2.3.Вязкость газов
Чтобы понять происхождение силы внутреннего трения, рассмотрим два соприкасающихся слоя газа некоторой толщины ∆z. Предположим, что слои движутся с различными скоростями и (рис.2.4). Каждая молекула газа участвует в двух движениях: хаотическом тепловом, средняя скорость которого равна , и упорядоченном движении со скоростью, которая много меньше, чем.
Пусть в какой-то момент времени слои обладают импульсамии . Эти импульсы не могут оставаться неизменными, так как вследствие теплового движения происходит непрерывный переход молекул из одного слоя в другой. Будем считать, что тепловое движение молекул происходит вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений . За время ∆t через поверхность S переходит в обоих направлениях одинаковое количество молекул, равное
. (2.1)
Попав в другой слой, молекула претерпевает соударения с молекулами этого слоя, в результате чего она либо отдает избыток своего импульса другим молекулам (если она прилетела из слоя, движущегося с большей скоростью), либо увеличивает свой импульс за счет других молекул (если она прилетела из слоя, движущегося с меньшей скоростью). В итоге импульс более быстро движущегося слоя убывает, а более медленно движущегося — возрастает.
Например, из первого слоя уносится молекулами за время ∆t импульс, равный
где ∆N определяется формулой (2.1), m — масса молекулы. Одновременно в этот слой привносится импульс
Следовательно, за время ∆t импульс первого слоя получает приращение, равное
Аналогично, импульс второго слоя получает при этом приращение
Количество какой-либо величины (энергии, импульса, частиц, массы и т. п.), проходящее в единицу времени через некоторую поверхность S, называется потоком этой величины через поверхность.
Поток есть алгебраическая величина: если, например, импульс передается в положительном направлении оси z, поток К положителен; если же импульс передается в отрицательном направлении оси z, поток К отрицателен.
Таким образом, тепловое движение молекул приводит к тому, что через поверхность соприкосновения слоев возникает поток импульса К, равный
(2.2)
Основываясь на связи между изменением импульса и силой, можно утверждать, что движение слоев происходит таким образом, как если бы по поверхности S на первый слой действовала сила
а на второй слой — сила
(имеются в виду проекции сил ина направление движения слоев).
Чтобы получить окончательную формулу для потока импульса, нужно честь, что скорость не может изменяться скачком на границе двух слоев, а изменяется непрерывно в перпендикулярном к слоям направлении z (u = u(z), рис.2.5). Каждая молекула, пролетающая через поверхность S, переносит импульс, определяемый значением скорости u в том месте, где произошло последнее столкновение молекулы. Через поверхность S будут пролетать молекулы, претерпевшие соударение на самых различных расстояниях отS.
Найдем средний запас импульса , с которым молекулы пересекают поверхность раздела слоев, двигаясь в направлении осиz (рис.2.5). Импульс, который несет молекула, претерпевшая соударение на расстоянии отS, можно записать в виде
(2.3)
где z — координата плоскости S.
Рассмотрим те молекулы, которые, претерпев соударение в слое толщины, находящемся на расстоянии от S, пролетают затем без столкновений путь и попадают в область, лежащую за поверхностью S (рис.2.5). Эти молекулы переносят через S импульс, определяемый формулой (2.3). События, заключающиеся в столкновении в слое и пролете без столкновений пути , являются статистически независимыми. Вероятность первого события равна , вероятность второго события. Следовательно, вероятность того, что молекулы испытают соударение в слое и пролетят затем через поверхностьS, не испытав на пути соударений, равна произведению указанных вероятностей:
(2.4)
Одновременно выражение (2.4) будет определять вероятность того, что молекула, пересекающая, поверхность S, несет с собой импульс (2.3). Среднее значение импульса, переносимого молекулой через поверхность S, равно
(2.5)
Из-за быстрого убывания экспоненты основной вклад в интеграл вносит интервал от 0 до порядка нескольких . Вследствие малостифункциюu (z – ) можно в пределах этого интервала представить в виде
где du/dz — значение производной в точке z. Подстановка этого выражения в (2.5) дает
Первый интеграл в получившемся выражении равен единице, второй интеграл дает . Таким образом,
(2.6)
Аналогичные выкладки приводят для молекул, летящих в направлении, противоположном направлению оси z, к среднему значению импульса, равному
(2.7)
Теперь поток импульса можно вычислить по формуле (2.2), подставив вместо mu1 и mu2 значения (2.7) и (2.6). В результате получим
Приняв во внимание, что nm равно плотности газа ρ, последнюю формулу можно написать в виде
Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом вязкости газов. Заменивρ на nm и учтя, что пропорциональна, аλ обратно пропорциональна nσ, можно написать:
Мы получили, что η не зависит от числа молекул в единице объема, а следовательно, и от давления (р = nkT). Этот результат имеет следующее объяснение. С понижением давления уменьшается n, т. е. число молекул, участвующих в переносе импульса. Одновременно растет λ, а значит, и различие в импульсах, переносимых одной молекулой в противоположных направлениях. В итоге получается, что суммарный импульс, переносимый молекулами при данном градиенте скорости du/dz, не зависит от давления. Это справедливо лишь до тех пор, пока λ остается малой по сравнению с размерами зазора, в котором течет газ (например, по сравнению с диаметром трубы). По мере того как перестает выполняться это условие, вязкость начинает все больше зависеть от давления, уменьшаясь с его понижением. Когда средняя длина пробега становится сравнимой с размерами зазора, в котором течет газ, пробег молекул будет определяться величиной зазора и λ перестает зависеть от давления. Число же молекул в единице объема при уменьшении давления продолжает убывать, вследствие чего уменьшается и η.
Очевидно, коэффициент вязкости должен расти с температурой пропорционально . Опыт дает, чтоη возрастает несколько быстрее, чем . Причиной этого служит зависимость средней длины свободного пробега от температуры.