книги / Основы автоматики

Рис.7 .22 .Переходная функция апериодического авена 2-го порядка

процеооа выходная координата звена жестко овязана с входной координатой

у И = V '

(7 -э д

Чаототная передаточная функция, л .а .х . и л.ф .х. звена опре­ деляется выражениями

= ( ' + / « г , ) ( 1 + у « Ч )

Цш)*г01д (l+jwT,W+ju>T)								;(7 .5 8 )
							Ц1 + шгТг)И+игТг1
¥(ш) ' а г9		(,+)*тЖмГ					Т> m	СО Г (7.59)
			J'	J Ц'		ата*9	“ ■	*9
	Получим выражения			для	асимптотической л .а .х . звена. Б обла­
сти	частот		1	1	в выражении (7.58)			будем пренебре-
			ц><	*V
гать	членами		2 23		о	•	по сравнению с единицей
			(о Г/	и	со	Г
и поэтому				Цш) = ZOlgА
								(7.60)

Уравнение (7.60) еоть уравнение прямой линии,параллельной оси чаотот и отстоящей от нее на расстоянии 201д*(рио.7.23).

Рис.7 .23 .Частотные характеристики апериодического звена 2-го порядка:

а) л .а .х . и л .ф .х .; б) а.ф .х.

В обДвс*и чаотот		у-	<w <jr		в	выражении (7.58)				пренебре­
жен единйпей по сравнению с				со* 7^2		и		Т* по сравнению
о единицей, поэтому
L(u>)=Z0lq			3	= ZOLg А			- 2019<о			(7.61)
						3
Уравнение (7.61) является уравнением пряной линии с,накло­
ном -20 об/дек	и пересекающей			ось	частот		в точке		О) = -=-
В области	частот		I		I					тз
		ш > у		> у		в выражении (7.58) пре-
небрегаеМ единицей по сравнению					3			о)гТ.г	и	югТг и
					о членами
поэтому считаем» что
А(ш) = 20		KwT о) = ZOlg J Y					-kOlgQ)			(7.62)
		3	Ц
Уравнение	(7.62)	представляет			собой уравнение				пряной ли­
нии с наклоном -40 дб/дек и пересекающей ось частот в точке
Принцип построения		асимптотической л .а .х . ясен							из	рис.7.23«а.

Построение целесообразно начинать с проведения вертикальных ли­

ний через частоты излома	асимптотической л .а .х .ш = у- и со = у
и прямой с наклоном -20 дб/дек,		проходящей через то^ку	на оси
частот ш -J=^=-'•
\Т3Тц	звена	вначале с помощью шаблона чер­
Для построения л.ф .х.
тят л.ф .х. апериодических	звеньев с постоянными времени		и
и эатем их графически складывают.
Из графиков л .а .х . и л.ф .х.		звена видно, что о увеличением

частоты входного сигнала возрастает отрицательный фазовый сдвиг и уменьшается амплитуда.

Апериодическое звено 2-го порядка по своим характеристи­ кам эквивалентно последовательному соединению двух апериоди­ ческих звеньев (он рис.7 .2 0 ,б). Этим объясняется больший фа­ зовый сдвиг выходных колебаний и более сильное подавление вход­ ных колебаний звена по сравнению с апериодическим звеном с коэффициентом передачи к и постоянной времени Т^.

Вид а.ф .х . эвена показан на рис.7.23,6. 4. Колебательное звено

Колебательным звеном называется звено, дифференциальное уравнение движения которого имеет вид

Tz 'y + Ti i + y = kx ;

0 < T, < 7 2

или в операторной форие

(7.64)

° < % < тг

5)

Передаточная функция эвена

W (P ) = Tг ф т т р ’ 0 < ? < г г	(7.65)
Для удоботва расчетов передаточную функцию звена часто за­
писывают в виде
к	(7.66)
W(p) = I +2г; Тр+Тгр г
где
Т= Г
Примерами колебательных звеньев являются цепочка	к , с , L ,

механическая передача при учете упругости и скоростного тре­ ния, гироокоп, если входной величиной считать момент и, а выходной - угол поворота оС , уотойчивую ракету при учете демпфирования (рис.7 .24).

Корни характеристического уравнения звена

ЯВЛЯЮТСЯ к о м п л е к с н ы м и ______ ,
	Ч/Г	у *	- - г	± / *	(7 -6в)
где	r_-s.,л- ^ s L
Переходная функция		эвена
	w(t) = /f j/ - e f	(cos Лt	+	sin At jj	(7.69)
икеет	колебательный характер (рио.7.25).

Рис.7.25. Переходная функция колебательного эвена

Переходный процесо в эвене затухает тек медленнее, чек больше постоянная времени Т и чем меньше коэффициент демп­ фирования $ .

Можно показать, что величина перерегулирования

6% = н" й й»ст 100%

уст

зависит только от величины коэффициента демпфирования т; . От­ метим, что и величина относительного пика амплитудной частот­ ной характеристики звена

(Цм А (0)

где о>м - частота, на которой А (со) имеет максимальное зна­ чение, также зависит только от коэффициента демпфирования ^ . Поэтому величину перерегулирования б %можно определить по ве­ личине М .

При малых значениях коэффициента демпфирования Yj частота затухающих колебаний Я примерно равна

При подаче на вход звена постоянного сигнала х = х° по окончании переходного процесса выходная координата эвена жест­ ко связана с входной координатой

(7 .7 1 )

	Рис.7 .26 .Частотные ха'
	рактеоистики колеба­
	тельного звена:
*)	а) л .а .х . и л .ф .х .;
	б) а.ф .х .

Частотная передаточная функции, л .а .х . и л .ф .х . деляется выражениями

	1-шгТг+ЩшТ
J л	у	Тг)г -*-кх,гыгт
_ aPCtfl л ь * т		при	w < Y
9	/-а)гтг
Ф)= - 90°	2СОТ	при	и	- т
л о		при	э	Ч»»- л
-'*> - ° ге*9

эвена опре­

(7.72)

(7.7Л)

Частотные характеристики эвена изображены на рио.7.2б.

Вид л .а .х . звена в сильной степени зависит	от	величины ко­
эффициента демпфирования ^ (рис.7 .2 6 ,а ). При	^	^ 0,707
л .а .х . имеет вид монотонно убывающей функции;	при	0,707

на л .а .х . при частоте, близкой к со = j- , появляетоя резонанс­

ный пик. Чем меньше величина коэффициента демпфирования ^ ,тем

больше величина резонансного				пика
	L(u)	) = 20 lg		-------L						(7.75)
	м		3	/
Асимптотическая л .а .х . звена определяется выражениями
	Г	10 ч					при	I	;
	М =		А			к
	20(а							АО1оСо •
			” ТГт2 ~ 20to			^ z				(7.76)
		^	ш	т	3	т2		3
Асимптотическая л .а .х . звена сильно							отличается		от	действи­
тельной л .а .х . Особенно			велико это		отличие для малых					^ в	рай­
оне частоты	to = у-	. Так, например, для						О на частоте			0)=^
величина отклонения асимптотической л .а .х .								от действительной
стремится к	бесконечности.
Л .а.х .	и л.ф .х.	звена обычно чертят					с помощью шаблонов, из­
готовленных для различных значений					^	и для Т = I			сек.

Вид а.ф .х . звена показан на рис.7 .26,6 . При малых т; она вытянута вдоль мнимой оои.

5. Консервативное звено

Консервативным звеном называется явено, передаточная функ­ ция которого имеет вид

*Г(Р) =

(7.77)

Примерами консервативных звеньев являются слабо демпфиро­ ванные колебательные звенья (колебательные звенья при малых значениях ^ ) при пренебрежении коэффициентом демпфирования Например, консервативным звеном считают статичеоки устойчивую жесткую ракету. Консервативное звено являетоя звеном, находя­ щимся на колебательной границе устойчивости. Переходную функ­ цию звена легко получить, положив в выражении для переходной

		функции колебательного			звеиа
		(7.69)	коэффициент демпфирова­
		ния	= 0.
		H(t) =к (1 -со&Кt)			(7.78)
		Переходная		функция имеет
		вид незатухающих колебаний с
	Рис.7 .27 .Переходная характе­	частотой Л = у		(рис.7 .27).
		Отметим, что выходная коор­
	ристика консервативного эвена
		дината консервативного			эвена и

при отсутствии сигнала на входе звена изменяется по гармони­ ческому закону с частотой Л = у- и амплитудой, зависящей от

начальных условий. Колебания отсутствуют липь при нулевых на­ чальных уоловиях у (0) = 0 и у (0) = 0.

Частотная передаточная функция, л .а .х . и л.ф .х. звена опре­ деляются выражениями

W(j*>) = —	(7.79)
	•о7т1
1 (ш) = 2 0 1 9	(7.80)

При		U) < у
При		0 ) > у
Л .а.х . и л.ф .х. имеют разрыв	на	резонансной		частоте	со = у
(ри с.7 .2 8 ,а ). Вид асимптотической	л .а .х .		звена	изображен	на
рис.7 .28,а . На этом же рисунке пунктиром			показан вид действи­
тельной л .а .х .

%рчд Ld6	i|	1
	Х~ Л
20		\			V
	|	^ .- Щ б /а е к
■ю гоцк
		,		. .1aW/сек
|					i d ______ L
-18й°		1	\		UL)-~oO
чо		T			'-o
0° I d	<J>	a)			ф
Рио.7.28. Чаототные			характеристики консервативного звена:
		а) л .а .х . и л .ф .х .; б) а.ф .х .

6. Нетотойчивые позиционные звенья

Рассмотрим неустойчивые звенья с передаточными функциями

. « . « Г ( р ) - . - 7 ^Wi p) ■» z j j j r p

Н е у с т о й ч и в о е	а п е р и о д и ч е с к о е
8 в е н о	1-го п о р я д к а

Неустойчивым апериодическим звеном 1-го порядка называет­ ся звено, передаточная функция которого имеет вид

w (P )qTTP

или

t 7-82)

Примером такого звена служит тепловой двигатель без самовыравнивания, асинхронный двигатель постоянной нагрузки за опрокидываодиы моментом и др.

	Харантериотичеокое			уравнение	звена
		Тр -1 =0		(7.83)
	инее* один положительны! корень
			/	(7.84)
		?>-т
	Переходная функция			звена
Рио.7.29. Переходная	U(t)*k (-/ + е ’*)			(7.85)
функция неустойчивого
апериодического звена		монотонно возрастающей функ­
1-го порядна	являетоя
цией, стремящейоя к	бесконечности	при	t	(рис.7 .29).
Интересно отметить, что выходная координата				эвена	00
и при отоутотвии внешних воздействий,			если ty(0) j 0.

Рио.7.30. Чаототные характеристики неустойчивого апериодиче­ ского эвена 1-го порядка:

а) л .а .х . и л .ф .х .; б) а.ф .х .

Частотная передаточная	функция, л .а .х .		и л.ф .х. звена опре­
деляются выражениями
* 0 '“ К	т	~ т
L M = a u i y	r	r b w	( , -87)

У(со) = - 180° + apctg соТ