4.2.Распределение Ферми-Дирака для

электронов в металле

Свободные электроны в металле. Электропроводность ме­таллов обусловлена, как известно, наличием в них электронов, которые мы называем свободными. Они не связаны с конкрет­ными атомами и могут практически свободно перемещаться в пределах образца. В первом приближении свободные электро­ны можно рассматривать как идеальный газ из фермионов в прямоугольной потенциальной яме.

Прежде всего, рассмотрим поведение электронного газа при температуре Т = 0. В этом случае функция (4.2) принимает сле­дующие значения:

Соответствующий график показан на рис. 4.1, из которого видно, что заполнены все состояния с энергией <, а состояния с < оказыва­ются незанятыми.

Состояния квантованы, и энерге­тические уровни являются дискрет­ными, но расположены настолько

густо, что энергетический спектр можно считать квазинепрерывным .

В статистике Ферми-Дирака, которой подчиняется элект­ронный газ, принимается во внимание принцип Паули (соглас­но ему в каждом квантовом состоянии может находиться не бо­лее одного электрона). Отсюда следует, что даже между свобод­ными электронами существует какое-то взаимодействие. Однако это взаимодействие не является силовым, а представля­ет собой сугубо квантовый эффект, чуждый классическим пред­ставлениям.

Энергия Ферми. В рассматриваемом случае (Т = 0) величину  называют энергией или уровнем Ферми:  = . Эта энергия яв­ляется максимальной, которую могут иметь свободные элект­роны в металле при T= 0. Найдем .

Для этого сначала определим число квантовых состояний (фазовых ячеек) для свободных электронов с энергиями в интервале .Энергия и импульс элект­рона связаны соотношением. Отсюда и . Поэтому согласно (4.7), т.е. в расчете на единицу объема электронного газа, примет вид

, (4.10)

где введено обозначение

. (4.11)

Зависимость числа квантовых состояний на единицу энергии, , от энергии пред­ставлена графически на рис.4.2. Чтобы определить число свободных электронов dn в интер­вале энергий , надо умножить соответствующее число фазовых ячеек, т.е. (4.10), на среднее число этих электронов в одной ячейке — на функ­цию заполнения f:

. (4.12)

Коэффициент 2 появился в связи с тем, что в каждой фазовой ячейке могут расположиться два электрона (фермиона) с про­тивоположно направленными спинами. В нашем случае (Т = 0) свободные электроны заполняют полностью (f = 1) все кванто­вые состояния с энергиями  < , и мы имеем

. (4.13)

График функции распределения свободных электронов по энерги­ям, т.е. dn/d в зависимости от энергии , показан на рис.4.3. Площадь под этим графиком рав­на концентрации n свободных электронов:

. (4.14)

Отсюда находим  - максимальное значение энергии свободных электронов при T=0. Эта величина и есть энергия или уровень Ферми:

. (4.15)

При получении этого выражения учте­но, что постоянная  определяется формулой (4.11).

Оценим значение . Концентрация n свободных электронов в металлах находится в пределах от 10²² до 10²³ см ^-3. Для сред­него значения n = 510²² получим  = 0,810 ^-11 эрг = 5 эВ.

Средняя энергия свободных электронов. При Т=0, согласно формулам (4.13) и (4.11) получаем

, (4.16)

при значении  = 5 эВ <> = 3 эВ. Классическому газу с такой средней энергией соответствова­ла бы (<> = 3/2kT) температура T ~ 510⁴ К. Эта температура во много раз превосходит температуру плавления любого металла.

Идеальный газ, распределение частиц по энергиям которого сильно отличается от классического, называют вырожденным, что мы и имеем в рассмотренном случае.

Энергия Ферми при Т > 0. Распределение Ферми-Дирака неско­лько размывается в окрестности уровня Ферми (рис.4.4). Это про­исходит вследствие взаимодействия свободных электронов с тепло­вым движением атомов.

Так как средняя энергия теплового движе­ния атомов имеет порядок kT, то область размывания функции имеет тот же порядок kT. Анало­гично деформируется и функция распределения свободных электронов по энергиям, т.е. dn/d (рис. 4.5).

Таким образом, при нагрева­нии металла энергию могут из­менить только те свободные электроны, которые находятся на самых верхних уровнях, при­мыкающих к уровню Ферми. Основная же масса свободных электронов на более низких энергетических уровнях остает­ся в прежнем состоянии и поглощать энергию при нагревании не будет.

Именно в этом ключ к разгадке «странного» поведения элек­тронного газа, вклад которого в теплоемкость практически не заметен, и теплоемкость кристалла практически зависит толь­ко от колебаний атомов решетки.

Имея в виду, что в модели свободных электронов последние находятся в прямоугольной потенциальной яме, распределение электронов изображают для наглядности так, как показано на рис.4.6. Здесь U - глубина ямы, А - работа выхода (наименьшая энергия, которую надо сооб­щить электрону для удаления его из металла, А=U-). Спектр энергетических уровней дискрет­ный (практически квазинепрерыв­ный). Тонированая часть рисунка соответствует части спектра, заполненного свободными электронами.

Энергия Ферми, как показывает расчет, несколько зависит от температуры:

,

где (0) — уровень Ферми при Т = 0, определяемый формулой (4.15). Это энергия, при которой распределение Ферми-Дирака (4.2) при­нимает значение f = 1/2.

4.3.Распределение Бозе-Эйнштейна для фотонного газа

Равновесное тепловое излучение в замкнутой полости пред­ставляет собой совокупность стоячих электромагнитных волн с дискретными частотами. Попытки теоретически объяснить на­блюдаемое распределение спектральной плотности излучения по частотам с классической точки зрения оказались несостояте­льными и породили так называемую «проблему теплового из­лучения». В 1900 г. она была решена Планком путем введения в процесс взаимодействия излучения с веществом идеи кванто­вания.

Эйнштейн сделал следующий шаг. Он предположил, и это подтвердилось экспериментом, что само излучение представля­ет собой фотонный газ, газ идеальный. У фотонов спин равен единице. Значит это бозоны, а они подчиняются статистике Бо­зе-Эйнштейна.

Число фотонов в полости не сохраняется, оно зависит от тем­пературы. А для систем с переменным числом бозонов химический потенциал  = 0, и функция (4.3) принимает вид (4.5), т.е.

.

Для фотонов  = h и р=h/c, поэтому число квантовых со­стояний (фазовых ячеек) в интервале частот (, +d) в расче­те на единицу объема фотонного газа равно согласно (4.7)

.

Графики функций f и dZ/d для фотонного газа представле­ны на рис. 4.7 и рис.4.8. Следует обратить внимание на то, что обе функции ведут себя с ростом частоты  взаимно проти­воположно: f убывает, a dZ/d растет.

В соответствии с формулой (4.8) число фотонов с частотами в интервале (,  + d) равно

.

Коэффициент 2 появился в связи с двумя независимыми по­ляризациями излучения во взаимно перпендикулярных плоско­стях. Другими словами, он указывает на две возможные попе­речные поляризации фотона. Напомним, что в случае электро­нов этот коэффициент учитывал две возможные «ориентации» спина электрона.

График распределения фотонов по частотам, т.е. dn/d, по­казан на рис.4.9.

Площадь под кривой равна полному числу n фотонов в рассчёте на единицу объёма фотонного газа.

Теперь перейдем к спектральной плотности энергии излуче­ния (фотонного газа): u_ = du/d, где du = h dn. В результате получим:

. (4.17)

Это знаменитая формула План­ка. Её открытие и интерпрета­ция положили начало созданию квантовой физики. График этой зависимости от частоты  пока­зан на рис.4.10.

При переходе от  и h к цикличе­ской частоте  = 2 и надо учесть, что u_d = u_d. Тогда фор­мула Планка приобретает вид:

.

Вернемся к формуле (4.17), графики которой при разных температурах представлены

на рис.4.10, где T < Т₂ < Т₃. Пло­щадь под каждой из этих кривых равна полной плотности энер­гии u при соответствующей температуре. Выясним, как эта ве­личина зависит от Т. Для этого представим (4.17) в виде:

u= ,

где F — функция, вид которой до открытия Планка был неизве­стен. В таком виде формула была получена Ви­ном и получила название формулы Вина. Тогда:

u=,

здесь введена новая временная х = /T. Последний интеграл представляет собой некоторую постоянную a , и мы приходим к выводу, что

u=aT .

Закон Стефана-Больцмана. Вместо плотности энергии из­лучения u удобнее пользоваться понятием энергетической све­тимости R, которая выражает поток энергии излучения с единицы поверхности по всем направлениям в пределах телес­ного угла 2. Можно показать, что обе эти величины связаны соотношением

Тогда . Эта формула и выражает закон Стефана-Больцмана. Здесь  - постоянная Стефана-Больцмана. С помощью формулы Планка можно найти ее зависимость от постоянных с, h, k и ее числовое значение:

 = 5.6710 Вт/(м K) .

Если в стенках полости с равновесным тепловым излучением (фотонным газом) сделать небольшое отверстие, то можно экспе­риментально исследовать спектральный состав выходящего че­рез это отверстие излучения. Это было проделано для разных температур полости. Результаты оказались в прекрасном соот­ветствии с формулой Планка и законом Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина. При теоретических исследованиях спектральный состав излучения удобнее характеризовать по ча­стотам, в экспериментальных же - по длинам волн. Имея в виду соотношение u_d =-ud, и  = с/, запишем:

u= - u=F(λT)=.

Наличие знака минус в исходной формуле связано с тем, что с ростом частоты (d>0) длина волны уменьшается ().

Найдем теперь длину волны _т, соответствующую максиму­му функции Это значит, надо решить уравнение

Выражение в скобках есть некоторая функция Ф(Т). При дли­не волны _т

соответствующей максимуму функции u, функ­ция Ф(Т) должна обратиться в нуль: Ф(_тТ) = 0. Решение по­следнего уравнения приводит к некоторому значению b величи­ны _тТ . Таким образом, можно записать, что

T_т=b .

Это и есть закон смещения Вина. Значение постоянной b можно найти экспериментально или с помощью формулы Планка:

b=0,29 смK .

С ростом температуры длина волны _т уменьшается, а значит, частота _m увеличивается, как показано на рис. 4.10. Заметим только, что _m  с/_т , по­скольку _m соответствует распределению по частотам, а _т - по длинам волн.

С помощью закона смещения Вина легко определить темпе­ратуру Т электромагнитного излучения (или его источника), спектр которого соответствует формуле Планка. Так находят, например, температуру звезд.