книги / Основы автоматики

дексом, а вниз - коэффициентами с убывающий индекоои. В случае отсутствия данного коэффициента (если индекс меньше нуля или больше п ) на его меото пишется нуль.

Критерий устойчивости формулируется в виде теоремы Гурвица. Теорема. Для устойчивости системы п -го порядка необхо­

димо и достаточно, чтобы при Q0 > О все п главных определи­ телей, полученных из квадратной матрицы коэффициентов, были положительными:

Л, = о , > 0 ;

Д г =

а ,		°5
а о	*2	а*
0	а 1	аз

Определители получаются из матрицы (9.18) простым отчерки­ ванием, как это показано штриховыми линиями.

Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроне нижнего, равны нулю, последний определитель выражается через предпослед­ ний следующим образом:

Дл = а „ Д л. 7> 0 .

(9.19)

Для устойчивости системы предпоследний определитель так­ же должен быть положительным. Поэтому условие (9.19) сводится

к условию а п> 0 ,		т .е .	к положительности свободного члена ха­
рактеристического		уравнения.
Если последний		определитель		Д л равен нулю,	а все осталь­
ные определители положительны, система находится на границе
устойчивости. Как		следует иэ выражения (9 .1 9 ), это условие
распадается	на два: а л = 0 и			Д л_,= 0. В § 9.1	было показано,
что условие	Qn= 0 соответствует апериодичеоксй				границе устой­
чивости. Второе условие			Д л_7= 0 соответствует		колебательной
границе устойчивости.
Рясамотпим частные			случаи коитепия устойчивости Гурвица.

а о Qj*

У р а в н е н и е	п е р в о г о	п о р я д к а
	aQp + а } = 0 .
Для этого уравнения	имеем а о =»0,	Д (= О, > 0 .Таким об­

разом, для устойчивости сиотеыы 1-го порядка достаточно выпол­ нения необходимого условия устойчивости. Действительно, един­

ственный корень уравнения первого порядка			/> = - — при а о > 0
будет вещественным и отрицательным,		если	а , > 0 .
У р а в н е н и е	в т о р о г о	п о р я д к а

а0 р г+ а,р + а г - 0 .

Для этого уравнения при a Q> 0 имеем

Д, = а, » 0;

Д г = а г Д , > 0 или 0 2 ^ 0 .

Таким образом, для устойчивости сиотемы второго порядка необходимое условие устойчивости одновременно являетоя и до­ статочным. Апериодической границе устойчивости соответствует

равенство нулю свободного

члена

ог2 = 0, а

колебательной

гра­

нице

- равенство нулю предпоследнего

определителя

Д ,=

= О

при

а 0 > а и

а г > о .

У р а в н е н и е

т р е т ь е г о

п о р я д к а

aQp3+ a i P 2+ а гР + аз = о *

Для этого

уравнения

при

сг0 >

0

имеем

д , =

а ,

>

0

•,

о ,

а3

а 2 =

а г

=

а , о 2 -

° о аз > 0'Р

а 0

А 3= аз д 2 >

0

или

а 3

> 0 .

Очевидно,

что ус овие

Д 2> 0

при

О0> 0,

а , > О

и

0 может выполняться лишь при

а г >

0 .

Следовательно, для

устойчивости

системы третьего порядка,

помимо выполнения необходимого условия устойчивости (положи­ тельности коэффициентов), требуется еще определенное соотно­ шение между коэффициентами: O', <7г э'

а3= О,

Апсрирдичеокой границе устойчивости соответствует

а коле^тедьнрй,- Д2=	а,СГ2- 00 аз~ °»
У р а в н е н и е	ч е т в е р т о г о	п о р я д к а .

Можно показать, что для устойчивости систеиы четвертого по­ рядка, поииыо положительности всех коэффициентов, требуется выполнение уоловия

ai ( ° г аз~ °i а± ) - аоаз ^ ° -

Критерий Гурвица позволяет быстро оценить устойчивость разомкнутой или замкнутой системы любого порядка, если коэф­ фициенты характеристического уравнения заданы численно. При исследовании устойчивости в общем виде уже для уравнения чет­ вертого порядка уоловия, связывающие коэффициенты характе­ ристического уравнения, становятся Слишком громоздкими.

Пример 9 .3 . Исследуем устойчивость замкнутой системы,ха­ рактеристическое уравнение которой (9.14)

В { р ) =	0,02 р 3+ 0,5 р	г +	0 , 2 р + 3 = О
было получено в	примере 9 .1 .
Соглаоно критерию Гурвица,		для	устойчивости системы тре­

тьего порядка, помимо положительнооти всех коэффициентов ха­ рактеристического уравнения (что выполняется), необходимо, чтобы произведение средних коэффициентов было больше произве­ дения крайних:

О,5*0,2 > 0,02*3 .

Это неравенство выполняется. Следовательно, замкнутая систе­ ма уотойчива.

Пример 9.4. Исследуем устойчивость электромеханической следящей оистемы (с м .р и с .I.II), передаточная функция которой

к_____________

(9.20)

Р ( т„ Р + 0 ( Тур + 1) '

Характеристическое уравнение замкнутой оистемы

Щ * Р 1 Т„Р + 0(Тур +0 + Р = Т„ Т р3ЦТу+r „ ) /> W = 0 * ( 9 .2 I )

имеет третий порядок. Необходимое условие устойчивости выпол­ няется. Поэтому по критерию Гурвица для уотойчивооти замкну­ той системы необходимо и достаточно, чтобы

Тп+Тц

ктм ту

ИДИ

'у

' м

(9.22)

Условие колебательной границы уотойчивооти: к = -— +

.

Уоловие апериодической

границы устойчивости к

-

Ту

Тм

0 в данном

олучае не

имеет физичеокого

омысла.

Как видно И8 неравенства

(9 .2 2 ), инерционное

запаздыва­

ние в уоилителе и двигателе неблагоприятно влияет на устой­

чивость: чем больше Туили Тп при

заданном

к , тем

ближе

си­

стема к колебательной границе уотойчивооти.

§ 9 .3 . КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА

Это критерий устойчивости был сформулирован в 1936 г .

A.

В.Михайловым

(Всесоюзный электротехнический

инотитут

им.

B.

И. Ленина).

Рассмотрим отдельно левую часть характеристического урав­

нения (9 .7 ), которая представляет

собой

х а р а к т е р и ­

с т и ч е с к и й

п о л и н о м

В (р )

= а 0 р п+ а, р п1+ • •• + a n- i P +

ап-

(9*25)

Подставим в этот полином чисто мнимое значение

р

=

j со

и получим

х а р а к т е р и с т и ч е с к и й

к

о м

п л и о

В{}Оз) =

X (с о ) + } Y (аэ)

,

( 9. 24)

где

вещественная

часть

X (со) будет содержать четные

отепеци

параметра

со :

X (со) = а п- ап_г<х>г+ а п-у.со*- ••• > (9.25)

а	мнимая чаоть У (со)		" нечетные степени	СО:
	Y ( с о ) =		^ л _ 7с о - а л . 3 С03+	а ^ с О - - - -		(9.26)
	Воли значение	параметра со менять непрерывно от			0 до оо ,
то	вектор i7 (J-co )	своим концом опишет некоторую			кривую
			Т а б л и ц а			9. 2

со	0	О О
Х(а>)	о п	оо
Y(a))	0	оо

Рис.9.3. Кривая Михайлова
(годограф),			которая	называется	к р и в о й	М и х а й л о-
в а	(рис.9 .3 ).
Практически для построения кривой Михайлова задаются раз­
личными значениями				параметра со и по формулам		(9.25) и (9.26)
вычисляют		X	( с о )	и Y (co ) . Результаты раочетов			сводятся в
табл.3 .2 .
По данным этой таблицы по точкам отроится сама кривая.
Теорема.			Для устойчивости		системы п-то порядка необхо­
димо и достаточно,				чтобы вектор	D ( j c o ) , описывающий кривую
Михайлова,при изменении параметра со от 0 до						со	имел угол
поворота				против часовой отрелки.
Для доказательства представим.полином (9.23) в виде про­
изведения		сомножителей:
			В ( Р ) = о0 { р ~ р 1) { р - р г) . . .			(/>- />„)•
Тогда	характеристический комплеко

DQ<o)= cr0 (^ c o -p ,)Q .c o -p 2) ...Q .c o - p J .

При изменении со		от	0 до оо	результирующей угол позоре*®
вектора	Л (J-со) равен		оуыме углов поворота		отдельных сомйожи'
телей:					°
		Ф = У ,+		Ц)г + ' ’ ’	У п
Пусть какой-либо		корень, например pv ~ вещественный ( А =
= o i|).	Тогда аргумент	оомножителя (j-О)-р , )			со
					равен ( j^ e r r e tf l —j •

Рио.9 .4 . Годографы при вещественных и комплексных корнях

При изменении	со от		0 до» оо	результирующий угол поворота
= + у п р и ol,	-=•	Он ф , =		- Y	при 01,*		О (рис.9Л \а ) .	1
Пуоть два	корня,		например	р г и	/>3 ,	-	комплексные оопрн-
женные: />2 3	= cl.	±	• Тогда аргумент			пары оомнсжитецей

		равен	(f2+(j)3= a r c t g ^ ^ - +	c r r c t g ^ ^ - .
При изменении со от О		д о о о	результирующий угол	поворота
^ 2.+	= + 2 ~2~ при	С*с О	и ц;г + су3= - 2	при ol=- О

(рис.9 .4 ,б).

Таким образом, еоли характеристическое уравнение содержит I корней о положительной вещественной частью (в том числе

Рис.Э.б.Кривая Михайлова для неустойчивой сиотемы

и вещественных положительных корней), а остальные ( п - £ ) корней имеют отрицательные вещественные части, общий угол по­ ворота вектора В ( ^ со ) при изменении и)от 0 до оо

Ч> = S>,+ 4>г+ ’‘ ' + Чп = (" - O f		“ i f		= n j - ISt • (9.27)
Но для уотойчивооти сиотемы необходимо			и достаточно, чтобы вое
корни	имели отрицательные вещественные		части ( 1 = 0 ) ,		Поэто­
му в	уотойчивой системе ср = п ^ ,	что		и требовалось	дока­
зать.

Кривая Михайлова для устойчивых сиотем имеет плавную спи­ ралеобразную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен по­ рядку характеристического уравнения п (рис.9 .5 ). Неустойчи­ вость оистемы связана с нарушением последовательности прохож­ дения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора DQ-co) оказывается меньше, чем п —■ (рис.9 .б ). Благодаря этим оообен-

ноотям можно дать более удобную формулировку критерия Михай­ лова.

Для устойчивости системы п -го порядка необходимо и доста­ точно, чтобы кривая Михайлова последовательно проходила я квадрантов, начиная о первого. Поэтому для исследования устой­ чивости сиотемы достаточно определить лишь качественный вид

кривой Михайлова по точкам ее пересечения о	ооями координат*
со = 0, со = GOj , со = С02И т .д . (рис.9 .3 ,	9 .5 , 9 .6 ).

				б)
		Рио.9 .7 . Границы устойчивости
При нахождении оиотеиы на апериодической границе устойчи­
вости свободный член характеристического уравнения					ап= 0, по­
этому при со . 0 в		соответствии о уравнениями (9.25) и (9.26)
Х (0 )	= 0 и Y(0)	а О, и кривая Михайлова идет из			начала ко­
ординат	(р и о .9 .7 ,а).
На колебательной границе устойчивости в характеристическом
уравнении имеетоя пара чиото мнимых корней, равных +j-to . По­
этому характеристический комплекс			обращается в нуль		при со = со0
	D U OO0) = X ( OO0) + } Y { LO0).				(9.28)
Из выражения (9.25) вытекают			два	равенства:
		Х ( с о о )	=	0 - Л	(9.29)

Y( c oo) = 0 . f

Это означает, что в случае колебательной границы устойчивости при со = со0 кривая Михайлова проходит через начало коорди-

нат (рис.9 .7 ,б ). При этой со = ooQ еоть чаотота незату­ хающих колебаний в оистеме.

При исследовании систем высокого порядка критерий Михайло­ ва оказывается более удобный, чей критерий Гурвица. Кроне то­ го, этот критерий широко применяется при построении областей устойчивости (§ 9.6) и при иооледовании нелинейных автомати­ ческих оиотем (§ I I . 5).

Пример 9 .5 . Исоледуем устойчивость сиотемы, характериотичеокое уравнение которой (9.14) было получено в примере 9 .1 .

а)	1у		ч	1 Y
	0.2		Ф
	D .	А *		0.1	10=0 X
-з Н			-5	0
	/	2 ш-б			5 Уо "
	- 0J			'0,1у
	-0 ,2			А з
				-0 ,4
			п»3 /	-0,5
	Рис.9 .8 . Кривые Михайлова к		примерам 9.5 и		9.6

Характеристический полином замкнутой онотемы

В (р) = 0,02р3+0,5рг+0,2р + 3.

Характеристический комплекс

77(^ со) = -^ 0,02со3- 0,5ос?+ 0,2ja) + 3.

Отоода

X ( с о ) = 3 - 0 , 5 с о г ;

Y ( c o ) = со ( 0 , 2 - 0 , 02 со2 ) .

Определим примерный вид кривой Михайлова по топкам пере­

сечения ее	с осями координат. При со = О			X (0) = 3,		Y(0) = 0.
Из уоловия	X ( со ) = 3	- 0,5 со	= 0 находим		со* =	6 ,Y(co,)-0,I4.
Из условия	Y ( со ) = 0	находим	о)*= 10,	X ( с о 2) = -2 .			По ви­
ду кривой Михайлова (рис.9 .8 ,а)			заключаем,		что оиотема		устой­
чива.
Пример	9 .6 . Исоледуем устойчивость			замкнутой		сиотемы,
характеристическое уравнение которой (9.17)					было получено в
примере 9 .2 .
Характеристический		полином замкнутой		сиотемы

В(р) = 0,01р3+ р г+ 11.

В этом олучае оистема заведомо неустойчива, так как не выпол­ няется необходимое уоловие устойчивости.

Характернотичеокий комплеко

	B ( j < j j ) = - j 0 , 0 l c o 3-					оог+	11,
	X (со) =	/ / - со2 ;		Y(co)		= - О,ОШ3.
	Примерный вид кривой Михайлова показан						на рис.9 .8 ,б.
	Определим число корней		о полохительной вещественной чаотью
в	характеристическом	уравнении		(9 .17). Как видно				из р и с.9 .8,б,
результирующий угол		поворота	вектора		Т) (^со ) при изменении
со	от 0 до оо	(поворот			совершается			по часовой
стрелке). Поэтому из		выражения		(9.27)		при	п = 3	имеем
						5с
						2	= 2 ,
	ЗТ				л

т . е . в характеристическом уравнении (9.17) имеется Два корня

сполохительной вещественной частью.

§ЭЛ. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Этот критерий устойчивости впервые был сформулирован аме­

риканским ученым		Найквиотон применительно к теории Уоидителей.
В отличие	от	критериев Гурвица и Михайлова критерий Найкви­
ста позволяет	судить об устойчивости з а м к н у т о й авто­

матической системы по амплитудно-фазовой или логарифмической