Период математики переменных величин Характеристика периода

Особенностью является введение в математику идей движения и измерения. На первый план вдвигаются функции. Изучение функциональной зависимости приводит к основным понятиям математического анализа: предел, производная, дифференциал, интеграл. Геометр я также начинает изучать движения и преобразования фигур. Создается аналитическая геометрия. Алгебра изучает вопрос о числе действительных корней уравнения F(x)=0. Доказывается основная теорема алгебры. Решаются систем уравнений при помощи определителей. Разрабатывается теория делимости многочлена. Алгебра рассматривается как часть анализа, а геометрия – как прикладная математика, которая использует результаты чистой математики.

Математика в XVII веке

Развитие математики связано с успехами астрономии и механики. Кепплер открыл и математически сформулировал законы движения планет. Галилей создал механику свободного падения тела, основал теорию упругости, применил математические методы. Для отыскания закономерностей между расстоянием и скорости ускорения. Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения. Эти успехи в естествознании, создание математического аппарата для изучения процессов движения. Учение XVII века были одновременно математичками, естествоиспытателями, механиками, в XVII веке создаются научные организации и общества, например, лондонское королевское общество. В 1666 году организована парижская академия. Научные учреждения и общества плодотворно трудились при государственной поддержке. С XVII века берут начало почти все математические дисциплины, входящие ныне в современное высшее образование.

1. Изобретение логарифмов. Практика ставила перед математиками задачи вычислительного характера. Для астрономии нужны были тригонометрические таблицы. Придумывали различные вычислительные приемы. Первым опубликовал свои таблицы тригонометрические Непер.

2. Аналитическая геометрия. Начала формироваться благодаря Декатру и Ферма, как метод выражение числовых соотношений, размеров, форм и свойств геометрических объектов на основе методов координат. Начало положила книга Декарта «Геометрия»,в которой он заложил основу метода координат и ввел общую идею переменной величины. Дал классификацию кривых с разделением их на алгебраические трансцендентные.

3. Дифференциальное и интегральное исчисление. Кеплер разработал метод вычисления геометрических фигур. Кавальери разработал интеграционный метод, позволяющий отыскивать определенные интегралы от многочленов. Вычислять объемы геометрических тел. К середине XVII века встал вопрос создания из разрозненных методов единого интегрального исчисления. Дифференциальные методы развивались в связи с решением задач на движения (мгновенная скорость) и проведения касательных к кривым. Дифференциальные методы решали задачу: зная кривую линию, найти ее касательные. Практика ставила обратную задачу: зная касательную прямую, найти соответствующую кривую. Выяснилось, что неприменимы интеграционные методы. Так было установлено глубокая связь между дифференциальными и интегральными методами. Первые теории – первые формы дифференциального и интегрального исчисления: теория Флюксии – Ньютона и исчисление дифференциалов Лейбница. Ньютон переменные величины, возникающие в результате непрерывного движения, называл флюентами.

4. Теория чисел. Паскаль сформулировал принцип Ферма сформулировал без доказательства теорему: Великая теорема Ферма и малая теорема Ферма.

Развитие математики в XVIIIвеке связано с необходимость ее применения бурно развивающейся промышленности, военной техники, кораблестроением, картографией.

XVIIIвек характеризуется выдающимися математиками из разных кругов общества, которые работали одновременно в области математики, естествознания и техники.

Например, Эйлер происходил из пасторской семьи. Занимался механикой, кораблестроением и оптикой.

Лагранж – сын французского офицера. В 18 лет профессор. Занимался механикой.

Лапласс – сын французского крестьянина. В 18 лет преподавал математику. В 20 лет профессор, в 37 - член парижской академии наук. Занимался механикой.

XVII век дал математике мощный аппарат. Анализ бесконечно малых.

В XVIIIвеке эти идеи получили широкое распространение.

Достижения XVIIIвека.

1. Эйлер ввел в математику символ F(x). Показал, что функциональная зависимость является основным объектом изучения математического анализа.

2. Введены и изучены функции многих переменных.

3. Разрабатывалась теория дифференцирования и интегрирования от многих переменных.

4. Основной инструмент изучения функций – разложение в бесконечно степенные ряды. В XVIIIвеке были найдены степенные ряды для всех элементарных функций (Эйлер, Даламбер, Тейлор).

5. Изучались разложения функций в тригонометрические ряды. Систематически использовались комплексные числа и введен символ .

6. В области геометрии продолжает развиваться аналитическая геометрия, пространственная, начертательная геометрия.

7. В алгебре – пытались отыскать общий метод решения алгебраических уравнений любой степени.

8. Теория чисел впервые приобретает характер систематической науки. Эйлер доказал иррациональность числа . Даламбер доказал иррациональность π.

9. В XVIIIвеке из математического анализа выделился ряд важных математических дисциплин, имеющих большое прикладное значение: теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление, ТФКП, дифференциальная геометрия, теория вероятности.

10. Основными центрами развития математики в Европе являлись Франция, Англия и Германия.

Проблемы обоснования математики переменных величин.

Слабость математики XVIII века было отсутствие логического обоснования ее важнейших логических частей. В частности, без строго обоснования был развит аппарат бесконечно малых. Например длина кривой линии заменялась длиной многоугольника. При вычислении площадей криволинейной фигуры разбивали на бесконечно малые части, каждую из которых считали прямоугольной. В XVIII веке неясность основ стала тормозить развитие анализа. В математике накопилось большое число противоречий, парадоксов. Например, они рассматривали такой ряд: . При x=1 будет. Решающие изменения произошли в первой половине XIX века. Коши, Абель и другие ученые исчисление бесконечно малых обосновали на основе теории пределов. С помощью предела получили объяснение понятия производная, интеграл, непрерывность функции, сумма ряда. Исследование о сумме предела и бесконечно малых было проведено Вейерштрассом в 70-х годах XVIII века. Для получения строгих определений Вейерштрасс разработал системуξ-δнеравенств. Таким образом, современный анализ заменил использование интуитивных представлений, связанных с движением строгим математическим аппаратом неравенств. Так как все вопросы были сведены к неравенствам с числами, то встала необходимость уточнить понятие действительного числа. В 1872 году были построены теории действительного числа Кантором. Вейерштрассом и Дедекиндом. Изучение действительных чисел, в свою очередь, привело математиков к рассмотрению бесконечных множеств. К концу XIX века сложился стандарт требований к логической строгости, основанной на теоретико-множественной концепции построения любой математической теории.

Возникающие проблемы способствовали развитию математики в XIX веке.