§ 4. Операции над множествами
Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества.
1. Пересечение множеств.
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначают А В).
Данное определение можно записать в таком виде:
А В = {хх А х В}.
На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.
А
В
Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества не пересекаются, и пишут А В = .
Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.
Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А В = {4, 5}.
Если множества А и В заданы указанием их характеристических свойств, то в их пересечение войдут только те элементы, которые обладают одним и другим свойством одновременно.
Например, если множество А – множество однозначных чисел, В – множество натуральных чисел, делящихся на 5, то множеству А В принадлежат натуральные числа, делящиеся на 5.
2. Объединение множеств.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств (обозначают А В).
Данное определение можно записать в таком виде:
А В = {хх А х В}.
Н
а
диаграмме пересечение множествА
и В изображено
заштрихованной областью.
А В
Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Рассмотрим случай, когда множества заданы указанием характеристического свойства. Пусть А – множество чисел, кратных 2; В – множество чисел, кратных 3. Тогда объединению этих множеств будут принадлежать числа, кратные 2 или 3.
Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.
3. Разность множеств.
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначают А \ В).
Данное определение можно записать так:
А \ В = {хх А х В}.
На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.
А В
Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А \ В = {1, 2, 3}.
Часто
приходится выполнять вычитание множеств
в случае, когда одно из множеств является
подмножеством другого. Если В
А,
то разность А
\ В называют
дополнением множества В
до множества
А
(обозначают
).
Множество
на
рисунке показано штриховкой.
А
В
Определение.
Дополнением
множества А
до универсального называется множество,
состоящее из тех и только тех элементов,
которые принадлежат универсальному,
но не принадлежат множеству А
(обозначают
).
Например,
если I
– множество цифр, а множество А
= {1, 2, 3, 4, 5},
то
=
{6, 7, 8, 9, 0}.
Если
множества заданы указанием
характеристического свойства и В
А,
то множество
с помощью характеристического свойства,
общий вид которого «х
А
х
В».
Так, если А
множество натуральных чисел, кратных
3, а В
– множество натуральных чисел, кратных
9, то
– это множество, содержащее натуральные
числа, кратные 3, но не кратные 9.
Мы рассмотрели различные операции над множествами. Часто для доказательства равенства множеств бывает необходимо знать, в каком случае элемент принадлежит тому или иному множеству. Для удобства составим таблицу.
-
х Î А Ç В х Î А Ù х Î В
х А Ç В х А х В
х Î А В х Î А х Î В
х А В х А Ù х В
х Î А \ В х Î А Ù х В
х А \ В х А х Î В
х Î
х
Ах
х
ÎА
Выясним, каков порядок выполнения действий над множествами.
Пересечение множеств – более «сильная» операция, чем объединение, поэтому в выражении А В С вначале нужно найти пересечение множеств В и С, а затем найти объединение множества А с полученным множеством.
Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому в выражении А \ В С сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.
Объединение и вычитание множеств считают равноправными, поэтому их выполняют в том порядке, в каком они записаны в выражении.