Теперь воспользуемся равенством . Вычтем (1.17) из (1.18). В результате после сокращений получим:

,

Или Отсюда

т.е. длина волны рассеянного фотона становится меньше и его энергия увеличивается.

Рассмотрим некоторые примеры рассеяния фотонов.

1. Давление света. Плоский световой поток интенсивностиI освещает половину зеркальной сферической поверхности радиуса R. Найдем с помощью корпускулярных представлений силу светового давления, испытываемую сферой. Для простоты будем считать падающий свет монохроматическим с частотой ω. Как это отразится на окончательном результате, мы увидим.

Сначала найдем силу dF, действующую на элементарное кольцо dS (рис.1.19) в направлении оси ОX. При зеркальном отражении каждый фотон передает поверхности импульс ∆p_x (рис. 1.20):

, где p = ħω/c.

Число фотонов, падающих ежесекундно на элементарное кольцо dS (см. рис. 1.19), равно , где. Тогда

.

Частота света сократилась, значит, она не играет здесь роли. Проинтегрировав последнее выражение по θ от 0 до π/2, получим

.

Интересно, что полученный результат в данном случае такой же, как и в случае абсолютно поглощающей поверхности. Кроме того, он в точности совпадает с результатом, полученным с помощью классических волновых представлений.

2. Эффект Доплера. Возбужденный атом, двигавшийся с нерелятивистской скоростью , испустил фотон под угломθ к первоначальному направлению движения атома. Найдем с помощью законов сохранения энергии и импульса относительное смещение фотона, обусловленной отдачей атома. Пусть «закрепленный» неподвижный атом при переходе из возбужденного состояния в нормальное испускает фотон с энергией ћ. Разность энергий указанных состояний атома равна вне зависимости от того, покоится атом, или движется. При испускании фотона свободно движущимся атомом импульс атома изменяется, поскольку испущенный фотон обладает импульсом. Изменится и кинетическая энергия атома. Согласно законам сохранения энергии и импульса (рис. 1.21)

и ,

где Е* - энергия возбуждения атома, Е*=, а.

Исключив из этих двух уравнений p’², получим:

Учитывая, что энергия фотона иперед скобкой можно заменить на (их разность весьма мала), приходим к следующему результату:

где . Полученная формула совпадает с обычным нерелятивистским выражением для эффекта Доплера .

1.5.Тормозное рентгеновское излучение

Если энергия кванта значительно превышает работу вы­хода А, то уравнение Эйнштейна принимает более простой вид:

= . (1.19)

Эту формулу можно интерпретировать и иначе: не как переход энергии светового кванта в кинетическую энергию электрона, а наоборот, как переход кинетической энергии электронов, уско­ренных разностью потенциалов U, в энергию квантов, возника­ющих при резком торможении электронов в металле. Тогда

eU=.

Именно такой процесс происходит в рентгеновской трубке.Она представляет собой вакуумный баллон, в котором находит­ся нагреваемый током катод — источник термоэлектронов, и расположенный напротив анод, часто называемый антикато­дом. Ускорение электронов осуществляется высоким напряже­нием U, создаваемым между катодом и антикатодом.

Под действием напряжения U электроны разгоняются до энергии eU. Попав в металлический антикатод, электроны рез­ко тормозятся, вследствие чего и возникает так называемое тормозное рентгеновское излучение. Спектр этого излучения при разложении по длинам волн оказывается сплошным, как и спектр видимого белого света. На рис.1.22 показаны эксперименталь­ные кривые распределения интен­сивности I_λ (т.е. ) по длинам волн , полученные для разных зна­чений ускоряющего напряжения U (они указаны на рисунке).

И здесь мы обнаруживаем нали­чие коротковолновой границы сплошного рентгеновского спектра. В целом процесс излучения при тор­можении электрона в металле антикатода весьма сложен, но существование коротковолновой границы с корпускулярной точки зрения имеет очень простое объяснение. Действительно, если излучение возникает за счет энергии, теряемой электро­ном при торможении, то величина кванта не может быть бо­льше энергии электрона eU. Отсюда следует, что частота излучения не может превышать значения . Значит, длина волны излучения не может быть меньше, чем где U измерено в кВ, а - в нм.

Существование такой границы является одним из наиболее ярких проявлений квантовых свойств рентгеновского излуче­ния.

По измерению зависимости граничной частоты от ускоряю­щего напряжения можно с высокой точностью определить зна­чение постоянной Планка. При этом получается хорошее согла­сие со значениями, найденными из теплового излучения и фо­тоэффекта, что экспериментально доказывает выполнение соотношения ε=между энергией кванта и частотой для очень широкого диапазона спектра и указывает на универсаль­ность данного соотношения.

Метод определения постоянной Планка, основанный на из­мерении коротковолновой границы тормозного рентгеновского излучения, является наиболее точным. Его называют методом изохромат. Этот метод заключается в том, что спектрометр для рентгеновского излучения устанавливают так, чтобы в счетчик попадало излучение одной и той же определенной длины волны, и измеряют интенсивность I_λ в зависимости от приложенного рентгеновской трубке напряжения U. Уменьшая напряжение U, получают зависимость интенсивности I_λ от напряжения U. Эта зависимость для трех длин волн показана на рис. 1.23. Экстраполируя каждую из кривых до пересечения с осью абсцисс, находят U₀, а затем и постоянную Планка:

,

где е — заряд электрона.