Вопросы к теоретической части экзамена по математике (3 семестр 2013/2014 уч.Г.) Числовые и функциональные ряды
-
Ряд. Сумма ряда. Необходимый признак сходимости. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости: Даламбера, Коши, интегральный. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.
-
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Функциональные ряды. Мажорируемые ряды. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.
-
Степенные ряды. Интервал сходимости. Дифференцирование степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в ряды. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.
-
Ряды Фурье. Разложение функций в ряды Фурье. Ряды Фурье для четных и нечетных функций. Функции с периодом 2L.
-
Непериодические функции. Приближение функции с помощью тригонометрического многочлена. Интеграл Фурье.
Уравнения математической физики
-
Интегралы вида:
;
;
;
;
;
;
те же определенные интегралы в пределах
от 0 до ,
от -
до ,
от 0 до l:
,
n=1,2,…
. -
Основные типы уравнений математической физики. Уравнения колебаний струны и электрических колебаний.
-
Метод разделения переменных. Метод Фурье.
-
Уравнение теплопроводности. Краевая задача. Распространение тепла в неограниченном стержне.
-
Уравнение Лапласа.
-
Задача Дирихле для кольца и круга.
Теория вероятностей и математическая статистика
-
Случайные события, алгебра событий, классическая вероятность, относительная частота, статистическая вероятность. Свойства вероятности. Задачи на классическую вероятность с применением формул комбинаторики.
-
Сложение вероятностей. Несовместные события. Полная группа событий. Противоположные события. Теорема сложения. Умножение вероятностей: произведение событий, условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы события.
-
Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формула Байеса. Повторные испытания. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.
-
Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его смысл и свойства. Дисперсия дискретной случайной величины, вычисление и свойства. Среднее квадратическое отклонение.
-
Функция распределения вероятностей случайной величины, свойства и график. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. Свойства плотности распределения.
-
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
-
Нормальное распределение. Понятие о центральной предельной теореме. Распределение
. -
Показательное распределение, числовые характеристики, функция надежности.
-
Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Статистическое распределение выборки, эмпирическая функция распределения. Полигон, гистограмма.
-
Точечные оценки параметров распределения. Характеристики точечных оценок: смещенность, эффективность, состоятельность.
-
Точность оценки, надежность. Интервальные оценки параметров распределения. Оценка истинного значения измеряемой величины. Оценка точности измерения. Доверительный интервал для параметра а нормального распределения при известном и неизвестном значении параметра s. Доверительный интервал для параметра s нормального распределения.
-
Проверка статистических гипотез. Критерий ошибок 1-го и 2-го рода. Проверка гипотезы а=а
при известном s.
Проверка согласия Пирсона для проверки
гипотезы о нормальном распределении. -
Статистическая зависимость случайных величин. Коэффициент корреляции. Выборочный коэффициент корреляции. Проверка гипотезы о значимости выборочного коэффициента корреляции.
-
Линия регрессии, уравнение прямой регрессии. Элементы математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Способы отбора. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. Статистические оценки параметров.
стр.