нелинейной статистической радиофизики 8.3. Задачи для самостоятельного решения

б) f (x)= sin x ,

г) f (x)=1+ x2.

88