- •Кафедра алгебры, геометрии, теории и методики обучения математике
- •Список рекомендуемой литературы
- •Элементы векторной алгебры Лекция 1 Векторы. Линейные операции над векторами
- •§1. Понятие вектора
- •Задания для самостоятельной работы
- •§2. Сложение и вычитание векторов
- •Правило треугольника
- •Правило параллелограмма
- •Правило многоугольника
- •Правило построения разности двух векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •§3. Умножение вектора на число
- •Свойства умножения вектора на число
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 3 Базис. Координаты вектора
- •§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
- •И их свойства
- •Свойства координат векторов
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 4 Нелинейные операции над векторами
- •§6. Скалярное произведение двух векторов
- •Геометрические свойства скалярного умножения векторов
- •Алгебраические свойства скалярного умножения векторов
- •Приложение скалярного произведения векторов к доказательству теорем
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 5 Нелинейные операции над векторами
- •§7. Понятие об ориентации пространства и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Применение векторного произведения
- •Алгебраические свойства смешанного умножения векторов
- •Применение смешанного произведения
- •Задания для самостоятельной работы
- •§11. Основные аффинные и метрические задачи
- •Основные аффинные задачи
- •Основная метрическая задача
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 8 Формулы преобразования координат
- •§12. Преобразование аффинной системы координат
- •Частные случаи преобразования аффинной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§13. Понятие направленного угла между векторами. Преобразование прямоугольной системы координат
- •Частные случаи преобразования прямоугольной системы координат
- •Задания для самостоятельной работы
- •§14. Полярные координаты
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§16. Общее уравнение прямой и его частные случаи
- •Частные случаи общего уравнения прямой
- •Задания для самостоятельной работы
- •§17. Основные аффинные задачи, связанные с прямой на плоскости (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 10
- •Задания для самостоятельной работы
- •§19. Основные метрические задачи, связанные с прямой на плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •Задания для самостоятельной работы
- •§21. Общее уравнение плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 22. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Частные случаи общего уравнения плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 23. Основные аффинные задачи, связанные с плоскостью (обзор)
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 12 Плоскость в прямоугольной системе координат
- •§ 24. Плоскость в прямоугольной системе координат. Основные метрические задачи, связанные с плоскостью
- •Задания для самостоятельной работы
- •Лекция 13 Прямая в пространстве. Различные задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •§ 25. Различные уравнения прямой в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 26. Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
- •Задания для самостоятельной работы
- •§ 27. Основные метрические задачи на прямые и плоскости в пространстве
- •Задания для самостоятельной работы
Задания для самостоятельной работы
1. Дана система векторов, где|| . Докажите, что система линейно зависима, двумя способами: пользуясь определением и пользуясь свойствами линейно зависимой системы векторов.
2. Будет ли система векторов линейно независимой и почему?
Будет ли система векторов ,,,,линейно зависимой и почему?
Будет ли система векторов ,,,,линейно зависимой и почему?
Будет ли система трех некомпланарных векторов ,,линейно зависимой или линейно независимой и почему?
Лекция 3 Базис. Координаты вектора
§5. Базис. Координаты вектора в данном базисе
И их свойства
Множество всех векторов, на котором введена операция сложения векторов, удовлетворяющая свойствам
10. ;
20. ;
30. ;
40. ,
и операция умножения вектора на число, удовлетворяющая свойствам
10. ,;
20. ;
30. ;
40. ,
называется векторным пространством и обозначается через V.
Базисом векторного пространства называется система векторов, заданных в определенном порядке, которая удовлетворяет условиям:
1) система линейно независима;
2) любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы векторов.
Число векторов базиса называется размерностью векторного пространства.
Выяснить, чему равна размерность векторного пространства V, позволяют следующие две теоремы, которые приведем без доказательства:
Теорема 1. Любая система трех некомпланарных векторов, взятых в определенном порядке, образует базис векторного пространства.
А может ли базис пространства V состоять меньше, чем из трех векторов? Больше, чем из трех векторов? Оказывается, нет, так как справедлива
Теорема 2. Любой базис векторного пространства V состоит из трех векторов.
Эти теоремы можно доказать, пользуясь теоремами о коллинеарных и компланарных векторах и свойствами 20 - 70 линейно зависимой системы векторов.
Из теорем 1 и 2 следует, что размерность векторного пространства V равна 3, поэтому оно называется трехмерным векторным пространством.
Базис, состоящий из векторов ,и, обозначается так:,,или,,. Векторы,, называютсябазисными векторами: - первый базисный вектор, - второй, - третий.
Пусть - произвольный вектор пространстваV, ,,- базис векторного пространстваV.
Из теоремы 1 следует, что вектор можно разложить по базисным векторам,,, т.е. существуют такие действительные числа,,, что
.
Коэффициенты ,,в этом разложении называютсякоординатами вектора в базисе,,: - первая координата,- вторая,- третья.
Обозначают это так: (;;),,.
Когда ясно, о каком базисе идет речь, пишут так: (;;).
Свойства координат векторов
10. Нулевой вектор в любом базисе имеет нулевые координаты: (0;0;0).
□ Разложим по векторам базиса ,,:
.
Следовательно, (0;0;0) ,,. ■
20. Если ,, - базис пространства V, то (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1).
□ (1;0;0);
(0;1;0);
(0;0;1). ■
30. Если (;;),в базисе ,,, а , то
в базисе ,, (координаты линейной комбинации векторов равны линейным комбинациям их соответствующих координат).
□ По определению координат вектора
, .
Тогда ,.
Сложим почленно эти равенства и воспользуемся свойствами сложения векторов и умножения вектора на число:
.
По определению координат вектора
. ■
Из свойства 30 получаем следствия:
Следствие 1. Каждая координата суммы (разности) двух векторов равна сумме (разности) соответствующих координат этих векторов.
Следствие 2. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.
□ Чтобы доказать справедливость следствия 1, надо в свойстве 30 взять сначала ==1, а затем =1, =-1. Для доказательства следствия 2 полагаем =0. ■
40. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: ,,.
50. Пусть (;;),,и,i=1, 2, 3. Векторы иколлинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны:
||.
Пусть . Тогда
||и.
Если же , то
||, аи- любые.
Частным случаем произвольного базиса является ортонормированный базис. Его удобно использовать при решении метрических задач (т.е. задач, связанных с вычислением длин отрезков (векторов) и величин углов).
Базис,,называетсяортонормированным, если его векторы удовлетворяют двум условиям:
1) ;
2
Е2
Рис. 8
Замечание. Множество всех векторов, параллельных данной плоскости (или лежащих в ней), образует двумерное векторное пространство, т.к. любой его базис состоит из двух неколлинеарных векторов. Поэтому любой вектор этого пространства в таком базисе имеет две, а не три координаты: . Ортонормированный базис выглядит так:,(рис. 9).