книги / Основы автоматики

y ( t ) - У ц а с т ( t ) + У о б щ	(9 .2 )

В теории автоматического управления частное решение уцаст&) называют вынужденной составляющей, а общее решение переходной составляющей:

у (О у в	у п	(9 .3)
		'

Для устойчивости автомати­ ческой оиотемы необходимо и до­ статочно, чтобы переходная со­ ставляющая yn( t ) с течением времени отремилась к нулю:

t l m y n (t)	= 0.		(9.4)
t — ° о
Смысл этого	определения
устойчивости иллюстрируется на
рис.9 .2 . Пуоть в какой-то			мо­
мент времени под влиянием возму­
щающего воздействия		(например,
порыва ветра) угол тангажа ра­
кеты, остававшийся до этого по­
стоянным, получил приращение
Д-O'. Система управления раке­
той является уотойчивой,			если
о течениеи времени		(при £ — оо)
угол тангажа снова		примет	преж­

нее значение.
Уоловив	(9 .4) иногда называют условием а с и м п т о т и ­
ч е с к о й	у с т о й ч и в о с т и , имея в виду, что	система
приближается к ооотоянию равновесия асимптотически (при		£ — <*=>).
Для определения переходной составляющей решим дифференци­
альное уравнение (9.1) без правой части:
D ( p ) y ( t ) ^ ( a 0p \ a 1pn~1+... + a n) y ( t ) * 0 .		<9-5)

Решение этого уравнения может быть записано в виде суммы экспоненциальных членов:

	&,(*; = c, e Pl + Сг еРг\ '					- + Сл	*,	(9.6)
где	C]t С2,...,Сп- постоянные			интегрирования, а			рг, р2, . . . , р п ~
корни а л г е б р а и ч е с к о г о					у р а в н е н и я
		а 0 р п+ а , р пЧ+--- + а п = о ,						(9.7)
называемого характериотичеоким уравнением.
	Боли среди корней характеристического уравнения							(9 .7) имеют­
ся кратные (т .е . равные			между собой),		то	запись репения диффе­
ренциального		уравнения	(9.5)	в виде (9 .6) теряет оилу. Напри­
мер,	если в	уравнении пятого		порядка

a o P S+ а,Р *+ а г р 3+ азРг+ а*Р + а5 = О

четыре корня из пяти равны между собой

Pi~ Рг~ Рз = Ph-t

то репение ооответотвущего дифференциального уравнения сле­ дует запиоать в виде

yn ( t ) = ( C J + c2t + c 3 t 2	р, t
	ер’ + С 5 е Pst (9 .8)

	Постоянные			интегрирования C1tC2, ... ,			Сп определяются	ве
только видои левой чаоти уравнения (9 .1 ),							во и видом его	пра­
вой части.
	Чиоленные			значения	этих постоянных зависят от отрувтуры
автоматической				системы,	т .е .	от вида дифференциального уравне­
ния	(9 .1 ),		от	характера	и интенсивности внешних воздействий
^	i t )	и	f i t	) . Как видно		из уравнений	(9.6) и (9 .8 ), посто­
янные		интегрирования			характеризуют лишь количественную ото-

рону переходного процесса и не влияют на устойчивость оиотемы.

Качественная же оторона переходного процесса,				т .е . характер
изменения	переходной составляющей		целиком зависит			от
вида корней характернотичесвого уравнения			(9 .7 ). Поэтому устой­
чивость	л и н е й н о й	оистемы зависит только			от вида кор­
ней характеристического уравнения и абсолютно				не	8авиоит	от
внекних воздействий < j i t )		и f i t ) * т .е .	не	зависит от вида
правой чаоти дифференциального уравнения			(9 .1 ).

Теорема. Для устойчивости линейной оистемы необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристи­ ческого уравнения были отрицательными.

9то относится как к комплексным корням, так и к веществен­ ным. Последние можно рассматривать как частный олучай комплекс­ ных корней, у которых мнимая часть равна нулю.

Если в характеристическом уравнении имеется хотя бы один вещественный положительный корень или хотя бы одна пара ком­ плексных сопряженных корней с положительной вещественной частью,

система в целом становится неустойчивой.
Д о к а		з а т е л ь с т в о .			Переходная		составляющая урав­
нения	(9 .6)	стремитоя к нулю, если каждый из ее членов в отдель­
ности при t — оо			стремится к нулю. Пусть				pf = ol j —однократ­
ный вещественный корень. Тогда составляющая							c>eol,t при t — оо
стремится к		нулю,	воли d , <	0	, и неограниченно возрастает
при olj =- 0		. Пусть	/?2(3= оL	±	j p	- пара	комплексных сопря­
женных корней. Тогда оумма
	(oi + j p ) t		+ с. е (<*	i № _ A e lts i n(pt + 5 )				(9 .9 )
	Сг е
(где	А и	В - постоянные величины)				при t — оо стремится к
нулю,	если	о/ < 0 ,	и неограниченно возрастает при					ot г> 0 .
	Эти выводы справедливы и для случая кратные корней с								от­
рицательной вещественной частью,					так как можно показать,				что

l l m t k e _olt= 0 , ( к = 0 , 1, 2 , 3 , . . . ) .

oo

Связь между корнями характеристического уравнения и харак­ тером переходного процесса приведена в табл.9 .1 . Там же в ви­ де точек показано расположение корней на комплексной плоскости, по оои абсцисс которой откладываются вещественные части корней, а по оои ординат - мнимые части. Используя плоскость корней, уоловие устойчивости можно сформулировать так. Для устойчиво­ сти линейной оиотемы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоокооти. Еоли хотя бы один корень окажется в правой полуплоскости, си­ стема будет неустойчивой. Мнимая ось, таким образом, представ­

ляет собой г р а н и ц у	у с т о й ч и в о с т и .
Различают три типа границы устойчивости.
I . Система находится на	а п е р и о д и ч е с к о й гра­

нице уотойчивооти, еоли в характеристическом уравнении имеетоя о д и н н у л е в о й к о р е н ь , а вое остальные корни имеют отрицательные вещественные части. Нулевой корень может появиться в уравнении (9.7) лишь при равенстве нулю свободно­

го	члена	а п= 0. При этом дифференциальное уравнение (9.5) мо­
жет	быть	записано в виде

/	П-1	2	* a „ . , ) p y ( t ) = а, (9.Ю )
( аоР	+ a iP

и система оказывается уотойчивой не относительно управляемой величины у ( £ ) , а относительно скорооти ее изменения p y ( t )^ y f так как все корни характеристического уравнения

а 0 р п 1 + a j р п~% • • • + а л_ ,= 0 <9-n )

имеют, по определению, отрицательные вещественные части. Сама же управляемая величина у i t ) в таких сиотемах (их часто на­ зывают нейтрально устойчивыми) может принимать произвольные значения, как,например, в случае равновеоия шара, показанном на рио .9 .1,в.

При наличии двух и более нулевых корней процесс в сиотене будет расходящимся (оиотема неустойчива). Это следует из выра­ жения (9 .8) и табл.9 .1 .

2. Система находится на	к о л е б а т е л ь н о й г р а ­
н и ц е у с т о й ч и в о с т и , еоли в характеристическом
уравнении имеется о д н а	п а р а	ч и о т о	м н и м ы х

к о р н е Й , а все остальные корни имеют отрицательные веще­ ственные части. В сиотеме в атом случае устанавливаются не­ затухающие гармонические колебания.

При наличии двух и более пар кратных чисто мнимых корней

система	становится неустойчивой (см .табл.9 .1 ).
3.	Границе устойчивости третьего типа соответствует нали­

чие в характеристическом уравнении бесконечного корня. Для при­

мера рассмотрим характеристическое уравнение 1-го					порядка
	( а о ~ Ь0) р + а , = 0 .
Корень этого уравнения р1 = -----^ т -			располагается		в	левой
	а0	оо		и в	правой полу-
полуплоскости при О0=» Ь0 (система		устойчива)
плоокооти при	а 0< &0(система неустойчива). Границе					уотой-
чивооти, таким	образом,соответствует		равенство	<70=		6 0 ,	при
выполнении которого корень р ;= + оо			. Как видно из		этого		при­
мера, условием границы устойчивости третьего типа является
обращение в нуль коэффициента а 0 в		уравнении (9 .7 ). Такой					тип

границы устойчивости встречается сравнительно редко. Автоматические системы, находящиеся на границе уотойчиво-

оти, нельзя признать работоспособными ухе по той простой при­ чине, что малейшее изменение параметров системы может приве­ сти к устойчивости или неустойчивости.

Приведенные выше условия устойчивости получены в предпо­ ложении, что система описывается линейным дифференциальным уравнением. На самом же деле ни одна реальная автоматическая система не является строго линейной, и линейные уравнения по­ лучены нами в результате линеаризации (см.§ 2 .2 ), т .е . в ре­ зультате замены исходных нелинейных уравнений приближенными линейными. Спрашивается, можно ли судить об устойчивости реаль­ ной сиотемы по ев линеаризованным уравнениям? Ответ на этот вопрос содержится в трех теоремах А.М.Ляпунова, которые мы при­ водим без доказательства.

I . Воли вещественные части всех корней характеристического уравнения линеаризованной системы отрицательны, то реальная система устойчива и отброшенные при линеаризации малые нели­ нейные члены не могут сделать ее неустойчивой.

Корни характеристического уравнения р( г= QI + j. р

Нулевой корень р( = 0

Вещественный отрицательный корень

р, = - Ql

( o l = * 0 )

Вещественный положительный корень

p ; = + ol

( ol •=» 0 )

Пара чисто мнимых сопряженных корней

Расположение корней на ком­ плексной плос­ кости

Imp

Дер

о'

Imp

” 0

Rep

Imp

0 Rep

Imp

Соответствующий переходный про­ цесс

y(t)

t

0

0 t

0 t

----------

266

Р , , г = ± И

0

Rep

0

\

/

Пара коиплеконых сопряженных корней о отрицательной веще­ ственной частью

Р},г = -<***? ( ^ 0 )

Пара Еоиплеконых оопряхеннвх корней о положительной веще­ ственной чаотью

PJ)Z = o L ± i p ( o L > 0 )

Двукратный нулевой корень

Pi = Рг~ 0

Две пары чиото мнимых оопрякенных корней

Pi,z= i i ? 5 Р з л = ± М

	*	Imp
	1
	1
	!1 0	Rep
	X
		Imp
	0	fi
		X----

,lmp

\r

0 е;	Rep
с )	Imp
	„
0	Rep
( )

P v ^ .

0

n(t)

0	\ w	*
\

0 t

0	/ £_	=
	/
		/

267

2. Воли характеристическое уравнение линеаризованной о**” стемы имеет хотя бы один корень с положительной вещеотвенн6® частью, то реальная система неустойчива и отброшенные при неаризации малые нелинейные члены не могут сделать ее уот6®" чивой.

3. Если линеаризованная система находится на границе устой­ чивости, поведение реальной системы не воегда даже качеств611" но определяется линеаризованными уравнениями. Отброшенные #РИ линеаризации малые нелинейные члены могут сделать оиотему устойчивой и неустойчивой.

В этом состоит вторая важная причина, почему находящуюся на границе устойчивости автоматическую систему мы считаем не~ работоспособной.

Кроме того, метод линеаризации (см.§ 2.2) основан на бРеД_ положении о малости отклонений входных и выходных величин звень­ ев системы от их установившихся значений. Поэтому приведен™6 выше уоловия являются условиями устойчивости "в малом", Т*е. характеризуют уотойчивооть системы при малых отклонениях.

Таким образом, для оуждения об устойчивости (неустойчиво­ сти) автоматической системы достаточно определить лишь знаки вещественных чаотей корней характеристического уравнения. Наи­ более прямой путь решения этой задачи - вычисление самих Н°р- ней - часто оказываетоя очень трудоемким, особенно, еоли поря­ док характеристического уравнения п > 3 . Поэтому в теорий автоматического управления широко применяются к р и т е р и и

у с т о й ч и в о с т и ,		т .е .	правила, позволяющие	определять
знаки вещественных частей		без	вычисления самих корней.
	I . Необходимое уоловие устойчивости
Теорема.	Для устойчивости сиотемы необходимо,			н о н е ­
д о с т а т о ч н о , чтобы вое			коэффициенты характеристическо­
го уравнения	были положительными.

Это означает, что если все коэффициенты положительны, си­ стема может быть уотойчивой, но может быть и неустойчивой. Еоли хотя бы один И8 коэффициентов характеристического уравне­ ния отрицателен или равен нулю, система заведомо неустойчива или находится на границе уотойчивооти (т.е. является неработо­ способной).

Для доказательства представки левую часть характеристиче­ ского уравнения (9 .7) в виде произведения

а о ( Р - Р , ) ( . Р ~ Р г ) - - ( р - р „ ) = 0 . (9.12)

Для устойчивости системы все корни должны иметь отрица­ тельные вещественные части. Пусть, например, р = - о / ; , p z=-al2>

Р3,цГ~ °*з ±	Рп~ ~ °*л* Тогда выражение (9.12)
запишется в виде

<*о(Р+ <*,)(Р + о1г )^ Р + <Хэ)г+ Р 5 |— (P +Cin)= О*

Если теперь раскрыть скобки и вернуться к уравнению вида (9 .7 ), то все коэффициенты этого уравнения окажутся положительными. Это и требовалось доказать.

В § 9.2 будет показано, что для сиотем I -го и 2-го порядка необходимое уоловие устойчивости одновременно является и до­ статочным.

Пример 9 .1 . Пуоть передаточная функция разомкнутой системы

_В(Р)	0,3р + 2
С(р)	0,02р 3+ 0,5р г- 0,1р -hi

Характеристическое уравнение разомкнутой системы

С(р) = 0,02р3+ 0,5рг- 0,1р+ / = О

имеет один отрицательный коэффициент. Следовательно, разомкну­ тая система неустойчива. Все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы

S( p) = С ( р) + В(р) = 0,02р3+0,5р2+0, 2р+ 3 = 0 (9.14)

положительны. Так как это уравнение 3-го порядка, то об устой­ чивости замкнутой системы мы пока не можем сказать ничего опре­ деленного. Нужно продолжить исследование системы с помощью одного из критериев устойчивости, рассматриваемых в следующих параграфах.

Пример 9.2. Пуоть передаточная функция разомкнутой си­ стемы

W ( p ) =	10	(9.15)

0 ,0 1 p 3 -h р г+1

В этой олучае как разомкнутая, так и замкнутая сиотемы заве' домо неустойчивы, поскольку в характеристических уравнения*

С(р)= 0,01р3+рг+1 = 0 ’,	(9.16)
В{р)= 0,01р3+ р г+ 11 = 0	(9.17)
один из коэффициентов (при р в первой степени)	равен нулю/

§ 9.2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГУРВИЦА

Задача отыскания критерия устойчивости для сиотем, опи' сываемых дифференциальными уравнениями любого порядка,впер"' вые была решена профессором математики Кембриджского универ' ситета Рауоом в 1877 г . Критерий Рауса дан в форме алгоритм®» определяющего последовательность операций, необходимых для решения задачи. В 1895 г . эту же задачу решил профессор м&~ тематики Цюрихского выошего политехнического училищ А.ГурНИц.

В данном параграфе рассматривается критерий устойчивое**! Гурвица, получивший преимущественное применение в европейских странах. Критерий приводится без доказательства.

Для характеристического уравнения п -го порядка

аорП+ а,рП1+ • • • +an-i Р + а п~ Q

соотавим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержа­ щую п строк и п столбцов:

а 1		й5 .. , . 0
ао	а г	Qц. • • . 0
0	°г	а3 .. . 0		(9.18)
•	.		0
О	0	0	а п

Порядок составления матрицы следующий. По диагонали от верхнего левого до правого нижнего угла выписываются все ко*, эффициенты a-Lпо порядку от <7, до Оп . Каждый столбец допод_ няетоя вверх от диагонали коэффициентами с возрастающим ин­