книги / Основы автоматики

чаототной характеристики р а з о и к ­
н у	т о Й	сиотемы.
	На основании рассмотренных в §82
чаототных характеристик сиысл ампли-
тудно-фаэовой характеристики разомк­
нутой оистемы можно объяснить следуо-			Рис.9.9. Автоматиче­
щим	образом	(рис.9 .9 ). Представим се­	ская система в разомк­
бе автоматическую систему в разомкну­			нутом ооотоянии

том ооотоянии в виде звена, передаточная функция которого W(pJ соглаоно выражению (8.3) равна

W ( p ) = В ( Р )	Ь0 р	+ Ь1р	+••• + о		(9.30)
С(р)	С0 р п+ ct p n~'+			+ с,
	р = J.oo	ч Р
При подстановке		получим	ч а с т о т н у ю		п е -
е д а т о ч н у ю	ф у н к ц и ю		р а з о м к н у т о й
и о т е м ы
W ( j c о)=			U(o o ) + j - v ( c o ) .		(9.31)

Подадим на вход ввена извне гармонический сигнал x = X mslncoi. Тогда на выходе звена в установившемся режиме также получим гармонический сигнал у = Ymsln(co £ + ) , амплитуда у т

и фаза <р которого в общем случае за­ висят от частоты входного оигнала со . Модуль частотной передаточной функ­ ции представляет собой отношение ам­ плитуд выходной и входной величин

			Ym
		А ( с о ) = |w ( j - c o ) | =
		а аргумент -	одвиг фаз:
Рис •Э.Ю.Амплитудно-		(р (со ) = а т ^ Ш Ц с о )
фаэовая	характериотт
разомкнутой системы
Если изменять частоту		входного сигнала от 0 до оо ,		вектор
	своим концом опишет на комплексной плоскости кривую
(рц с.9 .10), которая называется а м п л и т у д н о-ф а				з о-
в о й	х а р а к т е р и с т и к о й		р а з о м к н у т о й
с || с г	е м ы.

I . Общая формулировка критерия Найквиста

Теорема, Для устойчивости замкнутой автоматической системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристи­

ка разомкнутой системы охватывала точку	о координатами ( - I , j O )
на угол 151 против чаоовой стрелки, где	I - число корней ха­

рактеристического уравнения разомкнутой оиотемы, имеющих поло­ жительные вещественные чаоти*

Если амплитудно-фазовая характеристика проходит через точ­ ку ( -1 , j O ) , замкнутая система находитоя на колебательной гра­ нице устойчивости.

Для доказательства введем в рассмотрение вспомогательную функцию

	С(р)+в(р)	D(p)
W, ( р ) = /+ W ( p ) =	С(р)	(9.32)
		С(р)

где W ( р ) - передаточная функция разомкнутой системы, опре­ деляемая выражением (9 .30). Числитель вспомогательной функции 7} ( р ) представляет собой характеристический полином замкнутой системы, а знаменатель С( р) - характеристический полином ра­ зомкнутой системы.

Найдем комплекс

2QrU>)

W , Q c o ) = CQco)	(9.33)
и определим угол поворота вектора W?( j со)	при изменении от 0
до оо :

=<Р, - <Р* *

где и суг ~ соответственно углы поворота векторов В(^со)и CQcv).

В	предыдущем параграфе было показано, что в уотойчивой замк­
нутой	системе угол поворота вектора 27Q.со)	. Если

в характеристическом уравнении разомкнутой системы С ( р ) - 0

имеется	I	корней о положительной вещественной частью, а						осталь­
ные ( п	-	I )	корней	имеют отрицательные вещественные				чаоти,
то согласно выражению (9.27)					ср2 = п у	- 1 3 X	. Поэтому раз-
нооть углов
		Ч> =	<р,-	= Л у	- ( n |	- £Si) =	131.	(9.37)

Это означает, что в устойчивой замкнутой системе при измене­ нии со от 0 до со векторШ;(|со)дол»ен повернуться вокруг начала координат на угол 25Г против часовой отрелки. Но частот­ ная передаточная функция W (j-co) согласно выражению (9.32) отличаетоя от вспомогательной функции W,( j-co) на - I . Поадому

в устойчивой замкнутой системе вектор W (j-a) )			при изменении
СО	от	0 до оо должен повернуться вокруг точки	-1 ,^ 0 на угол
	против часовой отрелки. Иными словами, амплитудно-фазо­
вая	характеристика разомкнутой оиотемы должна охватить точку
( - I , j O		) яа угол LSL против чаоовой отрелки. Это и требова­
лось	доказать.
	Чиоло корней о положительной вещественной частью в харак­
теристическом уравнении разомкнутой системы I			может быть

определено либо непосредственно (если это уравнение представ­

лено в	виде сомножителей первого или второго порядка),					либо
о помощью критерия Михайлова				(см.пример 9 .6 ).
Пример 9.7.		Исследуем устойчивость оистемы,			передаточная
функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид
		_	к	( 1 + %р) _		(9.35)
			- " ■ V P *
Характеристическое уравнение разомкнутой системы
		С ( р ) = т о' р г - 1 = 0
имеет два корня. Один из них				р, = - ■=■ лежит в	левой	полу-
плоскости корней,		а фугой		рг = + j/- ~0в правой	полуплоскости,
т .е .	1 = 1.			0
Частотная передаточная			функция
						(9.36)

Модуль ее

к]/1 + Ъ2сог

А ( ы ) = W (j- u ))

Т0г сог

и фаза

ф ( си) = - 160°+ a r c t ^ оо'с

						Примерный вид амплитУД-
						но-фазовой	характеристик^
			к			разомкнутой системы изобра­
	ш=0	-J	= п	п	гг	жен на рис.9 .I I .
						По виду	этой характери­
						стики можно заключить, ч*°
						годограф I	соответствует
						уотойчивой	замкнутой систе­
	Рис.9 .1 1 .Амплитудно-фазовые					ме, так как он охватывав*
						точку ( - I , j O ) против 4800-
	характеристики к			примеру	9.7	ВОЙ стрелки	на угол Л (£ = 1)
	годограф 2 -		неустойчивой сиотеме,			а годограф 3 - системе, на­

ходящейся на колебательной границе устойчивости. Для этого про­ стого примера можно сразу же записать уоловие устойчивости замкнутой системы: к > 7.

Из этого примера видно, что неустойчивость разомкнутой си­ стемы не означает еще, что и замкнутая система неустойчива.За­ мыкание системы придает ей новые качественные свойотва.

		2. Чаотная Формулировка			критерия Найквиота
	В олучае уотойчивооти разомкнутой системы (что бывает очень
часто)		I = 0,	и критерий Найквиота можно оформулировать так:
	Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно,
чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой систецн
н е	о х в а т ы в а л а			точку ( - I . j - O ).
	Эта формулировка критерия Найквиста вытекает из общей как
частный		случай	при 1 = 0,	так как охват точки (-1 , jO		) на
угол 0*ЗГ фактически означает неохват ее.
	Пример 9 .8 .		Исследуем устойчивость замкнутой оиотемы.еочи
передаточная функция разомкнутой оиотемы
			0	+ т,р){1	.	(9.37)
					+тгр)(}+т3р)
	Все три корня характеристического уравнения разомкнутой
системы
		с ( р )	= (1+Т,р){1+ Тг р ) ( И - Т 3р ) = 0

вещественные и отрицательные, т . е . 1 = 0. Поэтому можно приме­ нить частную формулировку критерия Найквиота.

•Чг!

ЧаототНай'передаточная фуйкций О' 1<И

• •/	,	М	,	Г?-’и	1
W 0 0 3 ) - ( } + ^		7y )(;/+ j(JO Т2) {I tj. CO Т3)			*

Модуль ее

к

А (оо) =

^ T S ' H F r f ? ' ) (/> Гз'со»)

и фаза

^ (uo) = - a r c t g o o 7 | - a r c со7^-arctgco7"3 .

Так как при изменении чаототы со от 0 до оо модуль А(со) монотонно уменьшается от А (0)= к до А ( <х>) = 0, а фаза

(со~) монотонно изменяется от ц>(0) = 0 до ц>(со) = -270°, амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой оистемы имеет

Рис.9.12. Амплитудно-фазовые характеристики к примеру 9.8

вид Ьдной из Трех кривых, изображенных на рис.9.12. Характе­ ристика I соответствует устойчивой замкнутой системе, характе­ ристика 2 - неустойчивой, а характеристика 3 - замййутой си­ стеме, находящейся на колебательной границе устойчивости.

3.Особые случаи применения критерия Найквиста

Врассмотренных примерах мы умышленно не> касались -примене­ ния критерия Найквиста для случаев,когда характеристическое

уравнение разомкнутой оиотемы С( р ) = 0 имеет нулевые или чиото мнимые сопряженные корни. И хотя ни общая, ни частная формулировки критерия Найквиота при атом не меняпгоя, приме' нение этого критерия имеет свои особенности, связанные о осо­ бенностями амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой ои ' стены. Рассмотрим эти оообеннооти.

I . Пуоть характеристическое уравнение разомкнутой оиотемы С ( р ) = 0 имеет один нулевой корень р7= 0, а все остальные корни имеют положительные или отрицательные вещественные ча°ти.

Передаточная функция разомкнутой системы (9.30) в этом оЯУ-

чае может быть аапиоана в виде:					.
	6	/77	/77-7				в(р)	'
	оР	+Ь,р		+••• + о,„
	/	П-1		Л-2	-	\	рс,(Р)	(9.38)
	р(сор		+С,р + - + cn_t)
Чаототная	передаточная			функция
			W (j . c o )			BQo>)		(9.39)
Как видно	из выражения			(9 .3 9 ),		особенность амплитудно­

фаговой		характеристики разомкнутой		системы	в этом случае со­
стоит	в	том,	что при со — 0 модуль А (а))—		и характеристика
имеет	разрыв		непрерывности в точке	со = 0.	Поэтому при слож­
ном очертании годографа W ( j-СО) не воегда					оказывается возмож­
ным оудить об охвате или неохвате				точки (-1 , j -О ).

Для получения определенности поотупим следующим образом (доказательство мы опускаем). Проведем дугу бесконечно боль­ шого радиуоа о центром в начале координат, начиная от положи­ тельной или отрицательной вещественной полуоои по часовой стрел­ ке до пересечения с "хвоотом" амплитудно-фазовой характеристи­

ки, так, чтобы раствор дуги отремилоя к	(см.пример 9 .9 ).
При этом точка, соответствующая частоте	со а о, расположится

на положительной или отрицательной вещественной полуоои. общая или чаотная формулировка критерия Найквиота теперь применяется к амплитудно-фазовой характеристике, дополненной Дугой беско­ нечно большого радиуоа.

При наличии в характеристическом уравнении разомкнутой оиотемы двух, трех и более нулевых корней поступаем точно так

же, но раствор	дуги увеличиваем до Я ,3 ^ - и т .д .
Пример 9 .9 .	Последуем уотойчивооть замкнутой оиотеми,еоли

передаточная функция разомкнутой оиотемы

W(P,% T^)

В характеристической уравнении разомкнутой системы

С(р) = р ( - 1 + Т р ) = 0

имеетоя один нулевой корень			/)f = 0 и один вещественный положи­
тельный корень	р2= + у	»	т .е .	1 = 1. Поэтому необходимо при­
менять общую формулировку критерия Найквиста.
Частотная	передаточная		функция
			к ( l + j o o z )
	W 0<4>) = j - c o ( - l + j & T )
Модуль ее
	A(OJ) =		k ] / i +
			ы]/1+сог Тг
и фаза
<4^(со) = —90°+ arc tcj соТ - ( 180°- агсЦ со Г ) = - 2 70°+
	+ а гс tg o o t +			arc tcj со Т
При изменении со от		0 до оо		модуль монотонно уменьшается

от бесконечности до нуля, а фаза монотонно изменяется от -270 до -90°. Примерный вид амплитудно-фазовой характеристики изо­ бражен на рис.9.13. Характеристика, изображенная на рис.9.13,а, соответствует случаю устойчивости замкнутой системы» так как амплитудно-фазовая характеристика охватывает точку (-1 , ^0 )

на угол 01	против часовой стрелки (		l = I ) .		Это можно проверить
следующим	образом. От точки	I , где	со =	0,	до	точки	3 угол по­
ворота вектора W(j-co) равен		нулю,	а от	точки		3 до	начала ко­

ординат, где со = оо , этот угол равен +180°. Характеристика,

изображенная на рис.9 .13,б соответствует		неустойчивой замкну­
той системе, так	как точка ( - I , j O ) охватывается на угол 3 i ,но
по часовой отрелка.
Пример 9.10.	Йсоледуем устойчивость	следящей системы,пе­
редаточная функция которой

ш

л

p ( ’ t W ( T+T* p )

Так как в характеристической уравнении разомкнутой системы отсутствуй»"корнй cJ поябжитёльной:вещественной' частью, приме­ няем частную формулировку критерия Найквиота.

Примерный вид амплитудно-фазовой									характеристики в олучае
устойчивости замкнутой сиотемы изображен на рио.9.14.
	2. Пусть передаточная						функция разомкнутой оиотемы включа­
ет	в	себя консервативное					эвено,	что	соответствует наличию в
								характеристическом уравнении
			, V					разомкнутой оистемы пары чисто
						ш=0 U		мнимых оопряженных корней.
-	/	/	О						Передаточная функция		(9.33)
	\ А		° {JJ-оо				7 I "
								в этом олучае может быть запи­
						/		сана в следующем виде:
									W( p) =
ч> /						/					,
					/	/			ь0рт+ь,рт- 1 - +	ьт
Ы				/
* к			С					(р*«о)(сУ ’+ л У ’+-• •+ с'„-г)
.	!.	"TV		,			*
	г	т	v
Рис.9 .14,Амплнтудно-фнзовая								_	'В(р)
характеристика к примеру 9.10
							1		(р г+оз1):С2{р)	(9.43)
	-Наличие тлкщх'^веньев типично ддз передаточных функций
систем			управления	самолетов и ракет, где их.появлениесвяза­
но								*и?ис*ру*ЧИИ|прбор®^<»а и. ждд^рго
наполнителя в баках.

Чаототная		передаточная функция
		W ( j c o ) =
				(^ -С л 3 2)С гЦсО)
Как видно		иа выражения (9 Л 4 ), амплитудно-фазовая характе­
ристика в	точке СО = со0имеет			разрыв непрерывности. В этой точ­
ке модуль	А (со) = [W (		со) |	отренитоя к беоконечноотн, а фаза
делает окачок		на -180°	(ом.§	7 .3 ). Для получения непрерывной

кривой амплитудно-фазовая характеристика дополняется полу­ окружностью беоконечно большого радиуса с центром в начале ко­ ординат по часовой стрелке, начиная от ветви, соответствующей меньшим чаототам (см.пример 9 .I I ) . Это правило приводим без доказательства.

Общая или чаотная формулировка критерия Найквиста приме­ няется к амплитудно-фазовой характеристике, дополненной полу­ окружностью бесконечно большого радиуса.

Аналогично поотупаем при наличии двух, трех и более кон­

сервативных эвеньев.
Пример	9 .I I .	Исследуем устойчивость	замкнутой	системы, пе­
редаточная	функция которой в разомкнутом		состоянии
W	( p )	___________ к______________		(9.45)
		=

Р0+ Т,р) (/+ Тгр)(1+ Т0грг)

Вхарактеристическом уравнении разомкнутой оиотемы отсут­ ствуют корни с положительной вещественной чаотью, т .е . 1 = 0 . Поэтому применяем частную формулировку критерия Найквиста.

Чаототная передаточная функция может быть предотавлена в виде произведения двух оомножителей

W Q c o )			=			1	(9.46)
						f-T 0W
			jo3(l+jcoTt)(t+j.coTz)
Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая перво­
му сомножителю, была рассмотрена в					примере 9 .8 . Она изображена
на рио.9.15 пунктиром. Отметим на этой						характеристике точку А
с чаототой и>0=				. В зависимости от постоянной времени кон­
сервативного			звена	Т0 эта точка может располагаться			либо во
втором (рис.9 .15,а ) , либо в третьем					квадранте (рис.9 .1 5 ,б).Как
видно	из	выражения		( 9 . 4 6 ) , влияние	консервативного		звена	со­
стоит	в	том,	что по ме'ре увеличения		частоты от 0 до -L- модуль
Д (со)		I	I				*о	j
		= |W Q со)| будет постепенно			увеличиваться и при со-*-у

А ( с о ) — оо . это означает, что амплитудно-фазовая харак­ теристика уходит в бесконечность, асимптотически приближаясь к прямой, проведенной через точку А и начало координат. Далее

характеристика дополняется полуокружностью бесконечно большого

Рис.9.15. Амплитудно-фазовые характеристики к примеру 9 .II

Анализируя амплитудно-фазовые характеристики, изображенные на рис.9.15, можно сказать, что в первом случае замкнутая си­ стема остается устойчивой, а во втором случае появление в ра­ зомкнутой системе консервативного звена приводит к неустойчи­ вости замкнутой системы.

§ 9 .5 . ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Для определения устойчивости в этом случав строится не ам­ плитудно-фазовая характеристика, а логарифмическая амплитудная частотная характеристика (л .а .х .) и логарифмическая фазовая чаототная характеристика (л .ф .х .).

Л .а.х . отроится по выражению

М .со) = 20tcj А (со) = 2 0 t^ | w (<j.u))|, (9.47)