7.6. Ламинарное и турбулентное движение. Число Рейнольдса

Известны два вида течения жидкости (газа) – ламинарное, при котором жидкость как бы разделяется на слои, скользящие друг относительно друга, не перемешиваясь, и турбулентное, при котором возникает энергичное перемешивание жидкости. Характер течения определяется числом Рейнольдса , где- плотность жидкости,- средняя по сечению трубы скорость потока,- коэффициент вязкости ,- характерный для поперечного сечения размер, например, радиус. Начиная с некоторого определенного значения, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер. Если в качестве характерного параметра для круглой трубы взять ее радиус, то критическое значение числа Рейнольдса примерно равно 1000.

Отношение называется кинематической вязкостью. Тогда.

7.7. Течение жидкости в круглой трубе

При движении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенок трубы и максимальна на оси трубы. Считая движение ламинарным, определим закон изменения скорости с расстояниемr от оси трубы.

Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины

(рис.7.13). При стационарном течении по трубе постоянного сечения скорости всех частиц жидкости остаются неизменными. Следовательно, сумма внешних сил, действующих на выделенный объем жидкости, равна нулю. На основания рассматриваемого цилиндрического объема действуют силы давления, сумма которых равна . Эта сила действует в направлении движения жидкости. На боковую поверхность цилиндра действует сила трения. Условие стационарности имеет вид.

Скорость убывает с расстоянием от оси трубы, следовательно,

Разделим переменные:

.

Проинтегрировав получаем:

.

Подставив граничные условия (на стенках трубы при r=R скорость равна нулю), находим постоянную интегрирования:

.

Тогда закон изменения скорости

На оси трубы .

Окончательно имеем:

Таким образом, при ламинарном течении скорость изменяется с расстоянием от оси трубы по параболическому закону.

При турбулентном течении скорость меняется беспорядочно.

Вычислим поток жидкостиQ (объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы за единицу времени) при ламинарном течении. Разобьем поперечное сечение трубы на кольца ширины dr (рис.7.14).

Через кольцо радиуса r пройдет за секунду объем жидкости

.

Проинтегрировав, получаем:

,

Здесь S – площадь поперечного сечения трубы. Подставив значение, получаем:

.

Это формула Пуазейля, из которой следует, что поток жидкости пропорционален перепаду давления на единице длины трубы и четвертой степени радиуса.

7.8. Движение тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивление при обтекании тел

При движении в жидкости или газе на него действуют силы, равнодействующая которых имеет две составляющие-, направленную противоположно движению тела и называемую лобовым сопротивлением, и, перпендикулярную к движению и называемую подъемной силой (рис.7.15).

На тело, симметричное относительно направления движения действует только лобовое сопротивление, подъемная сила в этом случае равна нулю.

В идеальной жидкости равномерное движение происходит без лобового сопротивления. Жидкость свободно скользит по поверхности тела, полностью обтекая его (рис 7.16).

В вязкой жидкости полного обтекания не происходит. Действие сил трения в поверхностном слое приводит к тому, что поток отрывается от поверхности тела, в результате чего позади тела возникают вихри (рис.7.17).

Давление в этой области оказывается пониженным, поэтому результирующая сила давления будет отлична от нуля и является причиной лобового сопротивления. Таким образом, лобовое сопротивление складывается из сопротивления трения и сопротивления давления. Соотношение между сопротивлением трения и сопротивлением давления определятся числом Рейнольдса. При малых его значениях основную роль играет сопротивление трения, при больших – сопротивление давления.

При малых Re, т.е. небольших скоростях движения тел, сила сопротивления пропорциональна коэффициенту динамической вязкости , скорости движения тела относительно жидкости и характерному размеру тела. Эта зависимость была установлена Стоксом, поэтому сила носит название силы Стокса. Коэффициент пропорциональности зависит от формы тела. Для шарика движущегося в жидкости эта сила равна.