4. Основные формулы комбинаторики.

При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Пусть имеется n различных элементов.

Перестановками называют комбинации из n элементов, отличающиеся порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

,

где . Для удобства расчетов принято считать, что.

Размещениями называют комбинации, составленные из n элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

.

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число всех возможных сочетаний

.

. Пример 12. В урне 6 белых и 2 черных шара. Наудачу извлекают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут

• белые (событие A),

• черные (событие B),

• разноцветные (событие C).

В урне всего 8 шаров. Общее количество способов извлечения 2 шаров равно числу сочетаний из 8 элементов по 2, то есть . Количество способов, благоприятствующих появлению 2 белых шаров, равно. Следовательно,

.

Так как , а, то.

Количество способов, благоприятствующих появлению 2 черных шаров, равно . Следовательно,

.

Количество способов, благоприятствующих появлению 1 белого и 1 черного шара, равно . Следовательно,

.

Заметим, что сумма вероятностей событий A, B и C равна единице. События A, B и C являются несовместными и образуют полную группу.

5. Теорема сложения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

.

Доказательство. Пусть n - общее число элементарных исходов, m₁ - число исходов, благоприятствующих событию A, m₂ - число исходов, благоприятствующих событию B.

Число исходов, благоприятствующих событию A+B, то есть либо событию A, либо событию B, равно m₁+m₂. Следовательно,

.

Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий:

,

а используя знак суммирования, можно записать

.

Пример 13. В урне 10 шаров: 3 красных, 2 синих, 1 желтый и 4 белых (рис.1). Найти вероятность появления цветного шара.

Рис.1.

• К - появление красного шара, ,

• С - появление синего шара, ,

• Ж - появление желтого шара, .

События К, С и Ж несовместны, поэтому по теореме сложения вероятность появления цветного шара равна

Следствие 1. Сумма вероятностей попарно несовместных событий A₁, A₂, …, A_n, образующих полную группу, равна единице:

.

Действительно, так как события A₁, A₂, …, A_n образуют полную группу, то их сумма есть достоверное событие, вероятность которого равна единице. По теореме сложения вероятностей получим

.

A₂

A₁



A₃

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

.

Противоположные события несовместны и образуют полную группу. По следствию 1 сумма их вероятностей равна единице.

Обратимся к примеру. Событие Б - появление белого шара является противоположным событию Ц. Так как

то

Задание к экзамену.

Доказать, что для произвольных событий A и B имеет место соотношение:

.

Чтобы установить это соотношение, лучше всего использовать диаграмму Венна